溫度應(yīng)力問題的基本解法

1、 當(dāng)彈性體的溫度變化時(shí)，其體積將趨于膨脹和收縮，若外部的約束或內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)要求而使膨脹或收縮不能自由發(fā)生時(shí)，結(jié)構(gòu)中就會(huì)出現(xiàn)附加的應(yīng)力。這種因溫度變化而引起的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力，或溫度應(yīng)力。 忽略變溫對(duì)材料性能的影響，為了求得溫度應(yīng)力，需要進(jìn)行兩方面的計(jì)算：（1）由問題的初始條件、邊界條件，按熱傳導(dǎo)方程求解彈性體的溫度場，而前后兩個(gè)溫度場之差就是彈性體的變溫。（2）按熱彈性力學(xué)的基本方程求解彈性體的溫度應(yīng)力。本章將對(duì)這兩方面的計(jì)算進(jìn)行簡單的介紹。第六章第六章 溫度應(yīng)力問題的基本解法溫度應(yīng)力問題的基本解法6-4 6-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題6-3 6-3 溫度場的

2、邊界條件溫度場的邊界條件6-2 6-2 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程6-1 6-1 溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念6-5 6-5 位移勢函數(shù)的引用位移勢函數(shù)的引用6-6 6-6 軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題6-1 6-1 溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念1.溫度場：在任一瞬時(shí)，彈性體內(nèi)所有各點(diǎn)的溫度值的總體。用T表示。 不穩(wěn)定溫度場或非定常溫度場：溫度場的溫度隨時(shí)間而變化。 即 T=T（x，y，z，t） 穩(wěn)定溫度場或定常溫度場：溫度場的溫度只是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 即 T=T（x，y，z） 平面溫度場：溫度場的溫度只隨平面內(nèi)的兩個(gè)位置坐標(biāo)而

3、變。 即 T=T（x，y，t）2.等溫面：在任一瞬時(shí)，連接溫度場內(nèi)溫度相同各點(diǎn)的曲面。顯然，沿著等溫面，溫度不變；沿著等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。T+2TT+TTT-Txoy），（），（），（znCOSnTzTynCOSnTyTxnCOSnTxTnTn0nT3.溫度梯度：沿等溫面的法線方向，指向溫度增大方向的矢量。用T T表示，其大小用 表示。其中n n為等溫面的法線方向。溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為0n取 為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量，則有T T（1）4.熱流速度：在單位時(shí)間內(nèi)通過等溫面面積S 的熱量。用 表示。 熱流密度：通過等溫面單位面積的熱流速度。用 表示，則有 dt

4、dQqSdtdQq/其大小為SdtdQnq/0(2)5.熱傳導(dǎo)基本定理：熱流密度與溫度梯度成正比而方向相反。即 q(3)nTq由（1）和（3）可見，熱流密度的大小可見，導(dǎo)熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度”。SnTdtdQ/稱為導(dǎo)熱系數(shù)。由（1）、（2）、（3）式得T T熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影可見：熱流密度在任一方向的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向的遞減率。zTqyTqxTqzyx 熱量平衡原理：在任意一段時(shí)間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量，等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。6-2 6-2 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程dxxqqxxxqxyz 取

5、圖示微小六面體dxdydz。假定該六面體的溫度在dt時(shí)間內(nèi)由T 升高到 。由溫度所積蓄的熱量是 ，其中 是物體的密度，C 是單位質(zhì)量的物體升高一度時(shí)所需的熱量比熱容。dttTTdttTdxdydzC 在同一段時(shí)間dt內(nèi)，由六面體左面?zhèn)魅霟崃縬xdydzdt，由右面?zhèn)鞒鰺崃?。因此，傳入的凈熱量為dydzdtdxxqqxx)(dxdydzdtxqxxTqx將 代入可見：dxdydzdtxT22dydzdxdtyT22由左右兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋河缮舷聝擅鎮(zhèn)魅氲膬魺崃繛椋篸zdxdydtzT22由前后兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋阂虼?，傳入六面體的總凈熱量為：簡記為：dxdydzdtzTyTxT)(22222

6、2Tdxdydzdt2 假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時(shí)間、單位體積供熱為W，則該熱源在時(shí)間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。 根據(jù)熱量平衡原理得：WdxdydzdtTdxdydzdtdxdydzdtxTc2cWTctT2化簡后得：ca 記cWTatT2則這就是熱傳導(dǎo)微分方程。6-3 6-3 溫度場的邊值條件溫度場的邊值條件 初始條件： 邊界條件分四種形式： 第一類邊界條件 已知物體表面上任意一點(diǎn)在所有瞬時(shí)的溫度，即 其中Ts 是物體表面溫度。 第二類邊界條件 已知物體表面上任意一點(diǎn)的法向熱流密度，即 其中角碼 s 表示“表面”，角碼n 表示法向。),()(0zyxfTt)(tfTs)()

7、(tfqsn 為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場，必須已知物體在初瞬時(shí)的溫度，即所謂初始條件；同時(shí)還必須已知初瞬時(shí)以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件。 第三類邊界條件 已知物體邊界上任意一點(diǎn)在所有瞬時(shí)的運(yùn)流（對(duì)流）放熱情況。按照熱量的運(yùn)流定理，在單位時(shí)間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度，是和兩者的溫差成正比的，即 )()(essnTTqesTT其中Te是周圍介質(zhì)的溫度； 稱為運(yùn)流放熱系數(shù)，或簡稱熱系數(shù)。 第四類邊界條件 已知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即6-4 6-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題按位移求解溫度應(yīng)力的

8、平面問題 設(shè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的溫變?yōu)門。對(duì)于各向同性體，若不受約束，則彈性體內(nèi)各點(diǎn)的微小長度，都將產(chǎn)生正應(yīng)變 （ 是彈性體的膨脹系數(shù)），這樣，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的形變分量為T0,xyzxyzzyxTTETETEyxzzxzyyzyxx)(1)(1)(1 但是，由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束，上述形變并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應(yīng)力，即所謂溫度應(yīng)力。這個(gè)溫度應(yīng)力又將由于物體的彈性而引起附加的形變，如虎克定理所示。因此，彈性體總的形變分量是：對(duì)于平面應(yīng)力的變溫問題，上式簡化為xyxyzxzxyzyzEEE)1(2)1(2)1(2xyxyxyyyxxETETE)1 (211這就是平面應(yīng)力

9、問題熱彈性力學(xué)的物理方程。將應(yīng)力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為：xyxyxyyyxxETEETEE)1 ( 21)(11)(122幾何方程仍然為：yuxvyvxuxyyx,將幾何方程代入物理方程，得用位移分量和變溫T 表示的應(yīng)力分量）（）（）（）（yuxvETExuyvETEyvxuExyyx12111122將上式代入不計(jì)體力的平衡微分方程00 xyyxxvyyxx簡化得：這就是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的微分方程。 同理，將應(yīng)力分量代入無面力的應(yīng)力邊界條件00sxysysyxsxlmml）（）（）（）（0121210121212222222222yTyxuxvyvxTyxvyux

10、u）（）（1）簡化后得：這是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。 位移邊界條件仍然為：vvuuss ， 將式(1)、(2)與第二章2-8中式(1)、(2)對(duì)比，可見TmyuxvlxuyvmTlxvyumyvxulssss）（）（）（）（）（）（121121（2）代替了體力分量 X 及 Y ，而：則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。yTExTE11及11TEmTEl及代替了面力分量 及 。XY 對(duì)于溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問題，只須將溫度應(yīng)力的平面應(yīng)力問題的）（換成換成換成1112EE6-5 6-5 位移勢函數(shù)的引用位移勢函數(shù)的引用 由上一節(jié)知：在平面應(yīng)力的情況下按位移求解溫度應(yīng)力問題時(shí)，須使

11、位移分量u 和v 滿足微分方程：0121210121212222222222yTyxuxvyvxTyxvyuxu）（）（并在邊界上滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。實(shí)際求解時(shí)，宜分兩步進(jìn)行：（1）求出上述微分的任意一組特解，它只需滿足微分方程，而不一定要滿足邊界條件。（2）不計(jì)變溫T，求出微分方程的一組補(bǔ)充解，使它和特解疊加以后，能滿足邊界條件。 引用一個(gè)函數(shù) ，將位移特解取為：yvxu,），（yx函數(shù) 稱為位移勢函數(shù)。以 和 分別作為u和v代入微分方程，簡化后得：uvyTyxTx）（）（1122由于 和 都是常量，所以?。篢）（ 12時(shí)， 滿足微分方程。因此 ， 可以作為微分方程的一組特解。將

12、），（yx u v以及211Tyvxu,代入位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量表達(dá)式)()1 (21)(11)(122yuxvETExuyvETEyvxuExyyx可得相應(yīng)位移特解的應(yīng)力分量是：yxExEyExyyx22222111 設(shè) ， 為位移的補(bǔ)充解，則 ， 需滿足齊次微分方程：uu v v02121021212222222222yxuxvyvyxvyuxu相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量為（注意不計(jì)變溫，即T=0）：)()1(2)(1)(122yuxvExuyvEyvxuExyyx總的應(yīng)力分量是：, , zzzyyyxxx需滿足應(yīng)力邊界條件。在應(yīng)力邊界問題中（沒有位移邊界條件），可以把相應(yīng)于位移

13、補(bǔ)充解的應(yīng)力分量直接用應(yīng)力函數(shù)來表示，即其中的應(yīng)力函數(shù) 可以按照應(yīng)力邊界條件的要求來選取。yxxyxyyx22222, 在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的）（換成換成換成1112EE這樣總的位移分量是：, vvvuuu需滿足位移邊界條件。例1 圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫：其中的T0 是常量。若 ，試求其溫度應(yīng)力。）（2201byTTbaxyoaabb解：位移勢函數(shù) 所應(yīng)滿足的微分方程為）（）（220211byT22ByAy ）（）（220111222byTByA21212100bTBTA）（，）（比較兩邊系數(shù)，得代入上式，得取將A，B回代，得位移勢函數(shù)于是相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量為 為求補(bǔ)充

14、解，取 可得所需要的相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量：）（）（24201221byyT2cy0, 0),1 (220 xyyxbyTE0, 0,2222yxcyxyyx00)1 (2220 xyxyxyyyyxxxbyTEc因此，總的應(yīng)力分量為0)( , 0)(0)( , 0)(byxybyyaxxyaxx邊界條件要求顯然，后三個(gè)條件是滿足的；而第一個(gè)條件不能滿足，但由于 ，可應(yīng)用圣維南原理，把第一個(gè)條件變換為靜力等效條件，即，在 的邊界上， 的主矢量及主矩等于零：將baaxx0)(, 0)(ydydyaxbbxaxbbx)1 (2220byTEcx代入上式，求得于是矩形板的溫度應(yīng)力為：0322TE

15、c00)31(220 xyyxbyTE6-6 6-6 軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題 對(duì)于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)彈性體，若其變溫也是軸對(duì)稱的T=T（r），則可簡化為軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題。軸對(duì)稱溫度場平面熱應(yīng)力問題，宜采用極坐標(biāo)求解。 不考慮體積力平面應(yīng)力問題平衡方程02101rrrrrrrrrrr 在軸對(duì)稱問題中得到簡化，其第二式自然滿足；而第一式成為0rrrr 幾何方程簡化為rudrdurrr, 物理方程簡化為TETErrr)(1)(1 將應(yīng)力用應(yīng)變表示1)(11)(122TEETEErrr 將幾何方程代入上式，然后將其代入平衡方程，得按位移求解軸對(duì)稱熱

16、應(yīng)力的基本方程：或?qū)懗桑?drdTrudrdurdrudrrr)1 (1222drdTrudrdrdrdr)1 ()(1積分兩次可得到軸對(duì)稱問題位移分量：rBArTrdrrurar)1 (式中A，B為任意常數(shù)，積分下限取為a。由上式可得應(yīng)力分量：0)1 ()1(1)1 ()1(1222222rrararTErBAETrdrrErBAETrdrrE其中常數(shù)A，B由邊界條件確定。 在平面應(yīng)變的情況下，只需在以上各式中將）（換成換成換成1112EE例2 設(shè)有一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b。從一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta ，外表面增溫Tb，如圖所示。試求筒內(nèi)無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱應(yīng)力。abTaT

17、b 得無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱傳導(dǎo)微分方程為解：首先求溫度場。由熱傳導(dǎo)微分方程cWzTyTxTtT)(22222202T對(duì)于軸對(duì)稱溫度場有 積分兩次得：0)(10122drdTrdrdrTdrdrdrd）（或 由邊界條件：求出A，B后回代，得溫度場：BrAT lnbbraarTTTT）（）（baraTabrbTTbalnlnlnln積分后得TEababrbTTEabrbabrbTTEabrbabrbTTEbazbabar12ln1ln21211ln1ln1211lnln122222222222）（）（）（）（）（）（21112222222222222TTrdrabETrTrdrTrdrabarr

18、ETrdrTrdrabarrEbazrabarabar）（）（）（將T代入平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達(dá)式練習(xí)6.1 圖示矩形薄板中發(fā)生變溫試求溫度應(yīng)力（假定a遠(yuǎn)大于b）xyoaabbbyTT2cos0解：byTT2cos1102取可解得所以byA2cos20214TbAbyTb2cos14022由此得01012cos1222022yxExEbyETyExyyx取2cy則0022 22 22 yxxcyxyyx所以0022cos 0 xyxyxyyyyxxxcbyET邊界條件0, 0, 0axxybyxybyy顯然滿足由0dybbaxx即0422cos00cETbdycbyETbb得ETc0而邊界條件0ydyaxbbx恒成立。故002cos20 xyyxbyET練習(xí)6.2 已知半徑為b的均質(zhì)圓盤，