拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例00(新)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例廣西桂林市全州縣石塘高級中學(xué) 廖永球1 案例背景筆者上課的時間是 2010年 12月 10日第三節(jié)，當(dāng)時的背景是全州縣數(shù)理化 學(xué)會年會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進(jìn)行課堂教學(xué)上的公開課。我 校是鄉(xiāng)下普通高中，上課的班級是高二普通班在同年級五個班中數(shù)學(xué)成績排名 第三。學(xué)生基礎(chǔ)知識十分薄弱，整式運(yùn)算、解不等式等初中知識都沒有掌握。2 教學(xué)課題2.1 課題：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例2.2 教材：高中數(shù)學(xué)第二冊(上)人教版第八章圓錐曲線方程中的第五節(jié)“拋 物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”第一課時3 教材分析3.

2、1 內(nèi)容分析 本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學(xué)生對橢圓、 雙曲線的基本知識和研究方法已經(jīng)熟悉了，這里精簡介紹，學(xué)生是完全可以接 受的，講解時應(yīng)采用類比的方法讓學(xué)生探究、合作交流等方式得出拋物線的定 義、標(biāo)準(zhǔn)方程，最后反思應(yīng)用。本課是學(xué)習(xí)拋物線的性質(zhì)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)。拋 物線的定義很簡單但非常重要，學(xué)習(xí)時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯(lián) 系，為深刻體會圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準(zhǔn)備。3.2 教學(xué)目標(biāo)(1) 知識目標(biāo)：理解和掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。(2) 能力目標(biāo)： 掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程， 會求拋物線的焦點、 準(zhǔn)線 及方程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、探究

3、的思想。(3) 德育目標(biāo)：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，對學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動、變化、對立、 統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。3.3 教學(xué)重點與難點(1) 教學(xué)重點：拋物線的定義、焦點、準(zhǔn)線。拋物線的四種方程形式以及 p 的意義。(2) 教學(xué)難點：運(yùn)用坐標(biāo)法建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。拋物線定義及焦點、準(zhǔn)線知識的靈活運(yùn)用。4 教學(xué)方法與思路用多媒體輔助教學(xué)，采用探究、啟發(fā)相結(jié)合的教學(xué)模式，遵循引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷！1所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。循序漸進(jìn)的思路，使學(xué)生進(jìn)行類比、探究、合作交流等活動。流程如下：創(chuàng)設(shè)情境T探索研究T反思應(yīng)用T歸納總結(jié)T

4、課后作業(yè)5教學(xué)過程5.1 創(chuàng)設(shè)情境師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大 家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0< e< 1時是橢圓，當(dāng)e> 1時是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時，它是什么曲線呢？師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動畫演示得出：當(dāng)e=1時，曲線是拋物線。5.2 探索研究(1) 實驗演示，觀察猜想。 幾何畫板演示：學(xué)生觀察：動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線I的距離d之 間的關(guān)系；觀察追蹤動點 M得到的軌跡形狀。探索出當(dāng)e= 1時動點M的軌跡為拋物線，進(jìn)而給出拋物線的定

5、義。拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫拋物線。點 F叫拋物線的焦點，直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線。(3) 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。師：根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準(zhǔn)線的垂線，垂足為K,設(shè)| FK|= p，如何建立直角坐標(biāo)系?從學(xué)生中歸納出以下幾種y2= 2px p2(p>0)y2= 2px + p2(p>0)y2= 2px (p>0)師：選擇哪一種方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？并說明理由。生：將方程y2= 2px (p>0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，因為此時方程最簡潔, 頂點是原點。師：很好！我們把方程y2 = 2px (p>0)

6、叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它表示的拋 物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是(p/2, 0)，它的準(zhǔn)線方程是x = p/2。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。(4) 討論四種位置上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程。x2 = 2py (p>0)F(0, p/2) =p/2x2= 2py (p>0)F(0, p/2) y 二 p/2給出下列圖形，由學(xué)生說出標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程。標(biāo)準(zhǔn)方程：y2= 2px (p>0) 焦 點：F( p/2, 0)準(zhǔn)線方程：x = p/2y5.3 反思應(yīng)用例1已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F(0, 2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。生：因為焦點在y軸

7、的負(fù)半軸上，并且p/2=2，p=4，所以所求拋物線的標(biāo) 準(zhǔn)方程是x2= 8y。變：(1) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2= 6x，則它的焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是 生：焦點(一3/2,0)，準(zhǔn)線方程x = 3/2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y= x2/8，則它的焦點坐標(biāo)是準(zhǔn)線方程是生：焦點(0, 2)，準(zhǔn)線方程y = 2(3)拋物線的焦點F(0,3)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ;生：x = 12y 拋物線的準(zhǔn)線方程是y二3,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ;生：x =一 12y(5) 拋物線的焦點在x軸上，且過點(一3,2)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ;生：由拋物線過點(一3,2)，且焦點在x軸上，設(shè)方程為y2二一2px(p >0),

8、將點(一 3,2)代入方程得2p= 4/3，所以方程為y =一 4x/3。師：大家想一想，在橢圓(或雙曲線)中，若橢圓(或雙曲線)經(jīng)過兩個 點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程時，我們是如何設(shè)方程的？生：一般化，設(shè) mx+ ny2= 1(m>0,n >0)師：這里能否一般化？生2:能拋物線的焦點在x軸上，設(shè)方程y2= mx(m0) 將點(一 3,2)代入方程得m= 4/3，所以方程為y =一 4x/3。例2求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(1)過點(一3,2);生：設(shè)方程為y2= mx(m 0)或x2= ny(n工0)，將點的坐標(biāo)代入求得 y2 = 4x/3 或 x2 = 9y/2。放棄很簡單，但

9、你堅持到底的樣子一定很酷!4所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。 焦點為直線I : 2x + y 4= 0與坐標(biāo)軸的交點。2生：先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(2,0)或(0,4)，故標(biāo)準(zhǔn)方程為y = 8x或x = 16y。例3點P(2,y)為拋物線y2 = 8x上的一點，F(xiàn)是它的焦點，則|PF| =:y= 。生：由拋物線 y2= 8x 知準(zhǔn)線方程 x= 2，根據(jù)拋物線的定義知 |PF| 等于點 P到準(zhǔn)線的距離4,將點的坐標(biāo)代入方程有y =± 4。師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關(guān)鍵。 變：已知點Q為拋物線上的一點，(1) 若|QF

10、| = 4,則點Q的坐標(biāo)是;生： (2, ± 4)(2) |QF| 的最小值是 ；生： 2(3) 若A(3,4),則|QA| + |QF|的最小值是,此時點Q的坐標(biāo)是<生： 5； (2,4)5.4 歸納總結(jié) 師：請同學(xué)們回憶一下，這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？ 生： (1) 拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點、準(zhǔn)線；(2) 理解 p 的幾何意義，即焦點到準(zhǔn)線的距離， p>0；(3) 掌握用坐標(biāo)法求曲線方程的方法，要注意選好坐標(biāo)系的恰當(dāng)位置。 師：用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 生：坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、定義法。5.5 課后作業(yè)作業(yè)：課本 P133： 2、3、46 教學(xué)反思本課受到教

11、師和學(xué)生的好評，主要是因為把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，用多媒體創(chuàng)設(shè)情境，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動，抓住解析幾何的核心一一數(shù)形結(jié)合。6.1 創(chuàng)設(shè)情境、恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生是上好課的基礎(chǔ) 用多媒體創(chuàng)設(shè)情境，采用類比的方法讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力。教學(xué)中不能忽視學(xué)生 的發(fā)散思維，要恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，課堂上突發(fā)性的問題，教師要能自如地應(yīng)對。6.2 變式訓(xùn)練，提高學(xué)生解題能力與思維深度 本課圍繞例題進(jìn)行變式訓(xùn)練， 師生圍繞問題展開討論， 學(xué)生在質(zhì)疑、 討論、總結(jié)的過程中， 理解了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程， 形成了自己的數(shù)學(xué)思想方法， 更觸發(fā)了學(xué)生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)了學(xué)生的智慧源泉，實現(xiàn)了舉 一反三、觸類旁通的效果。6.3 教師反思雖然本課基本體現(xiàn)了新課改的精神，培養(yǎng)學(xué)生積極參與的習(xí)慣，并運(yùn)用多 媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，但是仍存在不足之處，如：拋物線的定義“平面內(nèi)與一個 定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫拋物線。 ”從嚴(yán)格意義看是不嚴(yán) 謹(jǐn)?shù)?，此時如設(shè)問“若定