圓錐曲線的動弦中點軌跡方程

1、圓錐曲線的動弦中點軌跡方程圓錐曲線的動弦中點軌跡方程 圓錐曲線的動弦中點軌跡方程問題主要有以下三種類型： 一、過定點的動弦中點的軌跡方程 例 1：橢圓x22+y2=1 ，過點 P(2,0) 引橢圓的割線，求割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程。?y=k(x -2) ?解法一：設(shè)過點P(2,0)的直線方程為y=k(x-2)，聯(lián)立方程？ x2,消去y,整理得2+y=1 ?2?12?222+k ?x -4kx+4k-1=0 ,設(shè)弦的兩個端點為 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,中點 M(x,y) ,?2?那么 x=2x1+x2224k，kx2x4-2x2，代入 y=k(x-2)12x(x-2)

2、，即 (x-1)+2y22得 y=k(x-2)=4-2x(x-2)=-2=1?=(-4k2)-4又過點 P(2,0) 的直線與橢圓相交，所以2?12 ?2+k ?4k -1>0 ?2?()解得Ov kw，即Owx4-2xw12，解得 Owx當(dāng)k不存在時，不滿足題設(shè)要求，舍去。所以割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程是 (x-1)2+2y2=1 (Owx2+y1=1 ?2解法二：設(shè)弦的兩個端點為 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ，中點 M(x,y) ，那么? 2 x2 ?2+y2=1 ?2兩式相減得x1-x2222+y1-y2=O ，整理得 (x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2

3、)(y1-y2)=O，22由題意知x1工x2，所以y1-y2x1-x2x1+x2-2(y1+y2)=kAB ，又 kAB=yx-2，所以yx-2x-2y22整理得 (x-1)+2y=1 。又過點 P(2,0) 的直線與橢圓相交，與解法一同理可得22所以割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程是(x-1)+2y=1 (0<x注意：當(dāng)定點在圓錐曲線外的時候一定要驗證直線與圓錐曲線相交的條件 求出x (或y)的取值范圍；驗證斜率不存在的情況是否符合題意。二、斜率為定值的平行弦的中點軌跡方程例2:斜率為2的直線與雙曲線x2-y2=12相交于兩點P1、P2,求動弦方程。 ?y=2x+b解：設(shè)斜率為2的直

4、線方程為y=2x+b,聯(lián)立方程？ 2 2? x-y=12消去 y，并整理得 3x2+4bx+b2+12=0,設(shè)交點為 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 那么 x=x1+x22230<x?>0，并P1P2中點軌跡，中點 M(x,y) ，b ，所以 b=-12x又直線與雙曲線 x2-y2=12 相交于兩點，所以 ?=(4b)-4 ? 3(b2+12)>0 ，2解得b6,又x=-23b ，所以 x4 。 12x (x4 )所以動弦P1P2中點軌跡方程為 y12三、長為定值的動弦中點的軌跡方程例3:定長為21 (I >)的線段AB其兩個端點在拋物線 x2=y上移動，求線段中點 M的軌跡方程。2?x1=y1解:設(shè)端點為 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) ，中點 M(x0,y0) ，那么?，2?x2=y2兩式相減得y1-y2=(x1-x2)(x1-x2)，由題意知x1工x2，所以kAB=y1-y2x1-x2=x1+x2=2x022所以直線 AB的方程為 y-y0=2x0(x-x0)，代入 x2=y 得 x-2x0x+2x0-y0=0 ,由弦長公式以及韋達定理得AB=2I=所以AB=2I=+4x0?+k2?x1-x2 ， x1+x2=2x0， x1x2=