AR模型譜估計(jì)算法分析

1、信息量準(zhǔn)則在AR模型譜估計(jì)算法分析緒論雷達(dá)雜波的建模與仿真，是雷達(dá)目標(biāo)環(huán)境模擬中的重要組成部分，雜波建模的好壞將直接影響到最終模擬效果。統(tǒng)計(jì)建模是目前較為成熟和常用的雜波建模 方法,在建立統(tǒng)計(jì)性模型時(shí)，雜波通常用相關(guān)非高斯分布隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述，其主要 模擬方法有三種：外部模型法、廣義維納過(guò)程的零記憶非線性變換法 （ZMNLg日球 不變隨機(jī)過(guò)程法（SIRP）。使用這三種方法的前提都是要先產(chǎn)生具有指定功率譜 特性的相關(guān)高斯隨機(jī)過(guò)程。相對(duì)于雜波的空間相關(guān)性,雜波在時(shí)間上的相關(guān)性由其功率譜特性來(lái)描述。 地面雷達(dá)環(huán)境雜波的功率譜主要用高斯譜或n次方譜來(lái)描述，分析這兩種分布特性不難發(fā)現(xiàn)，雜波功率大部分集中在

2、半功率點(diǎn)或特征頻率范圍內(nèi)，具有一定程度的極值函數(shù)特征，因此，可以用有限階自回歸（AR）過(guò)程模擬近似。也就是說(shuō)， 可以將雜波看成是一個(gè)具有指定功率譜特性的自回歸隨機(jī)過(guò)程。這樣，相關(guān)高斯雜波的模擬問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為對(duì)給定功率譜求解其AR模型的參數(shù)和階數(shù)問(wèn)題。AR模型定階準(zhǔn)則可以分為兩類：線性代數(shù)法和信息量準(zhǔn)則法。線性代數(shù)法 需要計(jì)算矩陣的秩，計(jì)算量大，不易于工程實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)1給出了一種修正 的LEVISON#法來(lái)確定AR階數(shù)，得到的階數(shù)與實(shí)際AR階數(shù)較為接近，但前提是 需要事先選擇一個(gè)取值理想的收斂因子，這給實(shí)際工作帶來(lái)了不確定性。信息量 準(zhǔn)則法是設(shè)定一個(gè)與AR階數(shù)、線形預(yù)測(cè)誤差方差相關(guān)的性能指標(biāo)，選

3、擇使這個(gè)性 能指標(biāo)達(dá)到最小的階數(shù)，依此作為定階原則來(lái)確定 AR階數(shù)。它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量 小，易于實(shí)現(xiàn)，不需要選擇不確定性因素，而且這種基于信息量準(zhǔn)則的方法具有明 確的物理意義。采用模型仿真相關(guān)高斯序列，具有靈活性強(qiáng)，效率高的優(yōu)點(diǎn)，但如何選擇合 適的階數(shù)一直是模型譜估計(jì)中的關(guān)鍵問(wèn)題。 本文從介紹功率譜的估計(jì)原理入手分 析了經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)兩類估計(jì)方法的原理，根據(jù)現(xiàn)代譜估計(jì)中的線性預(yù)測(cè)自回歸模型法（AR模型法）估計(jì)功率譜的原理，討論了 Levlnsion-Durbin 算法 和四種基于信息量準(zhǔn)則的 AR模型定階準(zhǔn)則：AIC、FPE CAT和MDL計(jì)算AR模 型參數(shù)、估計(jì)功率譜并利用進(jìn)行了實(shí)例計(jì)

4、算和分析。一、功率譜估計(jì)現(xiàn)狀信號(hào)處理的核心,說(shuō)到底就是如何保證在信號(hào)受到干擾產(chǎn)生失真的情況下， 正確恢復(fù)原有信號(hào)，提取有用信息。而功率譜(簡(jiǎn)稱譜)估計(jì)就是信號(hào)處理的一個(gè) 重要分支；以傅立葉變換為基礎(chǔ)譜估計(jì)一般稱為的傳統(tǒng)(或經(jīng)典)譜估計(jì)方法，傳統(tǒng)譜估計(jì)法乂可以分為直接法和間接法，后來(lái)由丁FFT的出現(xiàn)，直接法和間接法往往被結(jié)合起來(lái)使用。不論是數(shù)據(jù)加窗還是自相關(guān)函數(shù)加窗， 在頻率域都會(huì)發(fā) 生“泄露”現(xiàn)象，即功率譜主瓣的能量泄露到旁瓣中去，這樣，弱信號(hào)的主瓣很 容易被強(qiáng)信號(hào)的旁瓣淹沒或畸變，造成譜的模糊與失真。為了克服經(jīng)典譜估計(jì)的 缺點(diǎn)，近年來(lái)在實(shí)現(xiàn)高分辨率譜估計(jì)技術(shù)方面取得了很大的進(jìn)展，提出了許多功

5、率譜估計(jì)的參數(shù)方法，也就是現(xiàn)代譜估計(jì)的基本方法。其基本思想是在進(jìn)行譜估 計(jì)過(guò)程對(duì)所觀測(cè)的有限數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)不作任何確定性假設(shè)。譜估計(jì)的現(xiàn)代方法主要是以隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)模型為基礎(chǔ)的，因此，也可以將其稱為參數(shù)模型方法或簡(jiǎn)稱模型方法。 通常，由丁有用信號(hào)與噪聲的頻譜特性不 同，因此譜估計(jì)方法成為一種在噪聲背景下提取有用信號(hào)(正弦信號(hào))的有效方法。譜估計(jì)的方法主要有非參數(shù)化方法和參數(shù)化方法，或稱為經(jīng)典譜估計(jì)方法和 現(xiàn)代譜估計(jì)方法。經(jīng)典譜估計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)便、計(jì)算效率高，其不足是頻 率分辨率低?，F(xiàn)代譜估計(jì)方法具有頻率分辨率高的優(yōu)點(diǎn)，因此乂被稱為高分辨率 譜估計(jì)方法。近年來(lái)，現(xiàn)代譜估計(jì)理論和技術(shù)的研究一

6、直十分活躍。現(xiàn)代譜估計(jì)的方法主要有模型法、嫡譜法、最大似然法和特征分解法等四大類。二、 算法簡(jiǎn)介L(zhǎng)evinsion-Durbin 遞推算法用線性方程組的常用算法(如高斯消元法)求解Yule-Walker方程需要運(yùn)算 量的數(shù)量級(jí)為P3,但若利用系數(shù)矩陣的對(duì)稱性和 Toeplitz性質(zhì)，則可以形成一 些高效算法，Levinsion-Durbin 算法是其中最著名、應(yīng)用最廣泛的一種，這種 算法的運(yùn)算量數(shù)量級(jí)為P2,這是一種按階次進(jìn)行的遞推算法，即首先以AR(0)和 AR(1 )模型參數(shù)作為初始條件，計(jì)算 AR(2)模型參數(shù)；然后根據(jù)這些參數(shù)計(jì)算 AR(3)模型的參數(shù)，按照上述方法依次計(jì)算 AR(4)

7、,AR(5),的參數(shù)，直到計(jì)算 出ARp )的模型參數(shù)為止。這樣當(dāng)整個(gè)迭代計(jì)算結(jié)束后，不僅求得了所需要的 階AR模型的參數(shù)，同時(shí)還得到了所有各低階模型的參數(shù)。K 階 Yule-Walker 方程：R(o)R(1)R(k)12OkR(1)R(0)R(k -1ak,10% - q% . q-W -0R(k)R(k _1 )R(°)ak,k0的參數(shù) 或,1同,2,，ak,k ,§2k,現(xiàn)求解k+1階Yule-Walker方程，為此將k階方程的系數(shù)矩陣增加一列和增加一行，稱為下列形式的“擴(kuò)大方程”：擴(kuò)大方程中的Dk由下式定義:kDk ak,iR k 1 -i ,ak,o =1i=0

8、R(0)W)R(k)R(k+1:112。kRR(0)R(k -1)R(k)ak,10R(k)R(k-1)R(0)Rak,k0R(k+1)R(k)RR(0)0Dk利用系數(shù)矩陣的特點(diǎn)，將擴(kuò)大方程的行倒序，同時(shí)列也進(jìn)行倒序，得到“預(yù) 備方程”：R(0)R(1)R(k)R(k+10DkRR(0)R(k-1 )R(k)ak,k0R(k)R(k -1 )R(0)Rak,10R(k +1)R(k)-R(1)R(0)12G k將待求解的k+1階Yule-Walker方程的解表示成擴(kuò)大方程的解和預(yù)備方程的 解的線性組合形式：110ak -+,1ak,1ak,k=-7 -k4tak 4t,kak,kak,1ak4

9、r,k +01或者a"i=ak,i- k 1a* 1如=1,2, ,k到:式中，是待定系數(shù)，稱為反射系數(shù)。上式各項(xiàng)都右乘以k+1階系數(shù)矩陣，得2 籽kDk0- +0Dk2 §k02 k 10k1*由該式可以求出:二 k 1 =二一 k - k 1Dk = 1 - k 1 kk由擴(kuò)大方程的第一個(gè)方程可以求出：b2k=R（0）+£ akR（i）i旦把以上各式子的模型參數(shù)代入到公式中，即可計(jì)算出功率譜估計(jì)值:_ 2Sxx（ejw ）=?乏id（j2兀k ） Sxx e N若在T <w壬兀范圍內(nèi)的N個(gè)等間隔頻率點(diǎn)上均勻采樣，則上式可寫成:2p_j ki1 寸ape

10、N p ,i =1若Np，則上式中在N -1 >ip時(shí)，應(yīng)取apj=0三、AR模型的定階準(zhǔn)則選擇合適的AR模型階次是AR譜估計(jì)中的一個(gè)重要問(wèn)題，階次選擇太低會(huì)產(chǎn) 生較大偏差，太高則會(huì)導(dǎo)致虛假譜峰，并造成譜估計(jì)方差性能的下降。雖然Levinsion-Durbin遞推關(guān)系式給出了階次逐次提高的AR模型參數(shù)估計(jì)方法，但并沒有給出定階方法。文獻(xiàn)1給出了一種修正的Levinson-Durbin 算法來(lái)確 定階數(shù)，該算法事先設(shè)定一個(gè)收斂因子a壬1,進(jìn)行遞推運(yùn)算，當(dāng)Pm/Pma時(shí), 選擇階數(shù)m該方法實(shí)際上是判斷預(yù)測(cè)誤差方差 P隨階數(shù)增大而收斂的程度，但是它并沒有給出一個(gè)準(zhǔn)則來(lái)判斷什么樣的收斂程度是符合

11、要求的，在實(shí)際操作中需要多次試驗(yàn)才能選取到合適的因子。本文則采用了四種具有明確物理 含義的信息量準(zhǔn)則法：赤池信息量準(zhǔn)則（AIC）、最終預(yù)測(cè)誤差（FPE應(yīng)、自回歸 傳遞函數(shù)（CAT）準(zhǔn)則、最小描述長(zhǎng)度（MDL灘則。赤池信息量準(zhǔn)則（Akaike's Information Criterion ;簡(jiǎn)記為AIC）是在統(tǒng) 計(jì)模型選擇中有著最廣泛應(yīng)用的信息量準(zhǔn)則，是赤池弘次（H.Akaike ）在研究信 息論特別是在解決時(shí)間序列定階問(wèn)題中提出來(lái)的。AIC準(zhǔn)則是選擇階數(shù)m以使性能指標(biāo)：AIC (m)= N ln Pm+2m達(dá)到最小，Pm 為m階AR模型的預(yù)測(cè)誤差的方差。AIC表示的是AR模型估計(jì)的概

12、率密度函數(shù)和 數(shù)據(jù)真實(shí)的概率密度函數(shù)之間的 Kullback-Leibler距離的估計(jì)值。FPE準(zhǔn)則是選擇階數(shù)m以使性能指標(biāo)：FPE (m )= Pm ： N *m-1 達(dá)到最小。當(dāng)觀察點(diǎn)數(shù)Nt e時(shí)，AIC與FPE將得到相同的階次估計(jì)？'1 二 11 .一 .一，CAT則是選擇階數(shù) m以使性能指標(biāo)：CAT(m)=£ 達(dá)到最小，N ii :'m式中R =N/(N -i )R。CAT準(zhǔn)則使得估計(jì)值的預(yù)測(cè)誤差濾波器最接近最佳無(wú)限長(zhǎng) 濾波器。之所以最佳濾波器是無(wú)限長(zhǎng)的，是因?yàn)镃ATffi則不僅僅是對(duì)純AR過(guò)程， 而且是對(duì)任意過(guò)程數(shù)據(jù)的 AR譜進(jìn)行估計(jì)。MDl則的使性能指標(biāo)為

13、MDL(m)= Nln Pm+mlnN ,MDL則是用最小描述 長(zhǎng)度來(lái)選擇階數(shù)，它根據(jù)使模型對(duì)應(yīng)過(guò)程的概率分布最大可能地逼近實(shí)際過(guò)程的 概率分布這一思想，用Kullback-Leibler 信息測(cè)度來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)概率分布距離。信息量準(zhǔn)則法不需要選擇不確定性因素來(lái)限定階數(shù)的選擇 ，而且具有明確 的物理意義。嚴(yán)格按照性能指標(biāo)所確定的 AR模型階數(shù)m往往偏低，尤其是對(duì)丁 n次方譜，而取2-3倍的m則可以達(dá)到較好的結(jié)果。四、AR模型譜估計(jì)功率譜的Matlab實(shí)現(xiàn)模型法包括AR模型法、MA模型法、ARM敞型法，由丁三者之間可以相互表 示，而對(duì)AR模型參數(shù)的估計(jì)得到的是線性方程，故 AR模型法比MA ARMA

14、K型 法具有在計(jì)算上簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，且實(shí)際物理系統(tǒng)往往是全極點(diǎn)系統(tǒng)，所以研究有理 分式傳遞函數(shù)的模型主要是討論 AR模型。AR模型法做功率譜估計(jì)的原理是：假 設(shè)所分析的信號(hào)x(n)是一個(gè)均方誤差為aw2的白噪聲激勵(lì)w(n)-線性時(shí)不變系 統(tǒng)H(z)(即AR模型)所得到，則分析信號(hào)的功率譜估計(jì)為：2、21FXx(w) = bw H(z)zwH(z)=p1 ' akz*kW其中為輸入序列的方差b2w, a1,a2,，ap為待估參數(shù)。由此可見 AR模型法 估計(jì)功率譜使之是求解模型參數(shù)a,a2,ap和的問(wèn)題。本文采用 Levinsion-Durbin 遞推算法求解模型參數(shù)，使之得到功率譜估計(jì)值。實(shí)

15、例分析：以正弦信號(hào)加白噪聲為分析信號(hào)，用 Levinsion-Durbin 遞推算圖（1）基于AIC準(zhǔn)則的功率譜估討基于FPE誰(shuí)則之Levison Durbin方法的功率譜估計(jì)5010015020025030035。400Frequency(Hz)X=cos(2*pi*f1*n)+sinQ*pH2*n)+Mn)4020O60MwUBn2TJS.S -in-0.050.10 150.20 250.30.35時(shí)間Js圖（2）基于FPE準(zhǔn)則的功率譜估討圖（3）基于CAT準(zhǔn)則的功率譜估討基于MDL準(zhǔn)則之Levison Durbin方法的功率譜估計(jì)50100150200250300350400Frequ

16、ency(Hz) >cos(2*pi*f1 *n)4-sin(2*pi*12*n)-Fvx2060OmM-sumo-2omds¥£0 060.10.150.20.25030.35時(shí)間7sO4 2 0圖（4）基于CAT準(zhǔn)則的功率譜估討 法求出模型參數(shù)，進(jìn)而估計(jì)出其功率譜。分析 信號(hào)： X =cos(2* pi* f1* n )+sin(2* pi * f2 * n )+e(n ), 其 中 fi =100Hz, f2 =200Hz;依次采用AIC,FPE,CAT,MDL四種信息量準(zhǔn)則得到信號(hào)的估計(jì)功率譜如上圖 (1)、圖(2)、圖(3)、圖(4)所示。五、結(jié)束語(yǔ)對(duì)正弦信號(hào)加白噪聲進(jìn)行功率譜估計(jì)，由丁白噪聲的功率譜是一個(gè)常數(shù)，所 以可以估計(jì)出信號(hào)的功率譜，本文中采用Levinsion-Durbin 遞推算法求解模型參數(shù)，對(duì)丁階次的確定，雖然可以通過(guò)觀察預(yù)測(cè)誤差功率，當(dāng)其下降到最小時(shí)， 對(duì)應(yīng)的階便可以選定為模型的階，但是預(yù)測(cè)誤差功率是隨著階次增加二單調(diào)下降 的，因此很難確定降到什么程度才最合適，因此，本文中采用了AIC、FPE CAT和MDLB種信息量準(zhǔn)則。從仿真結(jié)果中可以看出，由丁噪聲的干擾，信號(hào)的波動(dòng)很頻繁，峰值很多， 從功率譜估計(jì)可以看出其很少收到噪聲的干擾，因?yàn)樵肼暤墓β首V時(shí)一常數(shù)；