拋物線及其標準方程教學案例00(新)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。拋物線及其標準方程教學案例廣西桂林市全州縣石塘高級中學 廖永球1 案例背景筆者上課的時間是 2010年 12月 10日第三節(jié)，當時的背景是全州縣數(shù)理化 學會年會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進行課堂教學上的公開課。我 校是鄉(xiāng)下普通高中，上課的班級是高二普通班在同年級五個班中數(shù)學成績排名 第三。學生基礎知識十分薄弱，整式運算、解不等式等初中知識都沒有掌握。2 教學課題2.1 課題：拋物線及其標準方程教學案例2.2 教材：高中數(shù)學第二冊(上)人教版第八章圓錐曲線方程中的第五節(jié)“拋 物線及其標準方程”第一課時3 教材分析3.

2、1 內(nèi)容分析 本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學生對橢圓、 雙曲線的基本知識和研究方法已經(jīng)熟悉了，這里精簡介紹，學生是完全可以接 受的，講解時應采用類比的方法讓學生探究、合作交流等方式得出拋物線的定 義、標準方程，最后反思應用。本課是學習拋物線的性質(zhì)及其應用的基礎。拋 物線的定義很簡單但非常重要，學習時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯(lián) 系，為深刻體會圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準備。3.2 教學目標(1) 知識目標：理解和掌握拋物線的定義及其標準方程。(2) 能力目標： 掌握拋物線的定義及其標準方程， 會求拋物線的焦點、 準線 及方程，培養(yǎng)學生數(shù)形結合、分類討論、類比、探究

3、的思想。(3) 德育目標：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，對學生進行運動、變化、對立、 統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。3.3 教學重點與難點(1) 教學重點：拋物線的定義、焦點、準線。拋物線的四種方程形式以及 p 的意義。(2) 教學難點：運用坐標法建立拋物線的標準方程。拋物線定義及焦點、準線知識的靈活運用。4 教學方法與思路用多媒體輔助教學，采用探究、啟發(fā)相結合的教學模式，遵循引導發(fā)現(xiàn)，放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷！1所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。循序漸進的思路，使學生進行類比、探究、合作交流等活動。流程如下：創(chuàng)設情境T探索研究T反思應用T歸納總結T

4、課后作業(yè)5教學過程5.1 創(chuàng)設情境師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質(zhì)，大 家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當0< e< 1時是橢圓，當e> 1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出：當e=1時，曲線是拋物線。5.2 探索研究(1) 實驗演示，觀察猜想。 幾何畫板演示：學生觀察：動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線I的距離d之 間的關系；觀察追蹤動點 M得到的軌跡形狀。探索出當e= 1時動點M的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定

5、義。拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫拋物線。點 F叫拋物線的焦點，直線I叫做拋物線的準線。(3) 求拋物線的標準方程。師：根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準線的垂線，垂足為K,設| FK|= p，如何建立直角坐標系?從學生中歸納出以下幾種y2= 2px p2(p>0)y2= 2px + p2(p>0)y2= 2px (p>0)師：選擇哪一種方程作為拋物線的標準方程？并說明理由。生：將方程y2= 2px (p>0)叫做拋物線的標準方程，因為此時方程最簡潔, 頂點是原點。師：很好！我們把方程y2 = 2px (p>0)

6、叫做拋物線的標準方程。它表示的拋 物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是(p/2, 0)，它的準線方程是x = p/2。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。(4) 討論四種位置上的拋物線標準方程。x2 = 2py (p>0)F(0, p/2) =p/2x2= 2py (p>0)F(0, p/2) y 二 p/2給出下列圖形，由學生說出標準方程，焦點坐標及準線方程。標準方程：y2= 2px (p>0) 焦 點：F( p/2, 0)準線方程：x = p/2y5.3 反思應用例1已知拋物線的焦點坐標是F(0, 2)，求它的標準方程。生：因為焦點在y軸

7、的負半軸上，并且p/2=2，p=4，所以所求拋物線的標 準方程是x2= 8y。變：(1) 拋物線的標準方程是y2= 6x，則它的焦點坐標是，準線方程是 生：焦點(一3/2,0)，準線方程x = 3/2 拋物線的標準方程是y= x2/8，則它的焦點坐標是準線方程是生：焦點(0, 2)，準線方程y = 2(3)拋物線的焦點F(0,3)，則它的標準方程是 ;生：x = 12y 拋物線的準線方程是y二3,則它的標準方程是 ;生：x =一 12y(5) 拋物線的焦點在x軸上，且過點(一3,2)，則它的標準方程是 ;生：由拋物線過點(一3,2)，且焦點在x軸上，設方程為y2二一2px(p >0),

8、將點(一 3,2)代入方程得2p= 4/3，所以方程為y =一 4x/3。師：大家想一想，在橢圓(或雙曲線)中，若橢圓(或雙曲線)經(jīng)過兩個 點，求它的標準方程時，我們是如何設方程的？生：一般化，設 mx+ ny2= 1(m>0,n >0)師：這里能否一般化？生2:能拋物線的焦點在x軸上，設方程y2= mx(m0) 將點(一 3,2)代入方程得m= 4/3，所以方程為y =一 4x/3。例2求適合下列條件的拋物線的標準方程。(1)過點(一3,2);生：設方程為y2= mx(m 0)或x2= ny(n工0)，將點的坐標代入求得 y2 = 4x/3 或 x2 = 9y/2。放棄很簡單，但

9、你堅持到底的樣子一定很酷!4所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。 焦點為直線I : 2x + y 4= 0與坐標軸的交點。2生：先求出直線與坐標軸的交點(2,0)或(0,4)，故標準方程為y = 8x或x = 16y。例3點P(2,y)為拋物線y2 = 8x上的一點，F(xiàn)是它的焦點，則|PF| =:y= 。生：由拋物線 y2= 8x 知準線方程 x= 2，根據(jù)拋物線的定義知 |PF| 等于點 P到準線的距離4,將點的坐標代入方程有y =± 4。師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關鍵。 變：已知點Q為拋物線上的一點，(1) 若|QF

10、| = 4,則點Q的坐標是;生： (2, ± 4)(2) |QF| 的最小值是 ；生： 2(3) 若A(3,4),則|QA| + |QF|的最小值是,此時點Q的坐標是<生： 5； (2,4)5.4 歸納總結 師：請同學們回憶一下，這節(jié)課學習的主要內(nèi)容？ 生： (1) 拋物線的定義、標準方程、焦點、準線；(2) 理解 p 的幾何意義，即焦點到準線的距離， p>0；(3) 掌握用坐標法求曲線方程的方法，要注意選好坐標系的恰當位置。 師：用到了哪些數(shù)學思想方法？ 生：坐標法、數(shù)形結合法、待定系數(shù)法、定義法。5.5 課后作業(yè)作業(yè)：課本 P133： 2、3、46 教學反思本課受到教

11、師和學生的好評，主要是因為把學習的主動權交給學生，用多媒體創(chuàng)設情境，使得學習內(nèi)容直觀、生動，抓住解析幾何的核心一一數(shù)形結合。6.1 創(chuàng)設情境、恰當引導學生是上好課的基礎 用多媒體創(chuàng)設情境，采用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學生數(shù)學表達和交流的能力。教學中不能忽視學生 的發(fā)散思維，要恰當引導學生，課堂上突發(fā)性的問題，教師要能自如地應對。6.2 變式訓練，提高學生解題能力與思維深度 本課圍繞例題進行變式訓練， 師生圍繞問題展開討論， 學生在質(zhì)疑、 討論、總結的過程中， 理解了拋物線的定義與標準方程， 形成了自己的數(shù)學思想方法， 更觸發(fā)了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發(fā)了學生的智慧源泉，實現(xiàn)了舉 一反三、觸類旁通的效果。6.3 教師反思雖然本課基本體現(xiàn)了新課改的精神，培養(yǎng)學生積極參與的習慣，并運用多 媒體進行輔助教學，但是仍存在不足之處，如：拋物線的定義“平面內(nèi)與一個 定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫拋物線。 ”從嚴格意義看是不嚴 謹?shù)模藭r如設問“若定