立體幾何中的探索性問題

1、立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關系的探究，對條件和結論不完備的開放性問題的探究.這類試題的一般設問方式是“是否存在？存在給出證明，不存在說明理由”.解決這類試題，一般根據(jù)探索性問題的設 問，首先假設其存在，然后在這個假設下進行推理論證，如果通過推理得到 了合乎情理的結論就肯定假設，如果得到了矛盾就否定假設.8 如圖，在四棱錐P- ABC中，底面ABC是矩形，P從底面ABCDPA二AB=1AD*3，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.(1) 點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理 由.rAF.小(2) 求證：無論點E在BC邊的何處，都有

2、PE1(3) 當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大 為 45。?拓展提升(1) 開放性問題是近幾年高考的一種常見題型.一般來說，這種題型依 據(jù)題目特點，充分利用條件不難求解.(2) 對于探索性問題，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代 數(shù)方程是否有解問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無 解則不存在.cD9 如圖，四棱錐S-ABCC的底面是正方形，每條 棱的長都是底面邊長的"2倍，P為側棱SD上的點.(1) 求證：AC丄SD(2) 若SDL平面PAC求二面角 P-AC-D的大小.(3) 在的條件下，側棱SC上是否存在一點E,使得BE/平面PAC若存在，求SE

3、 EC的值；若不存在，試說明理由.如圖 所示，在正方體ABCABC.D中，M,N分別是BC中點.(1) 求證：平面BiMNL平面BBDD;ii(2) 在棱DD上是否存在點P,使BD/平面PMN若 確定點P的位置；若沒有，說明理由.如圖 所示，在四棱錐 P-ABCD中,側面PADL底面ABCD側棱PA=PD*2,底面ABCD直角梯形，其中BC/ AD AB丄AD AD=2AB=2BC=20 為 AD中點.(1) 求證：POL平面ABCD(2) 求異面直線PB與CD所成角的大?。篈B,有,(3) 線段AD上是否存在點Q使得它到平面PCD的距離為仝？若存在，求出2AQ DQ的值；若不存在，請說明理由

4、.立體幾何中探索性問題的向量解法高考中立體幾何試題不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題。對于 這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決。立 體幾何引入空間向量后，可以借助向量工具，使幾何問題代數(shù)化，降低思維 的難度.尤其是在解決一些立體幾何中的探索性問題時，更可以發(fā)揮這一優(yōu) 勢.本節(jié)課主要研究：立體幾何中的存在判斷型和位置探究型問題等探索性 問題。一、存在判斷型1、已知空間三點 A (-2 , 0, 2), B(-2 , 1, 2), C(-3 , 0, 3).設 a=AB , b=AC，是否存在存在實數(shù)k,使向量ka+b與ka-2 b互相垂直，若存在，求k的值；若不存

5、在，說明理由。解 vka+b=k (0, 1,0) + (-1 , 0, 1) = ( -1 , k, 1), ka-2 b= (2, k, -2),且(ka+b)丄(ka-2 b),(-1 , k,1).( 2, k, -2 ) =k2 -4=0.則 k=-2 或 k=2.點撥：第(2)問在解答時也可以按運算律做.(ka+b)(k a-2b)二k2a2-ka b-2b2= k2 -4=0，解得 k=-2 或 k=2.則存在實2、如圖，已知矩形ABCD PAL平面ABCDM N分別是AB PC的中點， / PDA為，能否確定，使直線MN是直線AB與PC的公垂線？若能確定，求 出 的值；若不能確

6、定，說明理由.解：以點 A為原點建立空間直角坐標系A- xyz.設|AD|=2a , |AB|=2b，/ PDA=.則 A(0, 0, 0)、B(0, 2b, 0)、C(2a, 2b, 0)、D(2a, 0, 0)、P(0, 0, 2atan )、M(0, b, 0)、N(a, b, atan ).二 ab =(0 , 2b, 0) , PC=(2a , 2b, -2atan ) , mn =(a ,0, atan ).ab MN =(0 , 2b, 0) (a , 0, atan )=0,ab 丄 mn .即 ABlMN.若 MNL PC則 mn PC=(a , 0 , atan ) (2a

7、 , 2b , -2atan )2 2 2=2a -2a tan =0.tan 2 =1 ,而是銳角.tan =1 ,= 45°.即當=45°時，直線MN是直線AB與 PC的公垂線.【方法歸納】對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設存在，然后轉化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則 肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在。這是一種最常用也是最基本的方法.二、位置探究型3. 如圖所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2 E是PB的中點，DP 與AE夾角的余弦值為 于。(1) 建立適當?shù)目臻g坐標系，寫出點 E的坐標。(2) 在平面PAD內是否存在一點F,使EFL平面

8、PCB 解析：以DA DC DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設 P (0,0,2m ).則 A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m),從而 AE =(-1,1,m), DP=(0,0,2m).2cos DP , AE DPAE 二 2mDP |AE 2m 2 m2 所以E點的坐標為(1,1,1 ).(2)由于點F在平面PAD內,由EF丄平面PCB得：EF CB 0 且 EF PC 0 ,即(x 1, 1.z 1) (2,0,0)0 x 1(x 1, 1.z 1) (0,2, 2)0 z 0。3，得m=1.3所以點F的坐標為(1,0,0 ),

9、即點F是DA的中點時，可使EF丄平面PCB.【方法歸納】點F在平面PAD上一般可設 DF tQA t2DP、計算出匕出后，D點是已知的，即 可求出F點。4、在棱長為a的正方體ABC&A1B1C1D|中，E、 F分別是棱BC CC上的點，且BE= CF.(1) 當E、F在何位置時，B1F± D|E;(2) 是否存在點E、F,使AC丄面CEF?(3) 當E、F在何位置時三棱錐 q CEF的體積取得最大值，并求此時_面角qEF一C的大小.解：(1)以a為原點，以AB'AD'AA1為x軸、 軸、z軸建立空間直角坐標系，設 BE=x，則有因此，無論E、F在何位置均有B1

10、F A D1Euuuuuuuuu(2) A|C = (a,a,- a), EG = (0, a- x,a), FC1 = (x,0, a), CEF,則挈a- x)-=0得a= 0矛?ax- a = 0E、F,使AC丄面GEF=a一 6當x= a時，三棱錐C CEF的體積最大，這時，2F分別為BG CD的中點。連接AC交EF于G,則AC丄EF,由三垂線定理知:GG丄 EF?GGC是二面角 G EF - C的平面角.，【方法歸納】 立體幾何中的點的位置的探求經(jīng)常 借助于空間向量，引入?yún)?shù)，綜合已知和結論列出等式, 體幾何中的點的位置的探求的常用方法.三、鞏固提高若AC丄面盾，故不存在點(3 )%

11、一 cef>1/月HIT詩AE-AE、匚* -I > aD業(yè)加xCcE- ©D解出參數(shù).這是立5、在正三棱柱ABC-ABC中，所有棱的長度都是2, M是BC邊的中點，問：在側棱 CC上是否存在點N,使得 異面直線AB和MN所成的角等于45°?解：以A點為原點，建立如圖9-6-5所示的空間右手 直角坐標系A xyz.因為所有棱長都等于2,所以A (0, 0, 0), C( 0, 2, 0), B (靈,B1( 3 , 1, 2) , M(丿,3 , 0).2 2點N在側棱CC上,可設N (0 , 2 , m)則畫=(.3 , 1 , 2) , MN =(_ 蟲，1

12、2 221 AB11, 0),(0<mic2),m),于是 | AB1 |=2 2 , | MN |=、m如果異面直線AB和MN所成的角等于135°,AB1和mn的夾角是45°AB ?MN2m 11-mn =2m-1.45°,那么向量 而 COSV ABi ,MN >=| AB1 |?|MN | =2.2? . m22m 1 23m=-4，這與OcmC2矛盾.所以.2? m2 1二士 T.解得即在側棱CG上不存在點N,使得異面直線AB和 MN所成的角等于45°.6、(湖南高考理)如圖，在底面是菱形的四棱錐p ABCD 中，/ ABC=60,

13、PA=AC=, PB=PD=2a,點 E 在 PD上，且 PE:ED=2:1.(I )證明PAL平面abcd(II )求以AC為棱，EAC與 DAC為面的二面角 的 大小；(皿)在棱PC上是否存在一點F,使BF(I )證明 形，/ ABC=60 ,所以 AB二AD二AC= 在厶 PAB中,由 PAAB=2a2二PB 知 PAL AB.因為底面ABCD是菱同理，PAL AD 所以PAL平面 ABCD.(H)解 作EG知EGL平面ABCD乍GHLAC于H,連結EH, 則EHL AC / EHG即為二面角 的平面角.又 PE : ED=2 : 1 ,所以 EG a,AG 2a,GH AGsin 60

14、3 a.333EG 3“從而 tan,30 .GH 3(皿)解法一 以A為坐標原點，直線AD AP分別為y軸、z軸，過A 點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件， 相關各點的坐標分別為所以AE (0拿如AC耳a,-a,0).2設點F是棱PC上的點,PFPC"a2 2,a ),其中01,則解得/ 3 (訂111),1a(1211 2，2),a(1)令BF,ACBF2 AE1 -AC23 -AE.2BF、AC、AE共面.亦即，F(xiàn)是PC的中點時，又BF 平面AEC所以當F是棱PC的中點時, 的中點時，BFBF解法二當F是棱PC1由 EM -PE ED,知E是MD的

15、中點.2連結BM BD 設BD AC=O貝卩O為BD的中點.所以 BM由、知，平面BFM又 BF 平面BFM所以BF證法二因為 BF BC 1CP AD 1(CD DP) 2 2 所以 BF、Ae、Ac共面._又巧 平面ABC從而BF【方法歸納】點F是線PC上的點，一般可 設PF PC，求出 值，P點是已知的，即可求出F點高考復習課：立體幾何中探索性問題的向量解法 本節(jié)課主要研究：立體幾何中的存在判斷型和位置探究型問題等探索性 問題。一、存在判斷型1. 已知空間三點 A( -2 , 0, 2), B( -2 , 1, 2), C( -3, 0, 3).設 a=AB , b=AC，是否存在存在實

16、數(shù)k,使向量ka+b與ka-2 b互相垂直，若存在，求 k的值；若不存在，說明理由。2. 如圖，已知矩形ABCD PAL平面ABCD M N分別是AB PC的中點， / PDA為，能否確定，使直線MN是直線AB與PC的公垂線？若能確定，求 出 的值；若不能確定，說明理由.【方法歸納】：二、位置探究型3. 如圖所示。PD垂直于正方形ABCC所在平面，AB=2 E是PB的中點,DP 與 AE夾角的余弦值為EB的體小.中，E、形，PA求證：無論點E在BC邊的何處，都有 PE1當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大AF.小DN(1) 建立適當?shù)目臻g坐標系，寫出點 E的坐標。(2) 在平面PAD內是否存在一點F,使EF丄平面PCB4.在棱長為a的正方體ABCBA1B1C1D1F分別是棱BC CDh的點，且BE= CF.(1) 當E、F在何位置時，B1F± DjE;(2) 是否存在點E、F,使AC丄面CEF?(3) 當E、F在何位置時三棱錐 C|- CEF 積取得最大值，并求此時二面角 qEF C的大2、如圖，在四棱錐P- ABCD中，底面ABCD是矩丄底面ABCD PA=AB=j AD=/3，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.(1) 點E為BC的中點時，試判斷EF與