《高等數(shù)學(xué)一》期末復(fù)習(xí)題和答案解析-26011462418282891

1、完美WORD格式高等數(shù)學(xué)(一)期末復(fù)習(xí)題、選擇題1、極限lim(Jx211 一 一 2(A) arctan x C (B) ln( x 1) C (C) arctan x C (D) ln(x 1) C2210、由曲線y =ex (0 <x <1)和直線y =0所圍的面積是(A )(A) e -1(B)1(C)2(D) e+x-x)的結(jié)果是 ( C ) x F一1一一(A) 0(B)g (0 (D)不存在2(B )(D)有三個(gè)實(shí)根2、方程x3 -3x+1 =0在區(qū)間(0,1)內(nèi)(A)無實(shí)根(B)有唯一實(shí)根 (C)有兩個(gè)實(shí)根 3、f(x)是連續(xù)函數(shù)，則J f (x)dx是f (x)的

2、 (C )(A) 一個(gè)原函數(shù)；(B) 一個(gè)導(dǎo)函數(shù)；(C)全體原函數(shù)；(D) 全體導(dǎo)函數(shù)；4、由曲線y =sin x (0 < x <r)和直線y = 0所圍的面積是( C )(A) 1/2(B)1(C) 2(D) 二5、微分方程y'=x2滿足初始條件y|xm=2的特解是(D )3133_13_(A) x ( B) - + x (Q x + 2( D) 一 x + 2336、下列變量中，是無窮小量的為( A )1 -.一x-2-(A) lnx(x ，1)(B) ln (x > 0 ) (C) cosx (x > 0) (D)(x > 2)xx -41 17、

3、極限 lim( xsin - - -sin x)的結(jié)果是( C ) x x x(A) 0(B)1(C)-1(D)不存在8、函數(shù) y = ex+arctanx在區(qū)間1,1上 (A )(A)單調(diào)增加(B)單調(diào)減小(C)無最大值(D)無最小值x9、不定積分 dx =x2 111、微分方程dy = xy的通解為 dxCxe(D)1 22x2X(A) y = Ce(B)y = Ce2(o y =12、下列函數(shù)中哪一個(gè)是微分方程y' 3x2 =0的解(D )(A) y =x2(B)y = -x3 (Q y = -3x2(D) y = x313、 函數(shù) y =sin x+cosx+1 是 (C )(

4、A)奇函數(shù)；(B) 偶函數(shù)；非奇非偶函數(shù)；(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)14、當(dāng)xt 0時(shí)， 下列是無窮小量的是(B )(A)ex*ln(x+1)(C)sin(x 1) (D), x 1專業(yè)整理知識分享15、當(dāng)xt°o時(shí)，下列函數(shù)中有極限的是) earctan x，、 x 1(A) (B) COSx (C)x2 -116、方程x3 +px + 1=0(p>0)的實(shí)根個(gè)數(shù)是 ( B )(A)零個(gè)(B) 一個(gè)(C)二個(gè) (D)三個(gè)一 1. 一17、 f(2)dx= ( B ) 1 x一 1，一 1(A) 2(B) 2 +C(C) arctanx(D)arctan x + c1 x1 x

5、18、定積分1f (x)dx是(C )a(A) 一個(gè)函數(shù)族(B) f(x)的的一個(gè)原函數(shù)(C) 一個(gè)常數(shù)(D) 一個(gè)非負(fù)常數(shù)19、函數(shù) y = ln (x + Jx2 +1 )是(A )(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)20、設(shè)函數(shù)f(x )在區(qū)間10,1】上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)>0U( B )(A) f 0 ：二0(B) f 1 f 0(C) f 10 (D) f 1 ：二 f 021、設(shè)曲線y =2 2則下列選項(xiàng)成立的是(y A_x ，1 -e(A)沒有漸近線(B)僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線又有鉛直漸近線(D)

6、僅有水平漸近線22、 ,(cosx-sin x)dx =( d )(A) -sin x cosx C(B) sin x - cosx C(0 -sin x - cosx C(D) sin x cosx Cn (-1) n 23、數(shù)歹U (一)-的極限為(A) 1(B) -1(C)(D)不存在24、下列命題中正確的是(A)有界量和無窮大量的乘積仍為無窮大量(B)有界量和無窮小量的乘積仍為無窮小量(C)兩無窮大量的和仍為無窮大量(D)兩無窮大量的差為零25、若f (x) =g (x),則下列式子一定成立的有(26、(A) f(x)=g(x)(C) ( df(x) =( dg(x)卜列曲線有斜漸近線

7、的是(A) y = x sin x(B)(B)(D)df(x)= dg(x)f (x) =g(x) 1y = x2 sin x.1(C) y = x sin 一 x(D)y =x2sin1填空題1、1 -cosx2、若 f(x)=e2x+2,則 f'(0) =133、二(x cosx -5x 1)dx = 24、etdx 二etx C5、微分方程y'-y=0滿足初始條件y|xz0 = 2的特解為y = 2ex6、2x -4二 07、極限四x2 -x -22x -48、設(shè) y =xsin x +1,則 f r() = 1219、 J x cosx 1)dx =210、 3-dx

8、= 3arctan x C1 x211、微分方程ydy=xdx的通解為 y2 = x2+C1 - 4.12、5xdx=2- J13、limx_ 二x sin2x14、設(shè) y = cosx2 ,貝U dy =2 .-2xsin x dx15、設(shè) y = x cosx _ 3,貝U f '(n ) =-1 1“16、不te積分 e de = e2C217、微分方程y =ea的通解為y - -exx C22 2x dy 2 2x 1. 2x .y=ye =ye dy = e dx dxy工 dy 二 e2xdx- - - = e2x Cyy 2x = 0, y = -2代入上式可得到C =

9、0所求的特解為-1二%”或者丫二/©,y 2,18、微分方程 皿丫'=乂的通解是 y = ex+C2、3x_ -619、弊(1 - -)=e 20、設(shè)函數(shù) y=xx,則 y' =xx(lnx+1)21、+烏）的值是 n22、 x(x 1)(x 2)lim3x = 2x x - 323、設(shè)函數(shù) y=xx, WJ dy =xx(lnx+1)dx.2x1 2 3x 1124、lim=1x >0x 442x25、若 f (x) =e -sin-,則 f'(0) =2626、(1 sin 5 x)dx =2二 (a為任意實(shí)數(shù)).xx 八e27、設(shè) y=ln(ex1

10、),則微分 dy=dxe -128、衛(wèi)2- (cos x22.3x J;一2)dx 二1 - x三、解答題1、(本題滿分9分)求函數(shù) y = Jx1 +6j2 x的定義域。一 x -1 _0解：由題意可得， 2 - x - 0x -1解得x M 2所以函數(shù)的定義域?yàn)? , 22、(本題滿分 10 分)設(shè) f (x) = x(x 1)(x 2)|(x -2014),求 f (0)。三則-1)(x -2)|(x -2014)= 2014!4、(本題滿分10分)求由直線y = x及拋物線y = x2所圍成的平面區(qū)域的面積。解：作平面區(qū)域，如圖示y = X 解萬程組2得交點(diǎn)坐標(biāo)：(0, 0), (1,

11、 1)y = x所求陰影部分的面積為:1124 X2 X11(x - x )dx =-，01 23 10 6x » 25、(本題滿分10分)討論函數(shù) f(x) =/3xx _ 1. .x 1在x=1處的連續(xù)性。x 1解：'lim f (x) = lim x 2=3= f (1) x_1x_1lim f (x) = lim 3x =3 = f(1) x_1 一x_1 一f (x)在x =1處是連續(xù)的* < 魴工 dy =2 x - 36、(本題滿分10分)求微分方程<dx的特解。y|x 廣 3解：將原方程化為dy = (2x - 3)dx兩邊求不定積分，得Jdy=

12、J(2x +3)dx,于是 y = x2+3x + C將y|x,= 3代入上式，有3=1+3+C ,所以C =一1,故原方程的特解為 y=x2 +3x -1。7、(本題滿分9分)求函數(shù) y = 2jx -4 +cosj5- x的定義域。解：由題意可得,x -4 - 05 x -0x - 4解得x 4x <5所以函數(shù)的定義域?yàn)? , 58、(本題滿分 10 分)設(shè) f(x) = x(x+1)(x + 2)川(x+n) (n 2 2),求 f'(0)。f(x)- f(0)角牛：f (0) = limx0x - 0|im( x 1)(x 2) |(x n) = n!9、（本題滿分10分

13、）設(shè)平面曲線方程為 x2 -2xy + 3y2 =3,求曲線在點(diǎn)（2, 1）處的切線方程。解：方程兩端對 x求導(dǎo)，得2x 2（y+xy）+6yy' =。將點(diǎn)（2, 1）代入上式，得y（2,1） = -1從而可得：切線方程為y 一 1= 一（x -2） 即x + y - 3 = 010、（本題滿分10分）求由曲線 y=ex及直線y =1和x = 1所圍成的平面圖形的面積（如解：所求陰影部分的面積為一 1 xS= 0(ex -1)dx= (ex x)x 0在x = 0處的連續(xù)性。x - 0x11、（本題滿分10分）討論函數(shù) f （x） = 4 x e -1解：lim f (x) = lim

14、 ex -1 = 0 = f (0) x 10x_0lim f (x) = lim x = 0 = f (0) x_0 -x_0 一f （x）在x = 0處是連續(xù)的。12、(本題滿分10分)求方程(1 + y2)dx (1 + x2)dy = 0的通解。解：由方程(1 + y2 )dx 一 (1 + x2 )dy = 0 ,得dy dx1 y21 x2兩邊積分:dydx1 y21 x2得 arctan y = arctan x C所以原方程的通解為：arctan y = arctan x十C或y = tan(arctan x + C)13、(本題滿分10分)證明方程x5_7x=4在區(qū)間(1,2

15、)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。解：令F(x)=x5 -7x-4 ,F(x)在11,2上連續(xù)F(1) = -10 <0,F(2) =14 0由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)使得函數(shù)F(U) = T -7 -4 = 0,5即方程x 7x 4 = 0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。14、(本題滿分 10 分)設(shè) f(x) = x(x+1)(x+2)|(x + 2015),求 f '(0)。解：f (0) =pm f(x) -;(0) lim( x 1)(x 2)|(x 2015) =2015!15、(本題滿分10分)求曲線ey +xy = e在點(diǎn)(0, 1)處的法線方程。解：方程兩

16、端對 x求導(dǎo)，得eyy' + y + xy' = 0一1將點(diǎn)(0, 1)代入上式，得 y (01)= -e從而可得：法線方程為y = ex +1兀16、(本題滿分10分)求曲線y=cosx與直線y =2,x =一及y軸所圍成平面圖形的面積。2解：作平面圖形，如圖示2217、(本題滿分10分)討論函數(shù)f(x)=cosx在x = 0處的連續(xù)性。解:lim f (x) = lim cosx =1 = f (0) x_0 x_0 lim f (x) = lim (x 1)=1= f (0)x0 一x 0 f(x)在x = 0處是連續(xù)的。18、(本題滿分10分)求微分方程=1 - x y

17、2 - xy2dxy y的特解。!y |x =0= 1解：將原方程化為 電=(1 x)(1+y2)或一dy萬=(1x)dx dx1 y1兩邊求不te積分，得 arctan y = x x2 C2,.一 .一 兀由y Ixm = 1得到c = 一4故原方程的特解為arctan y1 2 二3 ，,1 2 二、= x x +或 y = tan(x _ x +)242419、(本題滿分20分)曲線a2y=x2( 0 <a <1)將邊長為1的正方形分成A、B兩部分(如圖所示)，其中A繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)體，記其體積為Va, B繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到另一旋轉(zhuǎn)體，記其體積為Vb. 問當(dāng)a取何值

18、時(shí)，Va +Vb的值最小.2解：A由以0, a,為底、高為 、的曲邊梯形和 a以a,1為底、1為高的矩形兩部分構(gòu)成.由切片法可得：a 22Va 二n(y dx + 兀 1 (1 -a)二 a 44 、=xx dx (1 -a) = (1 a),a4 05y專業(yè)整理知識分享完美WORD格式專業(yè)整理知識分享Vb =二120 X dy Ft2 112a 0O ydy =2a 冗，人41 o令 F(a) =Va +Vb =h(1 a) +-a2n ,52a (0, 1)4令由 F (a) = _ n +an0,駐點(diǎn)為:a54"5F(a)駐點(diǎn)唯一,又根據(jù)問題的實(shí)際意義F (a)的最小值存在，.

19、 a='就是F (a)的最小值點(diǎn)5或者，又F，(a)4 .4=冗0,a =-為極小值點(diǎn)，亦取小值 .點(diǎn),a =55可見：當(dāng)a=4時(shí)，VA +VB達(dá)到最小.520、(本題滿分20分)假定足球門白寬度為 4米，在距離右門柱 6米處一球員沿垂直于底線的方向帶球前進(jìn)，問：該球員應(yīng)在離底線多少米處射門才能獲得最大的射門張角球員以5.2米每秒的速度沿垂直于底線的方向向球門前進(jìn),求在距離底線2米處，射門張角的變化率。d1 dx解:令它dx=0 ,得到駐點(diǎn)“屈(不合題意，舍去)及x=質(zhì).由實(shí)際意義可知，所求最值存在，駐點(diǎn)只一個(gè)，故所求結(jié)果就是最好的選擇.即該球員應(yīng)在離底線 760米處射門才能獲得最大的

20、射門張角。若球員以5.2米每秒的速度跑向球門，則生=-5.2.在距離球dt門兩米處射門張角的變化率為：d1dt x/ddxdx x=2 dt240 -16xa (4 36)(4 100)父(5.2) = 0.28 (弧度/秒)。21、(本題滿分10分)設(shè)f (x) = f1xln(1 t)1dt (x >0),求 f (x)+ f (-) x1 解法 1 設(shè) F(x) = f(x)+ f()=X 1x ln(1 t)dt 11 .x ln(1 t),x -dt ,貝U F (1) = 01 tln(1 -) ln(1 x) ' x F (x)二xx1F(x)=1x ln xdx

21、J1ln2 x,2'ln2x 121解法 2 ： f ()= x 11令 t=1xln(1 t) udt =1 t1 xln(1 -)udu 一 1 ux ln(1 u)1x ln u ,du du1 u.1f(x) f() Xxln(1t)tdt -1xln(1 t)tdt *x,、1 , 2=£ lntd(lnt) =-ln t,ln2 1222、證明題(本題滿分 10分)設(shè)函數(shù)f (x)在b,3】上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，f(0) + f(1) +f(2) =3,f (3)=1 o 試證必存在一點(diǎn)£w(0,3),使得f'(£) = 0.證明

22、：f(x)在10,3】上連續(xù)，故在10,2上連續(xù)，且在10,2上有最大值故 m M f(0), f ，f(2) M M = m <f(0)f(1) f(2) MIVI由介值定理得，至少存在3點(diǎn)刈w 10,2，使得f( 0 )f ( 1f)=1( 2 )3f)= f(3) =1,且f(x)在m,3】上連續(xù)，在(，3)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可知，必存在 Uw(，3)u(0,3)，使得ff )=023、(本題滿分20分)一火箭發(fā)射升空后沿豎直方向運(yùn)動，在距離發(fā)射臺4000m裝有攝像機(jī)，攝像機(jī)對準(zhǔn)火箭。用 h表示高度，假設(shè)在時(shí)刻t0 ,火箭高度h=3000m,運(yùn)動速度等于300m/s, (1)用L表

23、示火箭與攝像機(jī)的距離，求在t0時(shí)刻L的增加速度.【解】(1)設(shè)時(shí)刻t高度為h(t),火箭與攝像機(jī)的距離為L(t),則L(t)= Jh2(t)十40002dL h dh兩邊關(guān)于tdt h2 4000 dt代入 h =3000n dh =300m/s,得 dL = 180 m/s(2)用a表示攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角(弧度)，求在t0時(shí)刻a的增加速度.h(2)設(shè)時(shí)刻t攝像機(jī)跟蹤火箭的仰角(弧度)為 a(t),則有tana = 4000兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得sec2 ： =dt 4000 dt當(dāng) h=3000m時(shí)，secot =, =300m/s,故 =0.048rad /s (或=rad/s)4 dtdtd

24、t 125高等數(shù)學(xué)(一)期末復(fù)習(xí)題答案、選擇題1、C解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同 時(shí)除以x;第四步化簡即可。,22、lim( x) =lim Sx_+x二x)”+x+x)x 二x 二 (x2 x x)(x x -x )x=limlim =x ： (、x2 x - x) x 5 - (. x2x x)122、B解答：設(shè)f(x) =x3 3x+1,則f(0) =1,f (1)=1 ,有零點(diǎn)定理得f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在實(shí)數(shù)根，又因f'(x) =3x2 -3<0 可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。3、C本題考察不定積分的概念，不

25、定積分是所有原函數(shù)的全體。4、C解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為fsin xdx = 2“ 11 35、D解答：直接積分法y = x3+C代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得 C=23，6、A解答：因?yàn)猷女a(chǎn)i1 =0,所以此時(shí)是無窮小量。117、C 斛答：lim( xsin 一 一sin x) =0-1 = -1 J0 x x .v18、A解答：因?yàn)閥 =ex+r >0,所以單調(diào)增加。,1 x29、D解答:x2 12 x2 1dx2d(x21)12= -ln(x2 1) C一，E、一，一1110、A解答：利用定積分的幾何意義，所求面積為f exdx = ex =e-10011、B解答：先分離變量，兩

26、端再積分dy 1 ,1 ,12公xy dy=xdx- dy = xdx= In y x C1dxyy21x2所求通解為y = Ce212、D解答：直接積分法 y = x3+C 當(dāng)C=0時(shí)有y = x313、C解答：y =sinx+cosx+1是奇函數(shù)加上偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)。14、B解答：limln(x + 1) = ln1 =0 所以此時(shí)是無窮小量。 x-0 x，1xT115、A 斛答：lim=lim= lim= 0其匕二項(xiàng)極限都不存在。Tx -1 xTC(x+1)(X1) y(x1),16、B 解答：設(shè) f (x) =x3 +px+1,則 f (0) =1,f (1) =p <

27、0,有零點(diǎn)定理得 f (x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)存在實(shí)數(shù)根又因f'(x) =3x2 +p >0可知函數(shù)具有單調(diào)性，所以有唯一的實(shí)根。17、B解答：求導(dǎo)與求積分是互逆的運(yùn)算，先求導(dǎo)再求積分，是所有原函數(shù)所以選B18、C解答：考察定積分的概念，定積分計(jì)算完以后是一個(gè)確切的常數(shù)，可能是正數(shù)，也可能是0,還可能是負(fù)數(shù)。19、A 解答：由函數(shù)的奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義去判斷即可，設(shè)y = f(x) = ln(x+Jx2 +1 ),則 (-x +Jx2 + 1 ),( Jx2 +1 +x )(x2+1-x2)f ( -x) = In : -xx 1 = In= In:;Jx2 1 x ii： x

28、 x2 1 x=In 1_=-In x+：；x2 1 =-f(x)；fx2 1 x20、B 解答：由于 f'(x)>0所以 f(1)>f(0)，2221、C 斛答：lim 2 = 2= y=2 是水平漸近線；lim 2 =°o x x = 0x- 1 -ex 31 -e是鉛直漸近線。22、d 考查定積分的性質(zhì)與基本的積分表(cosx -sin x)dx= sin x +cosx+ C-生八八人口 n (T)n)23、A 解答：分子分母同時(shí)除以n可以得到lim -=1n n24、B解答：考查無窮小量的重要性質(zhì)之一，有界量和無窮小量的乘積仍為無窮小量，其它選項(xiàng)都不一定

29、正確。25、C 解答：f'(x)=g'(x)= df(x)=dg(x)=(jdf (x)' = (jdg(x)',其它選項(xiàng)都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜漸近線的方法可得x sin1y = x sin x, y=k = lim 士 = limx E x x : x =lim1 0=1x 二所求斜漸近線為y = x。其它選項(xiàng)都11 cb =hm( y kx) = lim( x +sin x) = lim sin = 0 ,沒有。二、填空題1 2x1、 一 解答：1cosxlx2= lim2 lim 2 2 22 x p xx 2x-0或者用羅比達(dá)法則也可以

30、求解。2> 2 解答： f (x) =e2x+2,則 f'(x) = 2e2x= f'(0) = 23、2 解答：應(yīng)用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的積分為013111二(x cosx -5x 1)dx =(0-5x 1)dx=二(0+0 1)dx=1dx=24、etx +C 分析：被積函數(shù)et相對于積分變量來說是常數(shù)，所以etdx=etx + C5、y=2ex 解答：y'y=0= y = Cex,代入初始條件 y 2 得到 2 = Ce° = C = 2所求特解為y =2ex6、解:2x -4 lim x 2 x 322 -4 lim x 2 2 3=li

31、m0 = 0x-257、解:limx 2= lim(x-2)(x "limK!2 1 = lim x 2 ( x 2)( x - 2) x 2 (x 2) x 握 2 28、解:xsinx+1= y =sinx+xcosx則Jiji jif ( 一)=sin cos= 19、解：應(yīng)用性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為(x cosx 1)dx = 0 i 1dx = 2 1110、33arctan x+C解：由基本的積分公式 dx = 3arctan1 x211、. 、 一一.2 _2 _2+ C解：對萬程 ydy=xdx兩漏積分ydy=Jxdx= yx2 C12、2解：利用偶函數(shù)的積分

32、性質(zhì)1144 _ 55x dx = 2 5x dx = 2x13、 1解：limX 二x sin2x.sin2x 1二 limxx11 0=lim 1x114、2.-2xsin x dx解：由微分的定義 dy= ydx,先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分y =cosx2= y = -sinx2 2x = -2xsinx2= dy= -2xsinx2dx15、-1 解： y = xcosx_3= y'= cosx xsinx= f'(n ) = cosu n sinn =116、1e2x +C解：將ex看成一個(gè)整體，利用湊微元法得 2_ x x e de17、y = -1ex+C解：先分離變量

33、，再積分得通解22x dy =e dx二 exh dy ' exdx= dy 二_2xe dx=1_2xe C218、y=ex+C 解：先整理，再分離變量求通解In y = x = y = ex = y dy = exdx二 y ;19、e-62 , 解：利用重要極限進(jìn)行恒等變形，再求解lim(1 -)3x2 (-)2)(- -6)R.6二e20、xx(lnx+1)解：本題是哥指函數(shù)，利用對數(shù)求導(dǎo)法來求導(dǎo)數(shù)x y .1x,y = x = In y = xln x =ln x x 1 In x= y = y(1 In x) = x (1 Inx)21、12解：分母相同，分子先通分，分子分

34、母最高次哥都是2次用自變量趨于無窮大,極限等于最高次哥的系數(shù)之比(1 n)nnim61 2 3 . n二 nim：22、解：分子分母最高次哥都是3次哥,自變量趨于無窮大，極限等于最高次騫的系數(shù)之比x(x 1)( x 2) 12x3 x -3223、xx( lnx+1)dx解：由微分的定義dy=ydx,先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分，本題是哥指函數(shù)可以利用對數(shù)求導(dǎo)法來求導(dǎo)數(shù)xy .1x,y = x = In y = xln x =ln x x - =1 In x= y = y(1 In x) = x (1 In x) yx=dy = xx(1 In x)dx212x -3x 101124、一斛： lim=

35、lim= 一4x-0x 4 x 0 0 4 425、2_ 解：先求導(dǎo)數(shù)，再代入具體數(shù)值f'(x) = 2e2x= f'(0) = 2e0=2a -2a -2 -26、2n解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)上 (1+sin5 x)dx = 0 1dxx e27、一=dx 解：由微分的定義 dy= y'dx,先求出導(dǎo)數(shù)，再求微分 ex -1y = ln(ex -1) dydx28、2 解：利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)匹2 (cosx-2)dx2一 cosxdx = 2 2 cosxdx = 2.22三、解答題1、(本題滿分9分)解：由題意可得,x -1 -02 x -0x -

36、1 解得x - 2所以函數(shù)的定義域?yàn)? , 22、(本題滿分10分)解：f(0)=lim坨 x 0 x - 0= lim( x-1)(x-2)|(x-2014) =2014! x_03、(本題滿分10分)解：方程兩端對 x求導(dǎo)，得y' = x2+x + 6將X=0代入上式，得y'(0刀=6從而可得：切線方程為y 1=6(x0) 即y = 6x+14、(本題滿分10分)解：作平面區(qū)域，如圖示 y = x 一、，.解萬程組12得交點(diǎn)坐標(biāo)：(0, 0), (1, 1)J = x一 .1 OX2 x3 1 1所求陰影部分的面積為：S=(x X X )dx = I=-PI 23 10 6

37、5、(本題滿分10分)解:lim f (x) = lim x 2=3= f (1)lim f (x) =lim 3x =3 = f(1) x_1 一x_1 一f (x)在x =1處是連續(xù)的。6、(本題滿分10分)解：將原方程化為dy = (2x 3)dx兩邊求不定積分，得Jdy= (2x +3)dx,于是y = x2+3x + C將y|x,= 3代入上式，有3=1+3+C ,所以C =1, 故原方程的特解為 y = x2 + 3x -1。7、(本題滿分9分).x-4-0解：由題息可得，5 - x - 0丘口 x - 4 解得x三5所以函數(shù)的定義域?yàn)? , 58、(本題滿分10分)解：f (0)

38、 = lim f(x) - f(0) x)0X -0=lim( x1)(x 2)|(x n)=n!9、(本題滿分10分)解：方程兩端對 x求導(dǎo)，得2x 2(y+xy) +6yy' = 0將點(diǎn)(2, 1)代入上式，得y(2,1)= -1從而可得：切線方程為y 1= (x -2) 即x + y 3 = 010、(本題滿分10分)y 1產(chǎn)自餐/I1 上二01 K1解：所求陰影部分的面積為S = o (ex -1)dxx x 1=(e -x)0=e _ 211、(本題滿分10分)解： 7 lim f(x) = lim ex-1 =0 = f(0) x_0x_0lim f (x) = lim x

39、 = 0 = f (0) x-0 -x_0 一. f (x)在x = 0處是連續(xù)的。12、(本題滿分10分)解：由方程(1 十 y2)dx (1+x2)dy = 0,得dy dx1 y2 = 1 x2兩邊積分:dy dx2 二21 y21 x2得 arctan y = arctan x C所以原方程的通解為：arctan y = arctan x + C 或 y = tan(arctan x + C)13、(本題滿分10分)解：令 F(x)=x5 -7x-4,F(x)在1,2上連續(xù)F(1) = -10 <0,F(2) =14 0由零點(diǎn)定理可得，在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)之，使得函數(shù)F(

40、W) = V _7t _4 = 0,即方程x5 7x_4=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。14、(本題滿分10分)解：f (0)=媽 f(x) -; 7m(x 1)(x 2)|(x 2015) = 2015!15、(本題滿分10分)解：方程兩端對 x求導(dǎo)，得eyy' + y + xy' = 0 .11將點(diǎn)(0, 1)代入上式，得 y (0,1)= 一一 e從而可得：法線方程為y = ex + 116、(本題滿分10分)解：作平面圖形，如圖示S =仔(2 cosx)dx =(2 xsinx) 20ji ji=(2 - -sin-) -0 - - -117、(本題滿分10分)解

41、:lim f (x) = lim cosx = 1 = f (0)x 0x 0，lim f (x) = lim (x 1)=1= f (0)f (x)在x = 0處是連續(xù)的。18、(本題滿分10分)解：將原方程化為5 =(1dx-x)(1 + 丫2)或 "2 = (1 -x)dx1 y兩邊求不定積分，得12arctan y = x x C 2由y |x3 = 1得到Cji故原方程的特解為arctan y =7)12x - -x + 或 y = tan( 2419、(本題滿分20分)解：A由以0, a,為底、高為2、的曲邊梯形和 a以a,1為底、1為高的矩形兩部分構(gòu)成. 由切片法可得：

42、Vaa 22° y dx 二 1 (1 - a)JiVb4a1=兀(- 0a 44 、x dx ：；v(1 -a)=二(1 a),05 x2 .21x dy =：奠 a , 0,1 _2-yd y =2a n,F(a) =Va Vb =二(14 a) 1 a 52a (0, 1)4令F (a) = n +an 0,駐點(diǎn)為：5F(a)駐點(diǎn)唯一,又根據(jù)問題的實(shí)際意義F (a)的最小值存在，4，a =一就是F (a)的取小值點(diǎn).5或者，又F "(a)4 .4=n>0,. a =一為極小值點(diǎn)，亦取小值a =55點(diǎn),一一 ，4 一，可見：當(dāng)a=時(shí)，Va +Vb達(dá)到取小. 520、(本題滿分20分)解：由題意可得