第十一講：二元隨機變量函數的分布

1、一、二元連續(xù)型隨機變量及其概率密度一、二元連續(xù)型隨機變量及其概率密度),(yxf定義定義3.6 （P54） 對于二維隨機變量對于二維隨機變量(X, Y)，若存在一個非負可若存在一個非負可積函數積函數，使對使對 (x, y) R2，其分布函數其分布函數 xydsdttsfyYxXPyxF),(,),(),(yxf則稱則稱 (X, Y)為二為二元元連續(xù)型隨機變量，連續(xù)型隨機變量，為為(X, Y)的密度函數的密度函數(概率密度概率密度)，或，或X與與Y的的聯合密度函聯合密度函數數，可記為，可記為 (X, Y) ， (x, y) R2),(yxf二元連續(xù)型隨機變量二元連續(xù)型隨機變量聯合密度聯合密度的性

2、質的性質(P54) (1)非負性非負性： 0, (x, y)R2; (2)歸一性歸一性： ),(yxf1),(dsdttsf(4)重要公式重要公式:對于任意平面區(qū)域G R2, GdxdyyxfGYXP.),(),(yxyxFyxfyxf),(),(:),()3(2的連續(xù)點處有在邊際密度函數（邊際密度函數（P55）),(),(yxfYX設,),()(的邊際密度為關于稱XdyyxfxfX,),()(的邊際密度為關于稱YdxyxfyfY., 的總長的比例那部分的長占內的包含在等于區(qū)間則上的均勻分布服從區(qū)間若隨機變量babadcdXcPbaX態(tài)分布二、二元均勻分布及正 GUYXGYXothersGyx

3、SyxfYX),( :)( 0),( 1),()( , S,G (P56) 記為上的均勻分布。服從，則稱的聯合概率密度為，二元隨機變量若其面積為為平面上的有界區(qū)域設定義.),(,),( 的總面積的比例那部分的面積占內的包含在區(qū)域等于區(qū)域則上的均勻分布服從區(qū)域若隨機變量GGWWYXPGYX);,;,(),( :)(100121),()( (P57) 22212121,21,21)(2)1(2122122221212112NYXYXyxfYXyyxx記為服從二元正態(tài)分布。，稱時，均為常數。，其中的聯合概率密度為：，二元連續(xù)型隨機變量若定義），（）；，（則若222211222121);,;,(),(

4、 NYNXNYX三三、連續(xù)型連續(xù)型隨機變量的隨機變量的條件分布條件分布(P57)(),()|(:,0)( )(),()|(:,0)( ),(),(),(),(57000|0000|0yfyxfyyxfXyYyfxfyxfxxyfYxXxfyfxfyxfYXPYYXYXXYXYX的條件密度為的條件下在對一切的條件密度為的條件下在對一切則邊際概率密度分別為，的聯合概率密度為）設定義（四四、隨機變量的獨立性、隨機變量的獨立性（P58）定理：定理：隨機變量隨機變量X X與與Y Y獨立的充分必要條件獨立的充分必要條件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y) )2()1(, jijijiijppyYPxX

5、PyYxXPpYX條件是）相互獨立的充分必要，變量（定理：二元離散型隨機定理：定理： 設設(X,Y)(X,Y)是二元連續(xù)型隨機變量，是二元連續(xù)型隨機變量，X X與與Y Y獨獨立的充分必要條件是立的充分必要條件是)()(),(yfxfyxfYX要求：要求：（1 1）會由二元連續(xù)型隨機變量的）會由二元連續(xù)型隨機變量的聯合密度求邊際密度并能進行簡單的聯合密度求邊際密度并能進行簡單的相關概率計算。相關概率計算。 (2) (2) 兩個隨機變量相互獨立時，兩個隨機變量相互獨立時，聯合分布與邊際分布的關系。聯合分布與邊際分布的關系。 在第二章中，我們討論了一元隨機變量函數在第二章中，我們討論了一元隨機變量函

6、數的分布，現在我們進一步討論的分布，現在我們進一步討論:我們只討論幾種特殊情形：我們只討論幾種特殊情形：當隨機變量當隨機變量X1, X2, ,Xn的聯合分布已知時，的聯合分布已知時，如何求出它們的函數如何求出它們的函數 Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的分布的分布?第十一講第十一講 二元隨機變量函數的分布二元隨機變量函數的分布ijjipyYxXPYX,),(的聯合分布為若ijjipyxfZPYXfZ),(),(的分布為則合并有取值相同的，將概率其中),(jiyxfZ 一、二元離散型隨機變量函數的分布（一、二元離散型隨機變量函數的分布（P60）或或 Yg(X)PYg(xk)pk

7、 ， k1, 2, （其中其中g(xk)有相同的，其對應概率合并。）有相同的，其對應概率合并。）一般地若隨機變量一般地若隨機變量X的分布列為：的分布列為：XPk而隨機變量Y是X的函數，Y=g(X)，則Y的分布列為： kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxgPk kppp21YYXZ1P的聯合分布列為：，：已知二元隨機變量例)(1YXXY的分布和求XYZYXZ210.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.050 YXZ1P0.050 1 2 3 4 5 0.150.20 0.350.150.101 2 3 1 2 3

8、 4 2 3 4 5 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1 0.05 0.05 0.2 0.10.15432101，：Z 所有可能取值為解05. 0) 1, 1()0(1YXPZP15. 0) 1, 2()0, 1() 1(1YXPYXPZP的聯合分布列為：，：已知二元隨機變量例)(1YXXY的分布和求XYZYXZ210.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-1XYZ2P0.05-3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0.050.050.350.1 0.15 0.1 0.050.16 , 4 , 3210 , 1, 2,

9、 32，：Z所有可能取值為解05. 0) 1, 3() 3(2YXPZP05. 0) 1, 2() 2(2YXPZP05. 0) 1, 1() 1(2YXPZP35. 0) 0, 3() 0, 2() 0, 1() 0(2YXPYXPYXPZP1 . 0) 1, 1() 1(2YXPZP15. 0) 1, 2() 2, 1() 2(2YXPYXPZP1 . 0) 1, 3() 3(2YXPZP05. 0) 2, 2() 4(2YXPZP1 . 0) 2, 3() 6(2YXPZP：XYZ的分布為所以2的聯合分布列為：，：已知二元隨機變量例)(2YXXY的分布求),max(YXZ 0.10.10

10、.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-1),max(YXZ P0.251 2 30.300.45321，：Z 所有可能取值為解25. 0) 1, 1() 0, 1() 1, 1() 1(YXPYXPYXPZP3 . 0) 2, 2() 1, 2() 0, 2() 1, 2() 2, 1() 2(YXPYXPYXPYXPYXPZP45. 0) 2, 3() 1, 3() 0, 3() 1, 3() 3(YXPYXPYXPYXPZP：YXZ的分布為所以),max(例例3 3：已知兩隨機變量與相互獨立，其分布如下：已知兩隨機變量與相互獨立，其分布如下：X

11、Y)15(YXP 11 10 9 XP P0.30.30.50.50.20.2 7 6 YP P 0.40.40.60.6解：解：12. 0)6()9(YPXP)16(YXP)6,10()7, 9(YXPYXP 的分布求YX YX P P0.120.380.380.12 181617150.380.40.50.60.318，17，16，15：的所有可能取值為YX )6, 9(YXP)17(YXP)6,107, 9(YXYXP或)6117,10(，YXYXP或38. 04 . 02 . 06 . 05 . 0)611()7,10(，YXPYXP)18(YXP12. 06 . 02 . 0)7,1

12、1(YXP解：依題意解：依題意 例例4 若若X和和Y相互獨立相互獨立,它們分別服從參數為它們分別服從參數為 的泊松分布的泊松分布, 求求Z=X+Y的分布的分布21,i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 kiikYiXP0),(kiikiiki02-1-)!-(e!e21kiikiikikke021)()!( !21,)(!21)(21kke即即Z服從參數為服從參數為 的泊松分布的泊松分布.21k=0,1，)()(kYXPkZP，的所有可能取值為：432 , 1 , 0YXZ)0,1, 1, 0(YkXkYXkYXP或或kiikYPiXP0)()(X和和

13、Y相互獨立相互獨立 設設X和和Y的聯合密度為的聯合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 Z=X+Y的分布函數是的分布函數是:Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.二、二元連續(xù)型隨機變量函數的分布二、二元連續(xù)型隨機變量函數的分布（P61）1、 Z=X+Y的分布的分布FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)的分布的分布來求出轉換為關于利用或密度函數的分布函數要求是已知的密度函數或的分布函數若連續(xù)型隨機變量YXxXPxYPxGxgxGXYxfxFX)()()( )()()( ,)()( 化成累

14、次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()()(zFZdyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式以上兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式(P62).yzdxyxf),(dy xzZdxdyyxfzF),()( 特別，當特別，當X和和Y獨立，設獨立，設(X,Y)關于關于X,Y的邊際的邊際密度分別為密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個公式稱為這兩個公式稱為卷積公

15、式卷積公式 .（P62）dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyyzfzFzfZZ),()()(為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數不為先找出使被積函數不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例5 若若X和和Y 獨立獨立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式1010 xzx即即110 xzxx其它, 021,2 10,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示如圖示:dxxzfxfzfYXZ)()()(110 xzxx求求M=max(X,Y) 及及N=min(X,Y)的分布

16、函數的分布函數.P63設設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為它們的分布函數分別為FX(x)和和FY(y),2、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布M=max(X,Y) (Mz) (Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互獨立相互獨立,M=max(X,Y)的分布函數為的分布函數為: FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 結論的運用可看一下結論的運用可看一下P63例例5=P63此處的此處的x,y應改為應改為z=Pmax(X,Y)z 類似地，可得類似地，可得N=min(

17、X,Y)的分布函數是的分布函數是即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)=1- - P(Xz)P(Yz)(Nz)=(Xz,Yz)設設X1,Xn是是n個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量,)(xFiX(i =0,1，, n)它們的分布函數分別為它們的分布函數分別為 M=max(X1,Xn)的分布函數為的分布函數為: )()(1zFzFXM)(zFnXN=min(X1,Xn)的分布函數是的分布函數是)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX特別，當特別，當X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數相互獨立且具有相同分布函數F(x)時，有時，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n與二維情形類似，可得與二維情形類似，可得: 需要指出的是，當需要指出的是，當X1,Xn相互獨立且相互獨立且具有相同分布函數具有相同分布函數F(x)時時, 常常稱稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值為極值 . 由于一些災害性的自然現象，如地震、由于一些災害性的自然現象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要洪水等等