數(shù)列專題訓練包括通項公式求法和前n項和求法(史上最全的方法和習題)

1、數(shù)列專題1、數(shù)列的通項公式與前n項的和的關系( 數(shù)列的前n項的和為).2、等差數(shù)列的通項公式；3、等差數(shù)列其前n項和公式為.4、等比數(shù)列的通項公式；5、等比數(shù)列前n項的和公式為 或 .常用數(shù)列不等式證明中的裂項形式:（1）(; (2) (3)(4); (5) (6) 一.數(shù)列的通項公式的求法1.定義法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。例等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.解：設數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：，2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例已知數(shù)列的前項和滿足求數(shù)列的通項公式。解：由當時，有，經(jīng)驗證也滿足上式，所以3.作商法：已知求，用作商法：。如數(shù)

2、列中，對所有的都有，則_ ；4.累加法：若求：。例. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，例：已知數(shù)列，且a1=2，an+1=an+n，求an.解：，···，將以上各式相加得又因為當n=1，成立， 5.累乘法：已知求，用累乘法：。例. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例：已知,求通項an.解：， ，把以上各項式子相乘得又當n=1時，成立6.已知遞推關系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。（1）形如只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異其中有多種不同形式為常數(shù)，即遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法

3、：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例. 已知數(shù)列中，求.解：設遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則, 所以.為一次多項式，即遞推公式為例設數(shù)列：，求.解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得備注：本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之. 為的二次式，則可設;（2）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）解法：該類型復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型（1）的方法解決。例. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應用例7解法得：所以（3

4、）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應用前面類型（2）的方法求解。例. 已知數(shù)列中，,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。7. 形如或的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。例：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，8、型該類型是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項。兩邊取對數(shù)得設原等式變?yōu)榧醋優(yōu)榛拘?。例已知，求其通項公式。解：由知且，將等式兩邊取對?shù)得，即，為等比數(shù)列，其首項為，公比為2，。通項

5、公式為二.數(shù)列的前n項求和的求法1.公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；常用公式：，.例、已知，求的前n項和.解：由由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 12.分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和. 例2、 求數(shù)列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，3.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式

6、的推導方法）.例3、求的值解：設. 將式右邊反序得. （反序） 又因為 +得 （反序相加）89 S44.54.錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導方法）.例4、 求和：解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設. （設制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例5、求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設 （設制錯位）得 （錯位相減） 5.裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消

7、法求和.常用裂項形式有：；，； ；.例6、 求數(shù)列的前n項和.解：設 （裂項）則 （裂項求和） 例7、 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： （裂項） 數(shù)列bn的前n項和 （裂項求和） 6.通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運用分組求和法求和。例8 、求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和）7、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°

8、+ cos179°的值.例 數(shù)列an：，求S2002.數(shù)列通項課后練習1已知數(shù)列中，滿足a，a+1=2(a+1) （nN）求數(shù)列的通項公式。2已知數(shù)列中，a0,且a，（nN）3已知數(shù)列中，a，aa（nN）求數(shù)列的通項公式4已知數(shù)列中，a，a3a，求數(shù)列的通項公式5已知數(shù)列中，a，a，a（nN）求a6設數(shù)列滿足a=4，a=2，a=1 若數(shù)列成等差數(shù)列，求a7設數(shù)列中，a=2，a=2a+1 求通項公式a8已知數(shù)列中，a=1，2a= a+ a 求a9已知,求an.10已知,求通項an.11已知,求通項an.（1）求和： ；（2）在數(shù)列中，且S，則n_ ；求和： ；求數(shù)列1×4，2

9、×5，3×6，前項和= ；數(shù)列求和課后練習例1 已知，求的前n項和.例2 設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和： 例4 求數(shù)列前n項的和.三、倒序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個. 例5 求的值四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求

10、和，再將其合并即可.例6 求數(shù)列的前n項和：，例7 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項和.例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和. 例11 求證：一、選擇題：1、等差數(shù)列中，若，則A、45B、75C、180D、3202、已知是等比數(shù)列，且0，則 A、5B、10C、15D、203、等差數(shù)列an中，a1=3,a100=36,則a3a98等于 ( )

11、(A)36 (B)38 (C)39 (D)424、含2n+1個項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為 ( )(A) (B) (C) (D)5、在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，若所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)126、等差數(shù)列an 的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)160二、填空題：7、已知數(shù)列則其前n項和Sn=_.8、數(shù)列前n項和為Sn=n2+3n,則其通項an等于_.9、已知數(shù)列1, , 前n項的和為_.三、解答題：10、已知數(shù)列的前n項和n(n1)(n2),試求數(shù)列的前n項和.11、在數(shù)列中，已知， ,求數(shù)列的通項公式。12、設正值數(shù)列的前n項和為，滿足(1)求