2019年高考數(shù)學(xué)試題北京文科數(shù)學(xué)

1、2019·北京卷(文科數(shù)學(xué))1.a12019·北京卷 已知集合a=x|-1<x<2,b=x|x>1,則ab=()a.(-1,1)b.(1,2)c.(-1,+)d.(1,+)1.c解析 a=x|-1<x<2,b=x|x>1,ab=(-1,+).2.l42019·北京卷 已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z·z=()a.3b.5c.3d.52.d解析 z=2+i,z·z=|z|2=22+12=5.3.b32019·北京卷 下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增的是()a.y=x12b.y=2-xc.y=log12x

2、d.y=1x3.a解析 易知y=x12在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增,故選a.4.l12019·北京卷 執(zhí)行如圖1-1所示的程序框圖,輸出的s值為()圖1-1a.1b.2c.3d.44.b解析 由程序框圖可得,k=1,s=1,s=2×123×1-2=2,13不成立,執(zhí)行循環(huán)體;k=2,s=2×223×2-2=2,23不成立,執(zhí)行循環(huán)體;k=3,s=2×223×2-2=2,33成立,結(jié)束循環(huán),輸出s=2.5.h62019·北京卷 已知雙曲線(xiàn)x2a2-y2=1(a>0)的離心率是5,則a=()a.6b.4c.2d.1

3、25.d解析 因?yàn)殡p曲線(xiàn)x2a2-y2=1(a>0)的離心率為5,所以e=ca=a2+1a2=5,所以a2=14,所以a=12.6.a2,b42019·北京卷 設(shè)函數(shù)f(x)=cos x+bsin x(b為常數(shù)),則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件6.c解析 若b=0,則f(x)=cos x,所以f(x)是偶函數(shù);若f(x)是偶函數(shù),則cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x對(duì)xr恒成立,即bsin x=0對(duì)xr恒成立,所以b=0.綜上,“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分

4、必要條件.7.b72019·北京卷 在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足m2-m1=52lg e1e2,其中星等為mk的星的亮度為ek(k=1,2).已知太陽(yáng)的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()a.1010.1b.10.1c.lg 10.1d.10-10.17.a解析 若太陽(yáng)的星等m1=-26.7,天狼星的星等m2=-1.45,則m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25.因?yàn)閙2-m1=52lge1e2,所以lge1e2=10.1,所以e1e2=1010.1.8.c2,c6,c82019·

5、;北京卷 如圖1-2,a,b是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),p為圓周上的動(dòng)點(diǎn),apb是銳角,大小為.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為()圖1-2a.4+4cos b.4+4sin c.2+2cos d.2+2sin 8.b解析 設(shè)圓的圓心為o,連接oa,ob,ab,設(shè)弦ab的中點(diǎn)為d,連接od(如圖所示).依題意得,圓o的半徑r=2,由正弦定理知absin=2r,所以ab=4sin .因?yàn)閍ob=2,所以圖中劣弧ab所對(duì)的弓形面積s弓形=s扇形aob-saob=12×2×22-12×22sin 2=4-2sin 2.欲求陰影區(qū)域面積的最大值,只需求點(diǎn)p到弦ab的距離d的最大

6、值.因?yàn)閛d=r2-(ab2) 2=22-(4sin2) 2=2cos ,dr+od,所以陰影區(qū)域面積的最大值為s弓形+12ab·(r+od)=4-2sin 2+12×4sin ·(2+2cos )=4sin +4.9.f2,f32019·北京卷 已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m=. 9.8解析 因?yàn)閍=(-4,3),b=(6,m),ab,所以-4×6+3m=0,解得m=8.10.e52019·北京卷 若x,y滿(mǎn)足x2,y-1,4x-3y+10,則y-x的最小值為,最大值為.

7、0;10.-31解析 不等式組表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分.由x=2,4x-3y+1=0得x=2,y=3,即b(2,3).設(shè)k=y-x,當(dāng)直線(xiàn)k=y-x經(jīng)過(guò)點(diǎn)b(2,3)時(shí),k取得最大值,即為1;當(dāng)直線(xiàn)k=y-x經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,-1)時(shí),k取得最小值,即為-3.所以y-x的最小值為-3,最大值為1.11.h3,h4,h72019·北京卷 設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線(xiàn)為l.則以f為圓心,且與l相切的圓的方程為. 11.(x-1)2+y2=4解析 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為f(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)為l:x=-1,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2,所以所求圓的半徑為2,所以所求圓的方

8、程為(x-1)2+y2=4.12.g2,g72019·北京卷 某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得,其三視圖如圖1-3所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為. 圖1-312.40解析 由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體割去一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱abcd-efgh后剩余的部分(如圖所示),所以該幾何體的體積為43-12×(2+4)×2×4=40.13.g4,g52019·北京卷 已知l,m是平面外的兩條不同直線(xiàn).給出下列三個(gè)論斷:lm;m;l.以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫(xiě)出

9、一個(gè)正確的命題:. 13.若m,l,則lm(答案不唯一)解析 若m,且m,過(guò)直線(xiàn)m的平面與平面相交,記交線(xiàn)為n,由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理,可得mn,又l,所以ln,所以lm.14.e82019·北京卷 李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷(xiāo)量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo):一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒,需要支付元; 在促銷(xiāo)活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額

10、均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折,則x的最大值為. 14.13015解析 一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒,總價(jià)為60+80=140(元),超過(guò)120元,所以顧客少付10元,即顧客需要支付130元.設(shè)促銷(xiāo)前總價(jià)為t元,當(dāng)t<120時(shí),x=0,當(dāng)t120時(shí),x>0,依題意得(t-x)×80%0.7t對(duì)t120恒成立,所以x18t對(duì)t120恒成立,等價(jià)于當(dāng)t120時(shí),x18tmin=18×120=15,所以x的最大值為15.15.c5,c82019·北京卷 在abc中,a=3,b-c=2,cos b=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(b+c)的值.15

11、.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得b2=32+c2-2×3×c×-12.因?yàn)閎=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12,解得c=5.所以b=7.(2)由cos b=-12得sin b=32.由正弦定理得sin a=absin b=3314.在abc中,b+c=-a,所以sin(b+c)=sin a=3314.16.d2,d3,d52019·北京卷 設(shè)an是等差數(shù)列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記an的前n項(xiàng)和為sn,求sn

12、的最小值.16.解:(1)設(shè)an的公差為d.因?yàn)閍1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因?yàn)閍2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),所以(-2+2d)2=d(-4+3d),解得d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,當(dāng)n7時(shí),an>0;當(dāng)n6時(shí),an0.所以,sn的最小值為s6=-30.17.i1,i2,k22019·北京卷 改革開(kāi)放以來(lái),人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變,近年來(lái),移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月a,b兩種移動(dòng)

13、支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中a,b兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用a和僅使用b的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用a27人3人僅使用b24人1人(1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月a,b兩種支付方式都使用的人數(shù).(2)從樣本僅使用b的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率.(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用b的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合(2)的結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用b的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變

14、化?說(shuō)明理由.17.解:(1)由題知,樣本中僅使用a的學(xué)生有27+3=30(人),僅使用b的學(xué)生有24+1=25(人),a,b兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中a,b兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40(人),估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月a,b兩種支付方式都使用的人數(shù)為40100×1000=400.(2)記事件c為“從樣本僅使用b的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于2000元”,則p(c)=125=0.04.(3)記事件e為“從樣本僅使用b的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人,該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用b的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人

15、數(shù)沒(méi)有變化,則由(2)知,p(e)=0.04.答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:p(e)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下:事件e是隨機(jī)事件,p(e)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.18.g4,g52019·北京卷 如圖1-4,在四棱錐p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd為菱形,e為cd的中點(diǎn).圖1-4(1)求證:bd平面pac.(2)若abc=60°,求證:平面pab平面pae.(3)棱pb上

16、是否存在點(diǎn)f,使得cf平面pae?說(shuō)明理由.18.解:(1)證明:因?yàn)閜a平面abcd,所以pabd.又因?yàn)榈酌鎍bcd為菱形,所以bdac,所以bd平面pac.(2)證明:因?yàn)閜a平面abcd,ae平面abcd,所以paae.因?yàn)榈酌鎍bcd為菱形,abc=60°,且e為cd的中點(diǎn),所以aecd,所以abae,所以ae平面pab,所以平面pab平面pae.(3)棱pb上存在點(diǎn)f,使得cf平面pae.取f為pb的中點(diǎn),取g為pa的中點(diǎn),連接cf,fg,eg,則fgab,且fg=12ab.因?yàn)榈酌鎍bcd為菱形,且e為cd的中點(diǎn),所以ceab,且ce=12ab.所以fgce,且fg=c

17、e,所以四邊形cegf為平行四邊形,所以cfeg.因?yàn)閏f平面pae,eg平面pae,所以cf平面pae.19.h1,h52019·北京卷 已知橢圓c:x2a2+y2b2=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(0,1).(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)o為原點(diǎn),直線(xiàn)l:y=kx+t(t±1)與橢圓c交于兩個(gè)不同點(diǎn)p,q,直線(xiàn)ap與x軸交于點(diǎn)m,直線(xiàn)aq與x軸交于點(diǎn)n,若|om|·|on|=2,求證:直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).19.解:(1)由題意得,b2=1,c=1,所以a2=b2+c2=2.所以橢圓c的方程為x22+y2=1.(2)證明:設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),

18、則直線(xiàn)ap的方程為y=y1-1x1x+1.令y=0,得點(diǎn)m的橫坐標(biāo)xm=-x1y1-1.又y1=kx1+t,從而|om|=|xm|=x1kx1+t-1.同理,|on|=x2kx2+t-1.由y=kx+t,x22+y2=1得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,則x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.所以|om|·|on|=x1kx1+t-1·x2kx2+t-1=x1x2k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=2t2-21+2k2k2·2t2-21+2k2+k(t-1)·-4kt1+2k2+(t-1)2=21+t1-t.又|om|·|on|=2,所以21+t1-t=2,解得t=0,所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0).