結(jié)構(gòu)力學(xué)(李廉錕第五版)

1、第六章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算§6-1§6-2 變形體系的虛功原理§6-3位移計(jì)算的一歿公式單位荷載法 * 02:41§ 6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6-5 圖乘法§ 6-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算§6-7靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算§6-8 線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)的互等定理§6概述結(jié)構(gòu)的位移Disphcemant1.結(jié)構(gòu)的位移是指結(jié)構(gòu)上的某一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動(dòng)到另一位置，這個(gè)移動(dòng) 的量就稱(chēng)為該截面的位移（線(xiàn)位移和角位移）。思考：變形與位移的差別?變形：結(jié)構(gòu)在外部因素作用下發(fā)生的形狀的變化。兩

2、者之間的關(guān)系：有形變必有位移；有位移不一定有形變。§ 6-1概述02:412.位移的分類(lèi)位移I線(xiàn)位移轉(zhuǎn)角位移a A點(diǎn)線(xiàn)位移ax A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移 AyP § 6-1概述:學(xué)02:41cDVF"7九Cfc J、C D、截面G。的相對(duì)豎向線(xiàn)位移為:c a d DCrc截面a。的相對(duì)角位移為:§ 6-1概述3.位移產(chǎn)生的原因引起結(jié)構(gòu)位移的原因AAx荷載 溫度改變 支座移動(dòng)0 OA；A但111111 iiiiBiaaaaaa d”ii02:41制小還有什么原因會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移?§ 6-1概述珞狗力多二、計(jì)算位移的目的(1)剛度要求在工程上，吊車(chē)

3、梁允許的撓度1/600跨度;高層建筑的最大位移1/1000高度。最大層間位移1/800層高。鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:橋梁在豎向靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁 最大撓度1/700和1/900跨度 * 02:41§ 6-1概述02:41超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時(shí)必須 考慮變形條件，因而需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。(3)施工要求(a)(b)(1)線(xiàn)彈性(Linear Elastic)r(2)小變形(Small Deformation),(3)理想聯(lián)結(jié)(Ideal Constraint)。疊加原理適用(principle of superposition)§6概述人計(jì)算方法1

4、.幾何法研究變形和位移的幾何關(guān)系，用求解微分方程式 的辦法求出某截面的位移（材料力學(xué)用過(guò)，但對(duì)復(fù) 雜的桿系不適用）002:412.虛功原理應(yīng)變能（卡氏定理）§6-2變形體系的虛功原理基本概念1.外力的實(shí)功實(shí)功：力在其本身引起的位移上所作的功。02:41位移,是由外力方引起的，耳做的功可表示為:§6-2變形體系的虛功原理設(shè)線(xiàn)彈性材料的彈性系數(shù)為七則實(shí)功的數(shù)值就等于圖上三角形。15的面積。實(shí)功是外力的非線(xiàn)形函數(shù)，計(jì)算外力實(shí)功不能應(yīng)用02:41§6-2變形體系的虛功原理2.外力的虛功虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功,即做功的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的。02:

5、41§6-2變形體系的虛功原理02:41例K力在其引起的位移41上作的功為實(shí)功為叱耳4 口E一一1XziiAi2力K在力B引起的位移412上作的功為虛功為3 .廣義位移和廣義力廣義位移一一結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移,包括截面的線(xiàn)位移、角位移、相對(duì)線(xiàn)位移、相對(duì)角位移或者是一 組位移等等都可泛稱(chēng)為廣義位移。廣義力一一與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，可以是一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方向相 反的力或力偶，也可以是一組力系。注意：廣義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠 在某一組廣義位移上做功的力系，才稱(chēng)為與這組廣 義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。4 .內(nèi)力功定義：從桿上截取一微段，作用在該微段上的內(nèi)力 在該微段的變

6、形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。該微段上相應(yīng)的變形為7M軸向變形剪力變形彎曲變形內(nèi)力實(shí)功如果變形就是由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和: 因?yàn)?所以由胡克定律有：-A0 丘故力功應(yīng)為實(shí)功,實(shí)功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。內(nèi)力虛功若變形與內(nèi)力彼此無(wú)關(guān)，則此微段上的內(nèi)力功 是虛功，其為對(duì)于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對(duì)整根桿積分求得:cU ,d和d。的具體表達(dá)式要視引起這個(gè)變形的具體原因而定Q§12變形體系的虛功原理 回顧(1)質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是:P1對(duì)于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛動(dòng)之和為零。也 即

7、 »F1 P2N2m I m 尸Nl :學(xué)02:41§6-2變形體系的虛功原理二、虛功原理1.變形體的虛功原理設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時(shí)，則外力系在位移上做的虛功的總和6嘰，等于變形體的內(nèi)力在變形 上做的虛功的總和3 %,即，5I4=5Vy需注意：這就是虛功方程。（證明略）02:41外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài);位移必須滿(mǎn)足虛位移的條件滿(mǎn)足約束條件 的非常微小的連續(xù)位移；外力與位移兩者之間是相互獨(dú)立沒(méi)有關(guān)聯(lián)的。平衡的外力系與相應(yīng)的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外

8、力在位移 狀態(tài)由位移上做功之和（外力虛如等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位 移狀態(tài)的變形上做功之和（內(nèi)力虛功）。對(duì)于兩個(gè)相互無(wú)關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛設(shè)其中一個(gè)狀態(tài)，讓另一實(shí)際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功,列出虛功方程，可以求解不同的問(wèn)題.衣21形體系的虛功原理解釋?zhuān)簐r力狀態(tài) 兩種狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（虛）（虛:位移狀態(tài)注 （1）屬同一體系；意 （2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件.:力狀態(tài)應(yīng)滿(mǎn)足平衡條件。：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)；2.桿系結(jié)構(gòu)虛功方程v*X以上結(jié)論與材料物理性質(zhì)及具體結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，因此，虛功原理虛動(dòng)方程既適用于一切線(xiàn)性結(jié)構(gòu)，也 適用于一切非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)。希望能很

9、好理解，盡可能達(dá)到掌握!§6-2變形體系的虛功原理3.虛功原理的兩種應(yīng)用虛位移原榭系平衡的充分必要條件是：對(duì)任意協(xié)調(diào)位移虛功方程成立。 * 02:41令實(shí)際的力狀態(tài)在虛設(shè)的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達(dá)的是力的平衡條件。從中可以求出實(shí)際力系中的未知力。這就是虛位移原理虛力原理個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對(duì)任意平衡力系，虛功方程成立。令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功所 建立虛功方程表達(dá)的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出 位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理（也稱(chēng) 為余虛功原理）。例如：應(yīng)用虛位移原理求支座。的反力方C。撤除與be相應(yīng)的約束， 將be變成主動(dòng)力，取與尸C 正向一

10、致的剛體位移作為虛 位移。列出虛功方程：粒r 廣 E wE=IH»:學(xué)®注意：虛位移原理寫(xiě)出的虛功方程是一個(gè)平衡 方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例：當(dāng)A支座向上移動(dòng)一個(gè) 已知位移Q,求點(diǎn)產(chǎn)生的豎向 位移/。A'在擬求線(xiàn)位移的方向加單位力 - b 由平衡條件 /的=一- a令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程N(yùn) -注意:虛力原理寫(xiě)出的虛功方程是一個(gè)幾何方可用于求解幾何問(wèn)題。程,求得上C單位力方向相同。§63位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法(Dummy-Unit Load Method)是 Maxwell, 1864而Mohr,

11、1874提出,故也稱(chēng)為 MaxwelLMohrMethod oA =9 K 實(shí)際狀態(tài)位移狀態(tài)圖示結(jié)構(gòu),瓦To虛擬狀態(tài)R2力狀態(tài)用虛功原理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)（稱(chēng)力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移, 可接右圖選取虛擬狀態(tài)，用虛擬力為單位力，故稱(chēng)為單位 荷載法。外力虛功:此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式。若結(jié)果為正，說(shuō)明七二1在上做正功，這表明的實(shí)際 方向與方向相同。若結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明%二1在 Ar上做負(fù)功 ,這表明的實(shí)際方向與方向相反。:學(xué)®02:41§63位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)所建立的虛功方程，實(shí)質(zhì)上是幾何方程。(2)虛設(shè)

12、的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無(wú)關(guān)，故可設(shè)單位廣義力P=1(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。特點(diǎn)：是用靜力平衡法來(lái)解幾何問(wèn)題?？偟膩?lái)講:單位位移法的虛功方程 單位荷載法的虛功方程02:41§63位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法一般公式的普遍性表現(xiàn)在:L位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等;2結(jié)構(gòu)類(lèi)型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu);靜定和超靜定結(jié)構(gòu);3.材料性質(zhì)：線(xiàn)性、非線(xiàn)性;4.變形類(lèi)型：彎曲變形、拉（壓）變形、剪切變形;5位移種類(lèi)：線(xiàn)位移、角位移；相對(duì)線(xiàn)位移和相對(duì)角位移。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力§63位移計(jì)算的一般公式單位荷載法珞構(gòu)力多興.02:41Sa=

13、?(d)Sab§63位移計(jì)算的一般公式(e)(f)§63位移計(jì)算的一般公式單位荷載法 轉(zhuǎn)構(gòu)力多;02:41§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算荷載作用引起的位移計(jì)算外力虛功變形虛功由虛功原理有：w二叱02:41等號(hào)左側(cè)是虛設(shè)的單位外力在實(shí)際的位移上所做的 外力虛力，右側(cè)是虛設(shè)單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際位移狀 態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和。對(duì)于直桿，則可用心代替小。計(jì)算位移的公式為T(mén) ZHMM單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和矩 方程式。與。碼4實(shí)際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和 彎矩方程式。E、GA. I -材料的彈性模量和剪力彈性模量.桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩剪力在截

14、面上分布的不均勻系數(shù)，對(duì)于 矩形截面”1.2。:學(xué)®§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式簡(jiǎn)化;(1)梁、剛架：只考慮彎矩Mp引起的位移。EI(2)桁架：只有軸力。EA桁架各桿均為等截面直桿則/=£%*/EA(3)組合結(jié)構(gòu)(4)跨度較大的薄拱,其軸力和彎矩的影響相當(dāng)，剪力的影響不計(jì)，位移計(jì)算公式為02:41拱壩一類(lèi)的厚度較大的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也是不能忽略的。所以計(jì)算拱壩時(shí)，軸力、剪力和彎矩三項(xiàng)因素都須要考慮進(jìn)去。§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算例61圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截 面慣性矩/均為常數(shù)，試求5點(diǎn)的豎向位移Cr,水平位移/四,和

15、位移C"。解：（1）作出荷載作用下的 彎矩圖，寫(xiě)出各桿的彎矩方程。橫梁BC豎柱C417Mp(x)-qa(2)求£點(diǎn)的豎向位移Zv寫(xiě)出各桿單位力作用下 的彎矩方程式，畫(huà)出彎矩圖橫梁BC M(x) = xJ EIdxE.豎柱 CA Mx) = a (O< * 02:41§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算(3)求8點(diǎn)的水平位移z%u 在5點(diǎn)加單位水平力。 畫(huà)出彎矩圖并寫(xiě)出各桿的彎 矩方程a-x橫梁 BCM(x)= 0豎柱CA M(x)=-x4u 一司一 o EI* /1=J(t>、dxJei注意：負(fù)號(hào)表示位移的方向與假設(shè)的單位 力的方向相反。(4)求5點(diǎn)

16、的線(xiàn)位移與V29 qa=8 EIE=IH»02:41§ 6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 轉(zhuǎn)狗力多矩方程。假定曲梁內(nèi)側(cè)纖維受拉為取5點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)，任意截面q例62 一圓孤形懸臂梁受勻布荷載作用，設(shè)曲梁矩形截面的彎曲剛度為打，半徑為尸，圓弧A的圓 心角色及荷載夕均為已知，試求截面£的豎向及水平 向位移和/eu。解：當(dāng)曲梁的半徑較大截面比較 薄時(shí)，可忽略軸力和剪力的影響。(1)列出曲梁在荷載作用下的彎正彎矩。C的橫座標(biāo)為“，該截面的彎矩:Afp = _- qjC202:41§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算02:411由于3力引起的彎方程為通 =1. 采用極坐標(biāo)表示-1AQrsirY/.A/f=rsmqr)求/SV ,在萬(wàn)點(diǎn)加一豎向單位力，單位豎向3- 所以1JB(3)求Asu,在萬(wàn)點(diǎn)作用一單位向水平力，列出此水平向單位力引起的彎矩方程« 1§6-4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算例63平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0. 4 X 10-2m2 彈性橫 >E=200GPa,試求5 點(diǎn)和。點(diǎn)的豎向位移。在笈點(diǎn)加一向下的單位力，求此單位力引起的各桿軸力尸N o1hJ:學(xué)02:41&#