四年級(jí)下冊數(shù)學(xué)試題-奧數(shù)專題講練：第2講三角形等各類變形提高篇(解析版)全國通用

1、第二講 三角形的等積變形內(nèi)容概述我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底X高十2從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.如果三角形的底不變，高越大小，三角形面積也就越大小；如果三角形的高不變，底越大小，三角形面積也就越大小；這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比方當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼?1/3,那么三角形面積與原來的一樣。這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底 的變化同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無

2、數(shù)多個(gè)不同的形狀.在實(shí)際問題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論： 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.那么這個(gè)三角形的面積也是另 假設(shè)兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形的幾倍, 個(gè)三角形面積的幾倍.假設(shè)兩個(gè)三角形的底相等, 個(gè)三角形面積的幾倍.其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形的幾倍,那么這個(gè)三角形的面積也是另 夾在一組平行線之間的等積變形，如下列圖，ACD和 BCD夾在一組平行線之間，且有公共底邊CD那么S ACD S BCD ；反之，如果S ACD S BCD , 那么可知直線AB平行于CD。:例題精講【例1】如右圖，BD長12厘米,DC長4厘米，B、C和D在同一條直線長。求三角

3、形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍?求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍?A.KD C分析：因?yàn)槿切?ABD、三角形ABC和三角形ADC在分別以BD、BC和DC為底時(shí)，它們的高都是從 A點(diǎn)向BC邊上所作的垂線，也就是說三個(gè)三角形的高相等。于是： 三角形ABD的面積=12X高十2=6X高三角形ABC的面積=12+4 X高十2=8 X高三角形ADC的面積=4 X高十2=2 X高所以，三角形 ABC的面積是三角形 ABD面積的4/3倍；三角形ABD的面積是三角形 ADC面積的3倍?！纠?】 如右圖，E在AD上，AD垂直BC， 求三角形ABC的面積是三角形AD=12厘米，DE=3厘米

4、。EBC面積的幾倍？BC為三角形 ABC和三角形 EBC的底時(shí), EBC的高，三角形 ABC的面積=BC X 12-2 = BC X 6三角形EBC的面積=BC X 3-2 = BC X 1.5所以三角形ABC的面積是三角形EBC的面積的4倍。分析：因?yàn)锳D垂直于BC,所以當(dāng) 是三角形ABC的高，ED是三角形 工曰疋：穩(wěn)固理解結(jié)論：兩個(gè)三角形等底時(shí),面積的倍數(shù)=高的倍數(shù)【例3】用兩種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形.分析：法1:如圖1,將BC邊四等分，連接各等分點(diǎn)，那么 ABD、 ADE、 AEF、 AFC面積相等。 法2:如圖2 , D是BC的二等分點(diǎn)，E、F是AC、AB

5、的中點(diǎn)，從而得到四個(gè)等積三角形 ADF、BDF、 DCE、 ADE .法3:如圖3, D是BC的四等分點(diǎn)，E、F是AD的三等分點(diǎn)，從而得到 ABD、 AEC、 ECF、 FCD面積相等。(1 >C2)(3>【例4】如圖，三角形 ABC的面積是24, D、E和F分別是BC、AC和AD 點(diǎn)。求：三角形 DEF的面積。分析：三角形 ADC的面積是三角形 ABC面積的一半24- 2=12 ,三角形ADE又是三角形 ADC面積的一半12十2=6。三角形FED的面積是三角形 ADE面積的一半, 所以三角形FED的面積=6十2=3 。【例5】 如右圖，三角形 ABC的面積是144平方厘米，BD=

6、18厘米，DC=6厘米, AE=10厘米，EC=5厘米。求：三角形 ADE的面積。分析：BD是DC的3倍，所以三角形 ADC的面積是：144- 3+1 =36 平方厘米 AE是EC的2倍，三角形 CDE的面積是：36+ 2+1 =12 平方厘米； 所以三角形 ADE的面積是12X 2=24 平方厘米?！纠?】 如右圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF=2CF，三角形AFE圖中陰影局部的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘 米？分析：連結(jié)FB.三角形AFB面積是三角形 CFB面積的2倍，而三角形 AFB面積是三角形AEF面積的2倍，所以三角形 ABC面積是三角形AEF面積

7、的3倍；又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣eAFE面積的3 >2=6倍.因此，平行四邊形是三角形ABC面積的2倍，所以平行四邊形的面積是三角形 的面積為8 >=48平方厘米.【例7】 圖中 AOB的面積為15cm2，線段0B的長度為0D的3倍，求梯形 ABCD的面積.分析： 在 ABD中，因?yàn)镾AOb 15cm2，且OB 30D ,所以有 S AOD = - S AOB =5cm ，3因?yàn)?ABD禾口 ACD等底等高，所以有 S abd Sacd 從而 S ocd 15cm2，在 BCD 中，S boc 3S OCD 45cm2，所以梯形面積：15 5 15 45 80cm2?！纠?】北京市 迎

8、春杯刊賽如右圖將三角形ABC的BA邊延長1倍到D， CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F.如果三角形 ABC的面積等于I，那么 三角形DEF的面積是？分析：連結(jié) AE、BF、CD如右下列圖.由于三角形 AEB與三角ABC的高相等， 而底邊EB=2BC，所以三角形 AEB的面積是2同理，三角形 CBF的面積是3， 三角形ACD的面積是1.類似地：三角形 AED的面積=三角形AEB的面積=2.三角形BEF的面積=2 > 三角形CBF的面積=6. 三角形CFD的面積=3 > 三角形ACD的面積=3.于是三角形 DEF的面積等于三角形 ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CF

9、D的面積之和,即 1+2+3+1+2+6+3=18.【例9】 如右圖，在 ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求陰影局部面積占三角形面積的幾分之幾？分析：連結(jié)BG,在 ABG中，bd = 2ad,在AABC中，AG = 2CG,2同 ®63PE = -s. S ADG+S BDE+S CFGd js =2Sg 99 ii/EC g iJBC陰夥局部面積=0中認(rèn)廠扎砂【例10】 如右圖，把四邊形 ABCD改成一個(gè)等積的三角形.分析：此題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等.我們可以利用三角形等積變形的方法，如右上圖把頂點(diǎn) A移

10、到CB的延長線上的 A '處， A' BD與厶ABD面積相等，從而 A ' DC面積與原四 邊形ABCD面積也相等.這樣就把四邊形 ABCD等積地改成了三角形 A ' DC 問 題是A '位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原那么過A作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A '點(diǎn).具體做法：連結(jié) BD ; 過A作BD的平行線，與 CB的延長線交于 A【例11】 如右圖，ABCD為平行四邊形, 方厘米.求三角形 CDF的面積.分析：連結(jié)AF、CE ,.S ADE = S ACE ； S CDF=S ACF ； 又 AC與EF平行，SACE = SACF

11、 ；Saade=Scdf=4 (平方厘米).EF平行 AC，如果 ADE的面積為4平 連結(jié)A ' D，那么 A' CD與四邊形ABCD等積.【例12】如右圖，三角形 ABG和三角形ECF是兩個(gè)完全一樣的直角三角形,AB=10 , BC=7 , ED=4。求四邊形 EDGF的面積。分析：因?yàn)槿切?ABC與三角形ECF的面積相等，所以三角形 ABC 小三角形 DCG =三角形ECF-小三角形 DCG , 所以，四邊形 EDGF的面積=四邊形ABCD的面積=(10+6)X 7十2=56?！纠?3】正方形ABCD和正方形 CEFG，且正方形 ABCD邊長為10厘米，那么圖中陰影面積為

12、多少平方厘米？分析：法1 :三角形BEF的面積=BEX EF-2,梯形EFDC的面積=EF+CD X CE 2= BEX EF-2 = 三角形 BEF的面積, 而四邊形CEFH是它們的公共局部，所以三角形DHF的面積=三角形BCH的面積， 進(jìn)而可得2=50陰影面積 =三角形BDF的面積=三角形BCD的面積=10 X10- 平方厘米。E法2:所以,連接CF，那么CF平行BD ,陰影面積=三角形BDF的面積=三角形BCD的面積=50 平方厘米?！靖?】女口右圖，四邊形ABCD面積為1 ,且AB=AE , BC=BF , DC=CG , AD=DH .求 四邊形EFGH的面積.分析：連結(jié)BD將四邊形

13、ABCD分成兩個(gè)局部 Si與9 連結(jié) FD,有 3 fbd=S dbc=S2，所以 S cg=Sa dfc=2S2 同理 SAAEH=2Si,因此人£卅$山6=2$1+23=2( Si+S2)=2 X 仁2.同理，連結(jié) AC之后，可求出 Sahgd+Saebf=2所以四邊形EFGH的面積為2+2+仁5 平方單位.【附2】 如圖，在A ABC中，DC=3BD , DE=EA，假設(shè)A ABC面積是2，那么陰影部 分的面積是多少？分析：連結(jié) FD，由 AE=ED 可知：Saafe=Saefd , Saaec = Sa dce 由 DC=3BD，可知：Sa dcf=3Sa bdf .因此Sa

14、abc= (1+3 + 3)X Sa bdf=7Sa bdf【附3】北京市 迎春杯數(shù)學(xué)競賽決賽如右圖 BE=1/3BC , CD=1/4AC，那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的.分析：圖中，三角形 AEC與三角形ABC的高相等，而 BE=1/3BC，于是EC=2/3BC ,三角形AEC的面積三角形ABC的面積三角形AED的面積 3三角形AEC的面積 4所以，三角形 AED的面積=3/4 X三角形AEC的面積3 23 -三角形ABC的面積4 3 =1三角形ABC的面積2【附4】北京市迎春杯刊賽下列圖中三角形 ABC的面積為1，其中AE=3AB , BD=2BC，那么三角形 BED的面積是

15、 .分析：連接輔C助線E.三角形BCE的面積：三角形DCE的面積=BC : CD=1 : 1,所以三角形 BCE的面積等于三角形DCE的面積.又因?yàn)槿切蜝CE的面積：l=BE : AB=2 : 1,所以三角形BCE的面積等于2.因此三角形BDE的面積等于2+2=4.【附5】?小數(shù)報(bào)?數(shù)學(xué)競賽初賽如圖，梯形 ABCD被它的一條對角線 BD 分成了兩局部.三角形BDC的面積比三角形 ABD的面積大10平方分米. 梯形的上底與下底的長度之和是 15分米，它們的差是 5分米.求梯形 ABCD 的面積.分析：如右圖，作 AB的平行線DE .三角形BDE的面積與三角形 ABD的面 積相等，三角形 DEC

16、的面積就是三角形 BDC與三角形ABD的面積差10平 方分米從而，可求出梯形高三角形DEC的高是：2X 10+ 5 = 4 分米， 梯形面積是：1/2 X5X4=30平方分米.【附6】迎春杯決賽如圖， AE=1/5AC ,三角形DEF的面積CD=1/4BC , BF=1/6 AB，那么=三角形ABC的面積S1分析：連結(jié)輔助線 AD.因?yàn)镃D=1/4BC，所以等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比S ABC 同理CDE ACD從而S CDE1s5ABC連結(jié)輔助線BE、CF,同理可證S BDF=ABC8SAEF1S ABC6S ABC111-5-6-81611201.如圖1,在厶ABC中，D是BC中

17、點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié) BE、CE，那么與厶ABE等積的三角形 一共有哪幾個(gè)三角形？解答：3 個(gè)。 AEC、 BED、 DEC。2.如圖2，在平行四邊形 ABCD中，EF平行AC ,連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與 BEC等積的三角 形一共有哪幾個(gè)三角形？解答： AEC、 AFC、 ABF。<1233.如圖3,在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對? 解答： ABD 與厶 ACD , ABC 與厶 DBC , ABO 與厶 DCO。4.如圖，在梯形 ABCD中，AC與BD是對角線，其交點(diǎn) 0, 求證： A0B與厶C0D面積相等.證明： ABC與厶DBC等底等高，/ S ABC =S DBC又S AOB = S ABC S BOCS DOC = S DBC S BOCS AOB = S COD.6厘米和4厘米，那么圖中陰影局部三角形5右圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是 的面積是平方厘米。解答：4X 4 -2=86.如右圖，D、E、F分別是BC、AD、BE的三等分點(diǎn)， 2abc =27平方厘米，求 Sdef . 解答：也廠£仏廠卜27 = 9平方厘氷 %廠|$5 =|較27 = 18厘米 仏廠詁X吩5平方厘米- 仏嚴(yán)打DI 占如4平方厘氷, = -Sasde =Txi2 = 8 平方厘氷.唐僧師徒摘桃子一天，唐