函數(shù)與方程知識點總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點函數(shù)與方程知識點總結(jié)1、函數(shù)零點的定義（ 1）對于函數(shù) yf (x) ，我們把方程f ( x)0 的實數(shù)根叫做函數(shù)y f (x)的零點。（ 2）方程 f (x)0 有實根函數(shù) yf (x) 的圖像與 x 軸有交點函數(shù) yf ( x) 有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點， 有幾個零點， 就是判斷方程f (x)0 是否有實數(shù)根， 有幾個實數(shù)根。 函數(shù)零點的求法： 解方程 f (x)0 ，所得實數(shù)根就是f (x) 的零點（ 3）變號零點與不變號零點若函數(shù)f (x) 在零點 x0 左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點為函數(shù)f (x)若函數(shù)f (x) 在零點 x0 左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則

2、稱該零點為函數(shù)f (x)的變號零點。的不變號零點。若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上的圖像是一條連續(xù)的曲線，則f (a) f (b)0 是 f (x) 在區(qū)間 a, b 內(nèi)有零點的充分不必要條件。2、函數(shù)零點的判定（ 1）零點存在性定理：如果函數(shù)yf (x) 在區(qū)間 a, b 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f (a) f (b) 0 ，那么，函數(shù) y f (x) 在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在x0( , )，使得f (x0) 0，這個 x也就是方程f ( x) 0的根。a b0（ 2）函數(shù) yf ( x) 零點個數(shù)（或方程f (x)0實數(shù)根的個數(shù)）確定方法 代數(shù)法：函數(shù) yf (x) 的零

3、點f (x)0 的根；（幾何法） 對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf (x) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。（ 3）二次函數(shù)零點個數(shù)確定0yf (x) 有 2 個零點f (x)0 有兩個不等實根；0yf (x) 有 1 個零點f (x)0 有兩個相等實根；0yf ( x) 無零點f (x) 0無實根；對于二次函數(shù)在區(qū)間a, b 上的零點個數(shù)，要結(jié)合圖像進行確定.1、 二分法（ 1）二分法的定義: 對于在區(qū)間a,b 上連續(xù)不斷且f ( a)f (b)0 的函數(shù) yf (x) ,通過不斷地把函數(shù)yf ( x) 的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零

4、點的近似值的方法叫做二分法;（ 2）用二分法求方程的近似解的步驟:學(xué)習(xí)必備精品知識點 確定區(qū)間 a,b ,驗證 f (a) f (b)0 ,給定精確度;求區(qū)間 (a, b) 的中點 c ;計算 f (c) ;( )若 f (c)0 ,則 c 就是函數(shù)的零點 ;( ) 若 f (a)f (c) 0,則令 b c (此時零點 x0 ( a, c) );( ) 若 f (c)f (b) 0,則令 ac (此時零點 x0 (c, b) );判斷是否達到精確度,即 ab,則得到零點近似值為a (或 b ); 否則重復(fù)至步 .【經(jīng)典例題】【例 1】函數(shù) f (x)=2 x +x32 在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)

5、的零點個數(shù)是（B）A 、0B、 1C、2D、 3【解析】解法1：因為 f (0)=1+0 2=1， f (1)=2+2 32=8 ，即 f (0) f(1)<0且函數(shù) f (x) 在 (0,1) 內(nèi)連續(xù)不斷，故 f (x) 在 (0,1) 內(nèi)的零點個數(shù)是 1.解法 2：設(shè) y1 =2 x ， y2 =2x3 ，在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖像如圖所示：可知B 正確.425102【例 2】函數(shù)f(x) 2x 3x的零點所在的一個區(qū)間是(B)4B 、( 1,0)C、 (0,1)D、 (1,2)A 、(2， 1)150【解析】6 f( 1) 2 3×( 1) <0 ， f(0)

6、2 0 1>0 ， f( 1) f(0)<0.2 f( x) 2x 3x的零點所在的一個區(qū)間為 ( 1,0)8【例 3】下列函數(shù)中能用二分法求零點的是(C)學(xué)習(xí)必備精品知識點【例4】若函數(shù)f ( x)x( a0且 a1a的取值范圍是（1，.axa)有兩個零點，則實數(shù)）【解析】函數(shù) f (x) = axxa( a0且 a1)有兩個零點，方程 a xx a0 有兩個不相等的實數(shù)根，即兩個函數(shù) ya x 與 yxa 的圖像有兩個不同的交點，當0a 1 時，兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點，不合題意；當 a1時，兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，滿足題意.【例 5】函數(shù) f (x)x22x3, x0

7、0 ， 零點個數(shù)為（B）2ln x, xA 、 3B、 2C、 1D、 0【例 6】若函數(shù) f ( x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：f (1) = 2f (1.5) = 0.625f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = 0.054那么方程 x3x22x20 的一個近似根（精確到0.1）為（C）A 、1.2B、 1.3C、1.4D、1.5【例 7】如果二次函數(shù)yx2xm3 有兩個不同的零點， 則 m 的取值范圍是（C）A 、 (11,)B、 (, 11)C、 ( ,

8、11)D、 (11 ,)4242【例 8】方程 lg xx0 根的個數(shù)為（D）A 、無窮多 錯誤！未指定書簽。B、 3C、 1D 、 0【例 9】用二分法研究函數(shù)f()x331的零點時，第一次經(jīng)計算f (0)0， f (0.5)0，可得其中一個零點xxx0，第二次應(yīng)計算. 以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為(A )A 、（0， 0.5）， f (0.25)B、（ 0， 1）， f ( 0.25 )C、（，），f (0.75)D、（ ，0.5）， f ( 0.125 )0.5 10反思： (1) 函數(shù)零點 ( 即方程的根 ) 的確定問題，常見的有：函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定；零點個數(shù)的確定；兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定解決這類問題的常用方法有解方程法、利用