華師大版八年級下《函數(shù)及其圖像》知識點(diǎn)歸納

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)華師大版八年級數(shù)學(xué)下函數(shù)及其圖像知識點(diǎn)歸納一變量與函數(shù)1 函數(shù)的定義：一般的，在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x 和 y，對于 x 的每一個(gè)數(shù)值y 都有唯一的值與之對應(yīng)，我們說x 叫做自變量， y 叫做因變量， y 叫做 x 的函數(shù)。2自變量的取值范圍：（ 1）能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。（ 2）確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點(diǎn)：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實(shí)際問題中有實(shí)際意義。（ 3）不同函數(shù)關(guān)系式自變量取值范圍的確定：函數(shù)關(guān)系式為整式時(shí)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。函數(shù)關(guān)系式為分式時(shí)自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實(shí)數(shù)。函數(shù)關(guān)系式為二次根式時(shí)自變

2、量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于零的全體實(shí)數(shù)。3 函數(shù)值：當(dāng)自變量取某一數(shù)值時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值。這里有三種類型的問題：（ 1）當(dāng)已知自變量的值求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值。（ 2）當(dāng)已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程。（ 3）當(dāng)給定函數(shù)值的一個(gè)取值范圍，欲求自變量的取值范圍時(shí)實(shí)質(zhì)上就是解不等式或不等式組。二平面直角坐標(biāo)系：1各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（ 1）點(diǎn) p（ x,y ）在第一象限 x 0,y 0.（ 2）點(diǎn) p（ x,y ）在第二象限 x 0,y 0.（ 3）點(diǎn) p（ x,y ）在第三象限 x 0,y 0（ 4）點(diǎn) p（ x,y ）在第四象限 x 0,y 0.2 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（ 1

3、）點(diǎn) p（ x,y ）在 x 軸上 x 為任意實(shí)數(shù)， y=0（ 2）點(diǎn) p（ x,y ）在 y 軸上 x=0,y 為任意實(shí)數(shù)3 關(guān)于 x 軸， y 軸，原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（ 1）點(diǎn) p（ x,y ）關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-y ） .（ 2）點(diǎn) p（ x,y ）關(guān)于 y 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,y） .（ 3）點(diǎn) p（ x,y ）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,-y）4 兩條坐標(biāo)軸夾角平分在線的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（ 1）點(diǎn) p（ x,y ）在第一、三象限夾角平分在線x=y.學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)（ 2）點(diǎn) p（ x,y ）在第二，四象限夾角平分在線 x+y=05與坐標(biāo)軸平行的直線

4、上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（ 1）位于平行于 x 軸的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。（ 2）位于平行于 y 軸的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。6點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（ 1）點(diǎn)p（ x,y）到軸的距離為 y .（ 2）點(diǎn)p（ x,y）到y(tǒng) 軸的距離為x .（ 3）點(diǎn)p（ x,y）到原點(diǎn)的距離為x2y 2（ 4）同在x 軸上的兩點(diǎn)A（x1, 0）與B（ x2,0 ）之間的距離為AB=|x 1-x 2|（ 5）同在y 軸上的兩點(diǎn)C（0,y 1）與D（0,y2）之間的距離為CD=|y1-y 2|三函數(shù)的圖像函數(shù)圖像上的點(diǎn)與其解析式的關(guān)系1函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)px,y 中的 x、 y 滿足函數(shù)關(guān)系式，滿足函數(shù)關(guān)

5、系式的一對對應(yīng)值x,y 都在函數(shù)的圖像上。2判斷點(diǎn)px,y 是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) x,y 代入函數(shù)關(guān)系式，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，那么這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)關(guān)系式，那么，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖像上。四一次函數(shù)（一）一次函數(shù)的定義1定義: 含有自變量的式子為一次整式，即形如式子y kx+b( 其中k 和b 為常數(shù)，k 0) 叫做一次函數(shù)。正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0 即變?yōu)閥=kx(其中k0) ，這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。2注意：（ 1）由一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義可知;函數(shù)是一次函數(shù)解析式為y kx+b 的形式。函數(shù)是正比例函數(shù)解析式為y=kx 的

6、形式。（ 2）一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b 的結(jié)構(gòu)特征：k 0 x 的次數(shù)是1常數(shù) b 為任意實(shí)數(shù)（ 3）正比例函數(shù)解析式 y=kx 的結(jié)構(gòu)特征 k 0 x 的次數(shù)是 1 常數(shù) b=03說明：在 y=kx+b 中若 k=0 則 y=bb 為常數(shù)這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。4正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)一次函數(shù)y=kx+b ，當(dāng) b=0 時(shí)為正比例函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b ，當(dāng) b 0 時(shí)一般的一次函數(shù)（二）一次函數(shù)的圖像1一次函數(shù)圖像的形狀：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b正比例函數(shù)y

7、=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx2一次函數(shù)圖像的主要特點(diǎn):一次函數(shù)y=kx+b 的圖像經(jīng)過點(diǎn)0， b的直線，正比例函數(shù)y=kx+b 的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)注意：點(diǎn) 0， b是直線y=kx+b 與 y 軸的交點(diǎn)。當(dāng) b 0 時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在y 軸的正半軸上，當(dāng) b 0 時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在y 軸的負(fù)半軸上，當(dāng) b=0 時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在原點(diǎn)，這時(shí)的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。0， 0的直線3一次函數(shù)圖像的畫法：根據(jù)兩點(diǎn)能畫一條直線并且只能畫一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，在連成直線即可。那么，先描出哪兩點(diǎn)比較好呢？選兩點(diǎn)應(yīng)以計(jì)算和描點(diǎn)簡單為原則，一般來說，當(dāng)b 0 時(shí)，

8、一般的一次函數(shù)y=kx+b的圖像，應(yīng)選取它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)0，b與 - b ,0 ；當(dāng) b=0 時(shí)，畫正比例函數(shù)y=kx 的圖像，通常取0，0與k 1，k兩點(diǎn)，個(gè)別情況下可以做些變通，例如畫函數(shù)y= 2 x 的圖像，可以取0，0與 1， 2兩點(diǎn)，33也可以取 0， 0與 3， 2兩點(diǎn)。4直線 y=kx+b 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（ 1） 令 x=0, 則 y=b 所以直線 y=kx+b 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 0， b（ 2） 令 y=0, 則 kx+b=0 所以 x=- bk所以直線y=kx+b與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為- b ,0 注意：此時(shí)直線y=kx+b與x 軸， y軸圍成的三角形面積kS= 1&

9、#215; -b×b2k5兩直線在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置關(guān)系:（ 1）兩直線的解析式中當(dāng) k 相同時(shí)，其位置關(guān)系是平行，其中一條直線可以看作是另一條平移得到的，平移規(guī)律是“左減右加，上加下減”（ 2）兩直線的解析式中當(dāng)b 相同時(shí)，其位置關(guān)系是相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為0，b .學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)（三）一次函數(shù)的性質(zhì)1正比例函數(shù)的性質(zhì)（ 1）當(dāng) k 0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，y 隨 x 的增大而增大，直線y=kx 從左到右上升。（ 2）當(dāng) k 0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，y 隨 x 的增大而減小，直線y=kx 從左到右下降。2一次函數(shù) y=kx+b 的性質(zhì)（ 1）當(dāng) k 0時(shí)，直線 y=kx+b

10、從左到右上升，此時(shí)y 隨 x 的增大而增大。（ 2）當(dāng) k 0時(shí)，直線 y=kx+b 從左到右下降，此時(shí)y 隨 x 的增大而減小。（ 3）當(dāng) b 0 時(shí)，直線 y=kx+b 與 y 軸正半軸相交。（ 4）當(dāng) b 0 時(shí)，直線 y=kx+b 與 y 軸負(fù)半軸相交。3直線 y=kx+b 的位置與 k、b 的符號之間的關(guān)系直線 y=kx+b 的位置是由 k 與 b 的符號決定的， 其中 k 決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢，b 決定直線與 y 軸交點(diǎn)的位置是在y 軸的正半軸， 還是負(fù)半軸，還是原點(diǎn)。k 和 b 綜合起來決定直線y=kx+b 在直角坐標(biāo)系中的位置共有六種情況：當(dāng) k 0， b 0

11、 時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限；當(dāng) k 0， b 0 時(shí)，直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；當(dāng) k 0， b 0 時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限；當(dāng) k 0， b 0 時(shí)，直線經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限；當(dāng) k 0， b=0 時(shí)，直線經(jīng)過第一、三象限；當(dāng) k 0， b=0 時(shí)，直線經(jīng)過第二、四象限。（四）正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的確定1確定一個(gè)正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx k 0中的常數(shù) k; 確定一個(gè)一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+b k0中的常數(shù) k 和 b, 解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。2待定系數(shù)法：

12、先設(shè)出待求函數(shù)關(guān)系式其中含有未知的系數(shù)，再根據(jù)已知條件列出方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù)，如正比例函數(shù)y=kx中的k，一次函數(shù)y=kx+b中的k 和b 都是待確定的系數(shù)。3用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：（ 1）設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式；（ 2）把已知條件自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（ 3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)；（ 4）將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的解析式。學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)注意：通常正比例函數(shù)解析式設(shè)y=kx ，只有一個(gè)待定系數(shù) k，一般只需一對 x 與 y 的對應(yīng)值即可；一次函數(shù)

13、解析式設(shè) y=kx+b ，其中有兩個(gè)待定系數(shù)k 和 b，因而需要兩對x 與 y 的對應(yīng)值，才能求出k 和 b 的值。五反比例函數(shù)（一）反比例函數(shù)定義1一般的，函數(shù) y= k k 是常數(shù)， k 0叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=kx -1 的形x式，其中 k 叫做比例系數(shù)。2反比例函數(shù)解析式的主要特征：（ 1）等號左邊是函數(shù) y, 右邊是一個(gè)分式，分子是不為零的常數(shù)k, 分母中含有自變量 x, 且 x 的指數(shù)是 1，若寫成 y=kx -1 的形式，則 x 的指數(shù)是 -1 。（ 2）比例系數(shù)“ k0”是反比例函數(shù)定義的重要組成部分。（ 3）自變量 x 的取值范圍是x 0 的一切實(shí)數(shù)

14、。（二）反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x 0，函數(shù) y 0，所以它的圖像與x 軸和 y 軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。（三）反比例函數(shù)的性質(zhì)1當(dāng) k 0 時(shí)，圖像在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)y 隨 x 的增大而減小。2當(dāng) k 0 時(shí)，圖像在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)y 隨 x 的增大而增大。（四）反比例函數(shù)解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)

15、y= k 中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對x 與 yx的對應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k 的值，從而確定其解析式。（五）“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系反比例關(guān)系是小學(xué)學(xué)過的概念：如果xy=k k 是常數(shù) k 0，那么 x 與 y 這兩個(gè)量成反比例關(guān)系，這里x與 y 既可以代表單獨(dú)的一個(gè)字母也可以代表多項(xiàng)式或單項(xiàng)式，例如y+3 與 x 成反比例則有 y+3=k,y 與 x2x成反比例，則y= k, 成反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)y= k 中的兩個(gè)變量必定成反比x 2x例關(guān)系。學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)（六）反比例函數(shù)y= k k 0中的比例系數(shù)k 的幾何意義x1如圖，過雙曲線上一點(diǎn)作x 軸、 y 軸的垂線PM、 PN,所得矩形PMON面積為 |k| 。2連結(jié) PO,則 SPOM=1 S矩形 = 1 |k| 。22六 函數(shù)的應(yīng)用1利用圖像比較兩個(gè)函數(shù)值的大小在同一直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)函數(shù)圖像，如果其中一個(gè)函數(shù)的圖像在另一個(gè)函數(shù)圖像的上方，則該函數(shù)值就比另一個(gè)函數(shù)值大，若在下方，則該函數(shù)值就比另一個(gè)函數(shù)值小，而其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是分界點(diǎn)。2兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)與二元一次方程組的關(guān)系如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)必定同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式，故交點(diǎn)坐標(biāo)是有兩個(gè)函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。3一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系（