微專題24數(shù)列的通項

1、微專題24 數(shù)列的通項頁題恿幣君點!I合Ii忙£明考削；扣宴處真題感悟(2019 全國 II 卷)已知數(shù)列an和bn滿足 ai = 1, bi = 0, 4an+1 = 3an bn + 4, 4bn+1 = 3bn an 4.(1) 證明：an+ bn是等比數(shù)列，an bn是等差數(shù)列； 求an和bn的通項公式.1(1)證明 由題設(shè)得 4(an + 1 + bn+1)= 2(an+ bn)，即 an+1 + bn+1 = =2(an+ bn). 又因為a1 + b1= 1,1所以an+ bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列由題設(shè)得 4(an+1 bn+1)= 4(an bn) + 8,

2、即 an+1 bn+1 = an bn+ 2. 又因為a1 b1= 1,所以an bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列1解 由(1)知，an+ bn= ?n-1 , an bn = 2n 1,1 1 1所以 ；(an+ bn) + (an bn)=刁+ n 2,1 1 bn= 2【(an+ bn) (an bn) = ?n考點整合求通項公式的常見類型(1) 觀察法：利用遞推關(guān)系寫出前幾項，根據(jù)前幾項的特點觀察、歸納、猜想出an的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明S1(n= 1),(2) 利用前n項和與通項的關(guān)系an=Sn S1(n2).(3) 公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式.累加法：在已知數(shù)列a

3、n中，滿足an+1 = an+ f(n)，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1an = f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.疊乘法：在已知數(shù)列an中，滿足an+1 = f(n)an,把原遞推公式轉(zhuǎn)化為=f(n),an再利用疊乘法(逐商相乘法)求解構(gòu)造等比數(shù)列法：在已知數(shù)列an中，滿足an+1 = pan + q(其中p, q均為常數(shù)， pq(p 1)工0)先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an+i t = p(an t)，其中t =J，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.| p焦點聚焦B類突的迥皿曲蛾熱點一 由Sn與an的關(guān)系求an【例1】(2018全國I卷)記Sn為數(shù)列an的前n項和若S = 2an

4、+1，貝U S6=解析 法一一因為Sn= 2an+ 1，所以當(dāng)n= 1時，a1 = 2a1 + 1，解得a1 = 1;當(dāng) n = 2 時，a1 + a2= 2a2 + 1，解得 a2= 2；當(dāng) n = 3 時，a1 + a2 + a3= 2a3 + 1，解得 a3= 4；當(dāng) n = 4 時，a1 + a2 + a3 + a4 = 2a4 + 1，解得 a4= 8;當(dāng) n = 5 時，a1 + a2 + a3 + a4+ a5= 2a5 + 1，解得 a5= 16;當(dāng) n = 6 時，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2a6 + 1，解得 a6= 32.所以 S6= 1

5、 2 4 8 16 32= 63.法二 因為 Sn= 2an+ 1，所以當(dāng) n= 1 時，a1 = 2a1 + 1，解得 a1 = 1，1X (1 26)1 2當(dāng) n2 時，an= Sn 3t = 2an+ 1 (2an 1 + 1)，所以 an= 2an 1，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an= 2n 1,所以S6=答案 -63=63.探究提高 給出Sn與an的遞推關(guān)系求an,常用思路是：一是利用 3 Sn-1 = an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先 求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.【訓(xùn)練1】 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知

6、ai= 1, a2 = 2,且an+2 = 3S Sn+1 + 3, n N .證明：an+ 2= 3an ,并求 an.解 由條件，對任意nN ,有an +2 = 3Sn Sn+1+ 3, 因而對任意 n N , n2,有 an+1 = 3Sn-1 Sn+ 3.兩式相減，得 an+2 an+1 = 3an an+1, 即 an+2= 3an, n2.又 a1= 1, a2 = 2, 所以 a3= 3S1 S2 + 3 = 3a1 (a1 + a2)+ 3= 3a1,故對一切 n N*, an+2 = 3an.又因為anM0,所以an+ 2an3于是數(shù)列a2n1是首項a1 =1,公比為3的等比

7、數(shù)列;數(shù)列a2n是首項a2= 2,公比為3的等比數(shù)列.因此a2n1 = 3n1, a2n= 2X 3n1n 13t , n為奇數(shù)，所以an=n22X 3丁, n為偶數(shù).熱點二“累加法”、“累乘法”求通項【例2】 已知數(shù)列an中，a1= 1,前n項和Sn=n+2an.求a2, a3；(2)求an的通項公式.4解 (1)由 S2=尹2得 3(a1+ a2)= 4a2，解得 a2 = 3a1 = 3.53由 S3= 3a3得 3(a1 + a2 + a3)= 5a3,解得 a3=?(a1+ a2) = 6.(2)由題設(shè)知a1 = 1.當(dāng) n2 時，有 an= Sn Sn 1 = n+2an寧an-1

8、整理得畀A,anan-1因此an-1 an-2a3 a2n+1 na2 ai= n- 1 n-24 32彳,化簡得 an =(n+1Ln ai=山+1當(dāng)n= 1時也滿足上式，故an的通項公式為an=門"門：1)探究提咼形如an+1 = anf(n),求an.an采用累乘法：若已知ai且=f(n)(n2),則an- 1an- 1 an- 2an an 1a3 a2 ana2 ai=ai=f(n)f(n-1)f(3) f(2)，即 an = ai f(2) f(3) - f(n 1) (n).(2)形如 an+1 = an + f(n)，求 an.采用累加法：若已知 ai 且 an an

9、-1 = f(n)(n2),則(an - an-1) + (an-i-an2)+ (a3 a2)+ (a2 ai) = an- ai = f(n) + f(n- 1) + + f(3) + f(2),即 an= ai + f(2) + f(3)+ + f(n1)+ f(n).【訓(xùn)練 2已知在數(shù)列an中，ai = 1, an= 2 3n 1 + an-i(n>2),則 an =,解析 因為an= 2 3n1 + an-i(n2),所以an-an-1 = 2 3n1(n2),由累加原理3 (1-3n1) 知 an ai = 2(3+ 32 + 33 + + 3n1)(n2)，所以 an =

10、ai + 2 1-3=1 + 3n-3= 3n-2(n2),因為ai= 1也符合上式，故an= 3n-2.答案 3n- 2熱點三用“轉(zhuǎn)化法”求an【例3 (2019蘇州模擬)在數(shù)列an中，已知ai = 2, an+1 = 3an+ 2n1,則數(shù)列an的通項公式是.解析 因為 an+1 = 3an + 2n 1,所以 an+1 + n+ 1 = 3(an + n),又 ai = 2,所以 anan+1 + n+ 1解an+1 =誥，兩邊取倒數(shù)得FT盤+ 1,an+1>0, an+ n>0,故=3,故an+ n是以3為首項，3為公比的等比數(shù)an+ n列，從而 an+ n = 3n，故

11、an= 3n n.答案 an= 3n n探究提高本題主要考查利用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)造等比數(shù)列來求數(shù)列的通項公式本方法主要適用于給出遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項公式的求解問題一般地，需要將所給出的遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，構(gòu)造出一個新數(shù)列，此新數(shù)列為等差數(shù)列或等 比數(shù)列，通過求出此新數(shù)列的通項公式后，再求出原數(shù)列的通項公式.常見的遞推關(guān)系的形式有：（1）an= pan 1 + q（其中p，q為常數(shù)，且pH0，pH 1），通過變q, q, qpan1形得an+= p an1 + p 1，從而構(gòu)造出等比數(shù)列an+ p 1 ；2）an=p 1p 1p 1qan1 + r（其中p，q，r為常數(shù)），通過變形得右=p +

12、q，令bn =右，則轉(zhuǎn)化為第（1）種an p an 1pan類型或等差數(shù)列來求解.2an【訓(xùn)練3】 在數(shù)列an中，已知a1 = 4，an+1 = 2+1，求數(shù)列&的通項公式1 1 1設(shè) bn= an，貝U bn +1= qbn+1，貝U bn +1 2 = 2（bn 2），bn +1 21bn 2 = 2,171故bn 2是以b1 2 =當(dāng)一2= 4為首項，2為公比的等比數(shù)列.bn 一 2 =1 n 122*+1得 an= qn+2 一 7【新題感悟】（2019蘇北七市高三一模）已知等差數(shù)列an滿足a4= 4,前8項和S8= 36.(1) 求數(shù)列an的通項公式；n(2) 若數(shù)列bn滿足

13、石 1 (bka2n+1-2k) + 2an= 3(2n 1), (n N*). 證明：bn為等比數(shù)列； 求集合 (m, p) 倉=詈，m, p N* .解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為等差數(shù)列an滿足a4 = 4,前8項和&= 36,a1 + 3d= 4,a1 = 1,所以 8X 7 ，解得8a1 + 2d = 36d =.所以數(shù)列an的通項公式為an= n.證明 設(shè)數(shù)列bn前n項的和為Bn.n由(1)及葛(bka2n+12k) + 2an = 3(2n 1), (n N*)n3(2n 1)=袒 1 ( bka2n+12k) + 2n,n 1(n>2).3 (2n 1 1

14、)=kk21(bka2n-1-2k) + 2 (n 1) 由一得3(2n 1) 3(2n1 1)= (b1a2n- 1+ b2a2n 3+ bn 1 a3 + bna1 + 2n) (b1a2n-3 + b2a2n 5+ bn-1a1 + 2n 2)=b1(a2n-3+ 2)+ b2(a2n-5+ 2)+ bn-1(a1 + 2) + bn a1 + 2n(b1a2n3 + b2a2n5+ bn1a1 + 2n- 2)=2(b1 + b2+-+ bn-1) + bn+ 2 = 2(Bn bn) + bn+ 2.所以 3 2n1 = 2Bn bn+ 2(n2, n N*),又3(21 1) =

15、b1a1 + 2,所以b1= 1,滿足上式.所以 2Bn bn + 2 = 3 2n 1(n N*).當(dāng) n2 時，2Bn-1 bn-1 + 2= 3 2n2,由一得，bn+ bn-1 = 3 2n2.bn 2n1 = (bn-1 2n2) = -= ( 1)n1(b1 20) = 0,所以 bn= 2n1,bn+1bn2,所以數(shù)列bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.由 am 3ap 得 m 3p 即 cp-m 3p由bm二瓦，得尹二尹，即1 2二m記 6=bn，由得，6=bn=21，所以"CJ = 2n W 1 ,所以Cn> cn +1（當(dāng)且僅當(dāng)n= 1時等號成立).由誥=3

16、bP，得曲=3Cp>Cp,所以mv p.設(shè) t=p m（m, p, t N*），由 2p-m =晉，得3tm=2.當(dāng)t= 3時,m= 3,不合題意；此時p = 8符合題意;m= 6,不合題意;12m= 13V1,不合題意.t>4, t N*時，m= t3t v 1.2 3不妨設(shè) f(x) = 2x 3x 3(x>4),則 f'x) = 2xln 2 3> 0,所以f(x)在4,+x)上單調(diào)遞增，所以 f(x)f(4)= 1> 0,*3t所以當(dāng)t>4, t N時，m= 23v 1，不合題意. 綜上，所求集合(m, P)1畫=譽(yù) m, p N* = (6

17、 , 8).專題圳練時接高割郴一、填空題1. 已知數(shù)列an的首項為1,且滿足an = 3Sn(n2, n N*),則前n項和Sn =1 1 1所以S2= 2$,所以Sn= 2Sn 1( nA 2),故數(shù)列Sn是以1為首項，為公比1 n 1的等比數(shù)列，所以Sn= 21 n 1 答案 -11 1 1 *2. 已知數(shù)列an滿足 ai= 1, an = ai + Ta2 +a3+an1(nA2, n N ),若2 3n ian= 2 004,貝U n=.11i*i解析因為 an= ai + 2a2 + 3a3+ +an1(nA2, n N*)，所以 an +1 = ai+?a2 3n 121 1 n+

18、1 * n n1 + 3a3+ + an,兩式相減，得 an+1 = _an(nA2, n N )，貝U an =x3 nnn 1 n 2n- 2-2a3 一 2XXn*又 ai = 1, a2= ai = 1,所以 an=2(n 2, n N ),所以 2 004=1 nx2，故 n = 4 008.答案 4 0083. 已知數(shù)列an滿足ai= 3,且an+i = 4an + 3(n N )，則數(shù)列an的通項公式為解析 由 an+1 = 4an + 3，得 an+1 + 1 = 4+ 1)，故數(shù)列an+ 1是首項為 ai + 1=4,公比為4的等比數(shù)列，所以an+ 1= 4n,所以an= 2

19、2n- 1.答案 an= 22n- 14. (2019南京、鹽城調(diào)研)在數(shù)列an中，已知 ai = 1， an+1 = 2an+ 1，則ai0 =解析 由題意知an+1+ 1 = 2(an+ 1), 數(shù)列an+ 1是以2為首項，2為公比的 等比數(shù)列，an+ 1 = 2n， a an= 2n- 1.a ai0= 210 1 = 1 023.答案 1 0235. (2018鹽城三模)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sn= 2an+ n(n N*)，則數(shù)列an的通項公式an=.解析 因為Sn= 2an+ n,所以當(dāng)n= 1時，ai= Si = 2ai + 1,即ai = 1;當(dāng)n2時，an = Sn

20、Sn1 = (2an+ n) 2an i + (n 1) = 2an 2ani + 1,即 an = 2ani 1,an 1 所以 an 1 = 2(an1 1),又因為 a1 1 = 2工 0,故 an 1 1工 0,所以=an 1 12,所以數(shù)列an 1為首項a1 1 = 2,公比q = 2的等比數(shù)列，所以an 1 = 2X 2n 1，即an= 1 2n,當(dāng)n= 1時也成立.答案 1 2n6. 已知數(shù)列an中，a1 = 1, an +1 = a + 3(n N )，貝U an =解析因為an+1an1311an+ 3(n N ),所以 =1.設(shè) +1 = 3 -" +1，所以 3

21、tan+1 anan+1an11111111 3111=，解得t= 2,所以訂+1=3懇+ 2 又£+1=1+1=3所以數(shù)列23 1133n2是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以缶+ 2= 2X 3n1=1，所以an=317. 設(shè)數(shù)列an滿足 a1 = 2, an+1 4an= 3X 2n+1,貝U an =解析 由 a1 = 2, an+1 4an = 3X2n+1,得: 器=3.設(shè) bn =器，則 bn+1 = 2bn+ 3.設(shè) bn+1 +1= 2(bn +1),所以 2t1= 3,解得 t = 3,所以 bn+1 + 3= 2(bn+ 3),bn+1 + 3a1所以=2.又

22、b1 + 3= 2 + 3= 1 + 3 = 4,所以數(shù)列bn+ 3是以4為首項，2bn + 32為公比的等比數(shù)列，所以bn+ 3= 4X 2n1 = 2n+ S所以bn= 2n+1 3,所以an= bn 2n= (2n+1 3) X 2n = 22n+1 3X 2n.答案 22n+1 3X 2n8. 已知正項數(shù)列an中，ai = 2, an+i = 2an+ 3x5n,則數(shù)列an的通項公式an=解析在an+1 = 2an+ 3x 5n的兩邊同時除以5n+1,an + 15n+12an=5x5"+an232令#= bn,則式變?yōu)閎n+ 1 = £bn+ 5即卩bn + 1

23、- 1 = £(bn 1),所以數(shù)列bn 1a3232是等比數(shù)列，其首項為b1 1 = a 1 = 3,公比為5,所以bn 1= - x -n 13，即 bn= 1 5X2 n 1所以常=1 3x2 n 13x2n 15=1 5，故 an= 5n 3x 2n1.答案 5n 3x 2n1二、解答題1n+19. (1)在數(shù)列an中，a1 = 1 , an+1 = 1 + n an+ ?n，求數(shù)列 an的通項公式;(2)已知正項數(shù)列an滿足 a1= 1, (n+ 2)an +1 (n+ 1)an + anan+1= 0,求通項 an.解(1)由已知得a1=1,且n+1=骨+寺,a?a11a

24、3a21anan 111+尹二 2 + 22，2 3 n n 1十 2n1,an,111 亠1n 1+2+2+22+ 2*1 = 2 2門-1(n> 2).n-an = 2n 2門-1(n2), 又a1= 1適合上式,n_-an = 2n ?n 1由(n+ 2)an+1 (n+ 1)an + anan+1 = 0,得(n + 2)an + 1an2 + 眶=n+ 1, an，所以an+1ann+ 1n + 2an + 1an舍去an an-1 an-1 an-2a2石a1n n-122n+ 1 n 3 n+ 1 故數(shù)列an的通項公式an n+ .10. 已知數(shù)列an , bn滿足2Sn= n+ 2)bn，其中Sn是數(shù)列an的前n項和.2 1若數(shù)列an是首項為3,公比為一3的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式;若bn= n, a2 = 3,求數(shù)列an的通項公式.2解(1)因為an 3n-11 n_-2 3 ,23 1-Sn =1-1 n3132Sn1-所以bn_ R_ 11 n 2.2 + 23