立體幾何中的向量方法平行和垂直PPT課件

1、lAPa 直線的方向向量直線的向量式方程 換句話說換句話說, ,直線上的非零向量直線上的非零向量叫做叫做直線的直線的方向向量方向向量APta 一、方向向量與法向量第1頁/共75頁2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 換句話說換句話說, ,與平面垂直的與平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量第2頁/共75頁oxyzABCO1A1B1C1例1. 如圖所示, 正方體的棱長為1(1)直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為_(2)平面OABC 的一個法向量坐標(biāo)為_(3)平面AB1C 的一個法向量坐標(biāo)為_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第3頁/共

2、75頁第4頁/共75頁第5頁/共75頁 練習(xí)練習(xí) 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中點，的中點， 求平面求平面EDB的一個法向量的一個法向量.ABCDP PE E解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依題題意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ設(shè)平面EDB的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1

3、101, 1, 1220ynxy于是第6頁/共75頁 因為方向向量與法向量可以確定因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的用直線的方向向量方向向量與平面的與平面的法向量法向量表表示空間直線、平面間的示空間直線、平面間的平行、垂直、平行、垂直、夾角、距離夾角、距離等位置關(guān)系等位置關(guān)系. 用向量方法解決幾何問題第7頁/共75頁二、立體幾何中的向量方法二、立體幾何中的向量方法平行關(guān)系平行關(guān)系第8頁/共75頁mlab一一. 平行關(guān)系：平行關(guān)系：第9頁/共75頁au aAC axAByAD 第10頁/共75頁v u 第11頁/共75頁例例1.用

4、向量方法證明用向量方法證明 定理定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行則這兩個平面平行已知已知 直線直線l與與m相交相交, ,lm,lm.求證 l,ma, .bv 證明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv v u ab,b 又a 不共線 所以v是 的一個法向量于是 v 同時是 、 的一個法向量 .第12頁/共75頁 例例2 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中點，中點，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE/FG

5、.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系. ./ AEFGAEFGAEAE與與FGFG不共線不共線幾何法呢？幾何法呢？第13頁/共75頁 例例3 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，中點， (1)求證：求證：PA/平面平面ED

6、B.ABCDP PE EXYZG解解1 立體立體幾何法幾何法第14頁/共75頁ABCDP PE EXYZG解解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)AC,AC交交BD于點于點G,連結(jié)連結(jié)EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/第15頁/共75頁ABCDP PE EXYZ解解3：如

7、圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)設(shè)平面EDB的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 第16頁/共75頁ABCDP PE EXYZ解解4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

8、，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 設(shè)解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面第17頁/共75頁ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練 如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于ADAD，點分別在對角線上，且求證：2133DCDE MNMDDE

9、EN 證明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面幾何法呢？幾何法呢？第18頁/共75頁三、立體幾何中的向量方法三、立體幾何中的向量方法垂直關(guān)系垂直關(guān)系第19頁/共75頁(1) lm0aba b 二、垂直關(guān)系：二、垂直關(guān)系：lmab第20頁/共75頁(2) l /auau lauABC第21頁/共75頁3 （）0uvu v u v 第22頁/共75頁 例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證1 立幾法第23頁/共75頁 例1 四面

10、體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證2MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB, 同理 MNCD.第24頁/共75頁 例1 四面體ABCD的六條棱長相等, AB、CD的中點分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證3 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D( 3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N第25頁/共75頁 練習(xí)練習(xí) 棱長為棱長為a a 的正方體的

11、正方體 中中,E,E、F F分別是棱分別是棱AB,OAAB,OA上的動點，且上的動點，且AF=BE,AF=BE,求證：求證： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO E第26頁/共75頁ABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱錐錐

12、中中 底底面面是是正正方方形形底底面面點點是是的的中中點點 作作交交于于點點求求證證平平面面 證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以第27頁/共75頁ABCDPEFXYZ-, ,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱錐錐中中底底面面是是正正方方形形底底面面點點是是的的中中點點作作交交于于點點求求證證平平面面 證2：第28頁/共75頁A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,1,，CD中點，求證：D1

13、F1111DCBAABCD 練習(xí) 正方體中，E、F分別平面ADE. 證明：設(shè)正方體棱長為1， 為單位正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 則則， 所以1D FADE 平平面面DADE 則則， 第29頁/共75頁A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,1,，CD中點，求證：D1F1111DCBAABCD 練習(xí) 正方體中，E、F分別平面ADE. 證明2：第30頁/共75頁,E,E是AA1 1中點，1111DCBAABCD 例3 3 正方體平面C1 1BD. 證明：E求證：平面EBD設(shè)正

14、方體棱長為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系平面平面C1BD的一個法向量是的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 設(shè)平面設(shè)平面EBD的一個法向量是的一個法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面C1 1BD. 平面EBD第31頁/共75頁 證明2：E,E,E是AA1 1中點，1111DCBAABCD 例3 3 正方體平面C1 1BD. 求證：平面EBD第32頁/共75頁-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 練練習(xí)習(xí) 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正

15、方方形形底底面面是是上上的的點點求求證證 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG第33頁/共75頁立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法夾角問題夾角問題第34頁/共75頁夾角問題：夾角問題：lamb(1) , l m的夾角為 ，coscos, a b lamb 第35頁/共75頁夾角問題：夾角問題：(2) , l的夾角為 ，sincos, a u u cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u cos(+cos(+ )= cos )= cos 2 2 ula ula 第36頁/共75頁夾角問題：夾角問題：(3) , 的夾角為 ，u v coscos =co

16、s =cos u v 第37頁/共75頁夾角問題：夾角問題：(3) , 的夾角為 ，u v coscos =cos =cos u v 第38頁/共75頁xyz 解1：以點C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 與 所成角的余弦值為1BD1AF30100111111111111 , 90Rt ABCBCAABC

17、ABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，現(xiàn)將沿著平面的法向量平移到位置，已知取、的中點、 ，求與所成的角的余弦值.第39頁/共75頁0111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，現(xiàn)將沿著平面的法向量平移到位置，已知取、的中點、 ，求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解2第40頁/共75頁 練習(xí)練習(xí) 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB與與CD成成600角，求角，求AD與與BC所成的角大小所成的角大小.1AB 解 設(shè)ADABBCCD 2222 222ADABBC

18、CDAB BCBC CDAB CD 1 1 1 00 14 2AD ()1AD BCABBCCD BC cos,1/ 2AD BC 第41頁/共75頁例： 的棱長為 1.111.B CAB C求與 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系.11(010)則，- ， ，BC B 11 平面AB C的一個法向量為D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF第42頁/共75頁例：的棱長為 1.111.B CAB C求與 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解2 A1

19、xD1B1ADBCC1yzEF第43頁/共75頁 例例4 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，作中點，作EFPB交交PB于點于點F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F第44頁/共75頁,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF則的坐標(biāo)為設(shè)點PBkPF 因為( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因為0131)1 ,()

20、 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.第45頁/共75頁)323131(，的坐標(biāo)為點F)21,21, 0(的坐標(biāo)為又點E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因為60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小為 112(,)333FD 第46頁/共75頁 例例4 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，作中

21、點，作EFPB交交PB于點于點F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一個法向量為的一個法向量為 解2 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一個法向量為的一個法向量為G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60第47頁/共75頁 例例4 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，作中點，作EFPB交交PB于點于點F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。

22、的大小。ABCDP PE EF F 解3 設(shè)DC=1., 2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。第48頁/共75頁練習(xí)練習(xí) 的棱長為 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一個法向量為的一個法向量為1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一個法向量為的一個法向量為1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二面角A-C的大小為12第49頁/共75頁的棱長為 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1第50頁/共75頁

23、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法距離問題距離問題第51頁/共75頁距離問題：距離問題：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 則則222121212()()()ABxxyyzz第52頁/共75頁距離問題：距離問題：asin, dAPAP a (2) 點點P與直線與直線l的距離為的距離為d , 則則第53頁/共75頁距離問題：距離問題：(3) 點點P與平面與平面的距離為的距離為d , 則則 u A P O d第54頁/共75頁距離問題：距離問題：(4) 平面平面與與的距離為的距離為d , 則則 umDCPAlab第55頁/共75頁 例1 如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱

24、柱，其中，以頂點A為端點 的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這 個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD 圖圖1解：解：如圖如圖1，1111 60ABAAADBADBAADAA 設(shè)，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC答答: 這個晶體的對角線這個晶體的對角線 AC1 的長是棱長的的長是棱長的 倍。倍。6第56頁/共75頁 例1 如圖1：一個結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點 的三條棱長都相等，且它們

25、彼此的夾角都是60，那么以這 個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD 圖圖1解解2：如圖如圖1，1111 60ABAAADBADBAADAA 設(shè)，第57頁/共75頁 練習(xí).(P107.2).(P107.2)如圖，6060的二面角的棱上有A A、B B兩點， 直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi), ,且都垂直AB, AB, 已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求CDCD的長. . BACD 68解1第58頁/共75頁 練習(xí).(P107.2).(P107.2)如圖，6060的二面角的棱上有A A、B B兩點， 直線ACAC、BDB

26、D分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi), ,且都垂直AB, AB, 已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求CDCD的長. . BACD 68解2第59頁/共75頁ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求點的中點，求點E到直線到直線A1B的距離的距離. 建立坐標(biāo)系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 點點E到直線到直線A1B的距

27、離為的距離為1113sin, 24dAEAEAB 第60頁/共75頁ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求點的中點，求點E到直線到直線A1B的距離的距離.解2第61頁/共75頁ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求的中點，求B1到面到面A1BE的距離的距離.u 建立坐標(biāo)系11111 11 1 解解:. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B

28、=(0,1,-1)2 2設(shè)設(shè) =(1,y,z)=(1,y,z)為為面面A BEA BE的法向的法向量量uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, 得 u u = = ( (1 1, ,2 2, ,2 2) ) 1111A B = 0,1,0 ,A B = 0,1,0 , 11111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距離離為為A B nA B n2 2 d= d=3 3n n第62頁/共75頁ABCD1A1B1C1DE 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求的中點，求B1

29、到面到面A1BE的距離的距離.等體積法等體積法1111BA BEE A BBVV解2第63頁/共75頁ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求的中點，求D1C到面到面A1BE的距離的距離. 解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距離即為D1C到面A1BE的距離. 仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距離為的距離為1113D A udu 第64頁/共75頁ABCD1A1B1C1DE 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求的

30、中點，求D1C到面到面A1BE的距離的距離.等體積法等體積法1111DA BEB A D EVV解2第65頁/共75頁ABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離的距離. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距離即的距離即 為面為面D1CB1到面到面A1BD的距離的距離1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一個法向量為且A BDACD A 111133D AACdAC 第66頁/共75頁ABCD1A1B1C1D 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離的距離.等體積法等體積法111