普朗克黑體輻射公式推導(dǎo)(精.選)

1、精心整理普朗克黑體輻射公式的推導(dǎo)所謂的黑體是指能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。 黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。輻射熱平衡狀態(tài)：處于某一溫度 T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時(shí)，輻射 達(dá)到熱平衡狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長(zhǎng)的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì)溫度T有關(guān)而與黑體的形狀和材料無(wú)關(guān)。實(shí)驗(yàn)得到:I. Wien公式 從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式：Wien公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長(zhǎng)波部分則明顯不一致2. Rayleigh-Jeans公式Rayleig

2、h-Jeans公式在低頻區(qū)和實(shí)驗(yàn)相符，但是在高頻區(qū)公式與實(shí)驗(yàn)不符，并且E Evdv，既單位體積的能量發(fā)散，而0驗(yàn)測(cè)得的黑體輻射的能量密度是E T4，該叫做 Stefan-Bolzmann 公式，叫做Stefan-Bolzmann 常數(shù)。3. Planek黑體輻射定律1900年12月14日 Planek提出如果空腔內(nèi)的 體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分 與腔壁原子的能量分布就應(yīng)有一種對(duì)應(yīng)。作為輻原子的模型，Pla nek假定：(1)原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率v振蕩;(2)黑體只能以E=hv為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻

3、射能量。得到:C31exp(h /kT) 1該式稱為Planek輻射定律word.h為普朗克常數(shù)，h=6.626 10 34 j.s4，普朗克的推導(dǎo)過(guò)程：把空窖內(nèi)的電磁波分解為各個(gè)頻率的簡(jiǎn)振振動(dòng)，簡(jiǎn)振模的形式最后為 k (r,t) Ckei(K.r wt)1,2表示兩個(gè)互相垂直的偏振方向，Ck為常系數(shù)每一個(gè)簡(jiǎn)振模在力學(xué)上等價(jià)于一個(gè)自由度，記頻率在d 內(nèi)的自由度數(shù)為 g d則(0, v)范圍內(nèi)的總自由度數(shù)借助幾何方法求出G8 V3c3精心整理G(v)與g(v)的關(guān)系為G3，取微分得g令E代表體積為 V的空窖內(nèi)熱平衡輻射的總內(nèi)能,u ,T d 代表單位體積，頻率間隔在d 內(nèi)的能量,E_182于是

4、u ,T d g( )d ，代表頻率為的振子的平均能量，g d g 3 d代V 00Vc表單位體積內(nèi)頻率間隔在， d內(nèi)的振動(dòng)自由度數(shù)。應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理得到平均能量為 KT與振子的頻率無(wú)關(guān)，代入u v,T d - g d可以得到8 2u v,T d 3 kT d ，這就是瑞利-金斯公式，在低頻區(qū)和實(shí)驗(yàn)符合，高頻區(qū)嚴(yán)重偏離。c 1 8 2普朗克熱輻射理論采用的也是波的觀點(diǎn)，g dg3 2d依舊認(rèn)為他正確，但是能量均分定理不Vc適用，原因在于麥克斯韋一一波爾滋蔓分布不對(duì)，問(wèn)題出在振子能量取連續(xù)值上。 Planek假定：黑體只能以E=hv為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)典理論

5、所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，對(duì)于頻率為v的振子，其能量只能取一個(gè)最小能量單元的整數(shù)倍即n nh ，他認(rèn)為振子的平均分布仍遵從麥克斯韋一一玻爾茲曼分布，即an( ) e n代表頻率為v對(duì)的振子處于能級(jí) n v的平均數(shù)，于是振子的平均能量為lnZ其中Z代表頻率為v的振子的配分函數(shù)，可以得到ZIn ZhhekT由此可以知道振子的平均能量與其頻率有關(guān)，能量均分定理不成立。1把上式代入u vTJ得到:3du V,T d -3 h /kTc這就是普朗克輻射公式。1精心整理射場(chǎng)的E u ,T dn 08_h 3d令x3h /kTc n oe1hv/kT得E8 kT 43x .x dx oe 154aT4其中a 8 k 3，5，對(duì)Planek輻射定律 '15h e的討論:C31exp(h /kT) 1(1 )當(dāng) v 很大(短波)時(shí)，因?yàn)?exp(hv/kT)-1 疋 exp(hv/kT),Planck定律化為Wien公式。d 號(hào) exp(h Lt) 1 d 變?yōu)?d3 e)p(/kT)d2) 當(dāng) v 很小(長(zhǎng)波)時(shí)，因?yàn)?exp(h