第三章 各向異性彈性力學基礎

1、第三章第三章 各向異性彈性力學基礎各向異性彈性力學基礎 3-1 各向異性彈性力學基本方程各向異性彈性力學基本方程 xyzxyzzyxxyzxyzzyxwvu,應力分量：應變分量：位移分量：基本未知量：基本未知量：基本方程：基本方程： 1、平衡方程、平衡方程0,ijijf)3 , 2 , 1,(ji 分量形式為：分量形式為：0Yzyxyzyyx0Xzyxxzxyx0Zzyxzzyzx)(21,ijjiijuu2、幾何關系（小變形）、幾何關系（小變形）分量形式為：分量形式為：zvywyzxwzuzxzwzyuxvxyxuxyvyxzzxzxxz222220,ljkikiljijklklij)3 ,

2、 2 , 1,(lkji變形協(xié)調方程：變形協(xié)調方程：六個應變分量應該滿足的一六個應變分量應該滿足的一個關系，即個關系，即6個獨立等式：個獨立等式：yxxyxyyx22222zyyzyzzy22222共有共有81個方程，但只有個方程，但只有6個是不同的，其余的個是不同的，其余的不是恒等式就是由于不是恒等式就是由于 ij的對稱性而都是重復的對稱性而都是重復的。的。 xzyxzyyzxyzxy22)(zyxzyxxyzxyzx22)(yxzyxzzxyzxyz22)(前三個分別是前三個分別是xy，yz，zx平面內的平面內的3個應變量間個應變量間的協(xié)調關系；而后三者則分別是正應變和的協(xié)調關系；而后三者

3、則分別是正應變和3個切個切應變之間的協(xié)調關系。應變之間的協(xié)調關系。 )(*STniiij在)(*uiiSuu在jijijijiSC及)6 , 2 , 1,(jijiijCC jiijSS3、邊界條件、邊界條件力邊界條件：力邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：4、各向異性本構方程（小變形）、各向異性本構方程（小變形）剛度矩陣剛度矩陣柔度矩陣柔度矩陣 jiijjiijSCW2121 各向異性體的彈性應變能為：各向異性體的彈性應變能為：拉拉-拉耦合拉耦合（ 泊 桑 效（ 泊 桑 效應）應）剪剪-剪耦剪耦合合拉 剪 耦拉 剪 耦合合665544332211CCCCCC 616515414313212

4、1111SSSSSS3-2 各向異性彈性力學的本構方程各向異性彈性力學的本構方程一、完全各向異性（21個彈性常數(shù)） 其中其中Sij為柔度系數(shù)，為柔度系數(shù)， 4、 5和和 6即為剪應即為剪應力力 23、 31和和 12。可見各向異性體一般具有耦?？梢姼飨虍愋泽w一般具有耦合現(xiàn)象：正應力引起剪應變，剪應力也可以合現(xiàn)象：正應力引起剪應變，剪應力也可以引起正應變；反之亦然。引起正應變；反之亦然。 二、有一彈性對稱面（13個彈性常數(shù)）彈性對稱面彈性對稱面：沿這些平面的對稱方向彈性性：沿這些平面的對稱方向彈性性能是相同的。能是相同的。材料主軸（或彈性主軸）材料主軸（或彈性主軸）：垂直于彈性對稱：垂直于彈性對

5、稱面的軸。面的軸。 利用兩個方向下材料的應變能密度表達式利用兩個方向下材料的應變能密度表達式應保持不變（即利用兩個坐標系計算得到的單應保持不變（即利用兩個坐標系計算得到的單位體積應變能的結果是相同的）可以推得：位體積應變能的結果是相同的）可以推得： 24411421112SSW014S41,設僅有設僅有，即有，即有41而而在在x3變向時要變號，為保證變向時要變號，為保證W相同，相同，則有則有005635251546342414SSSSSSSS6655454436332623221613121100000000SSSSSSSSSSSSS稱對同理：同理：獨立常數(shù)減少為獨立常數(shù)減少為13個，即個，即

6、 336126333331532322343131 ;0 ;0 ;SSSS 03如果如果，其余應力分量為零，則有：，其余應力分量為零，則有：此公式說明：當沿彈性主軸拉伸時，除縱向此公式說明：當沿彈性主軸拉伸時，除縱向伸長、橫向收縮外，還會引起與主軸垂直的伸長、橫向收縮外，還會引起與主軸垂直的面內剪應變，且彈性主軸方向不變。面內剪應變，且彈性主軸方向不變。三、正交各向異性（三、正交各向異性（9 9個彈性常數(shù)）個彈性常數(shù)）正交各向異性是指有三個互相正交的彈性主軸正交各向異性是指有三個互相正交的彈性主軸的情況。（有三個互相正交的彈性對稱面）的情況。（有三個互相正交的彈性對稱面）321,xxx取取為三

7、個正交彈性主軸，如圖所示：為三個正交彈性主軸，如圖所示：045362616SSSS 由由a）、）、b）兩坐標系中計算的應變能應該）兩坐標系中計算的應變能應該相同，而在兩坐標系下：相同，而在兩坐標系下：12311231,6565,（即（即）變號，可得：）變號，可得：即：即：665544332322131211000000000000SSSSSSSSS稱對123123233112321,GGGEEE由此可得由此可得：1）當采用材料主軸來描述正交異性）當采用材料主軸來描述正交異性體時，沒有任何拉剪耦合現(xiàn)象；體時，沒有任何拉剪耦合現(xiàn)象；2）在非材料主）在非材料主軸系里，正交異性材料仍有耦合現(xiàn)象。軸系里

8、，正交異性材料仍有耦合現(xiàn)象。 纖維在橫截面內纖維在橫截面內按矩形排列的單向纖按矩形排列的單向纖維復合材料，宏觀而維復合材料，宏觀而言則是一正交異性體。言則是一正交異性體。共有共有9個彈性常數(shù)：個彈性常數(shù)：jiij1軸沿纖維方向，并有軸沿纖維方向，并有，而是，而是ijijijEEij即即沒有對稱性。沒有對稱性。ijS可展開為：可展開為：)1 (223223EG 四、橫觀同性（5個彈性常數(shù)） 纖維在橫截面內隨機排列的，宏觀而言，纖維在橫截面內隨機排列的，宏觀而言，其在橫向的所有方向的彈性性能相同，則稱為其在橫向的所有方向的彈性性能相同，則稱為橫向同性。由于橫向同性，則在橫向同性。由于橫向同性，則在

9、2-3平面內應為平面內應為各向同性，則有各向同性，則有故只有故只有5個獨立常數(shù)：個獨立常數(shù)：2121,EE122312,GG23（或（或），），（或（或）666644222321232221121211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSS由工程應變形式的展開式為：由工程應變形式的展開式為：即：即：,E)(2000000)(2000000)(2000000000000121112111211111212121112121211SSSSSSSSSSSSSSS五、各向同性（2個彈性常數(shù)）)1 (2EG1231231231232131323213212312123211)(1,GEGGGEEEjiijSW21 0det , , 0 , 02221121111ijSSSSSS六、彈性常數(shù)的取值范圍 判定依據(jù)是非零應力狀態(tài)下，材料的彈性判定依據(jù)是非零應力狀態(tài)下，材料的彈性應變能位正值，應變能應是應變（或應力）的應變能位正值，應變能應是應變（或應力）的正定二次型。正定二次型。Wi S為為的正定二次型的充要條件是矩陣的正定二次型的充要條件是矩陣的所有主要主子式大于零，即：的所有主要主子式大于零，即：0E2112101、對于各向同性，可推得：、對于各向同性，可推得：實際上一般為：實際上一般為：2