連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)PPT課件

1、1 第1頁/共122頁2 （1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。說說 明明（2）材料均勻連續(xù)；各向同性。（3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提 。第2頁/共122頁3 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第3頁/共122頁 動(dòng)力學(xué)方程（1）桿的縱向振動(dòng) 討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng) 桿長 l 假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面 截面積 S材料密度 彈性模量 E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形 ),(txplx0),(txp單位長度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)： 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第4頁/共122頁),(txu桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移 微段分析 )

2、,(txplx0 xdxdxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段應(yīng)變： xudxudxxuu)(橫截面上的內(nèi)力：xuESESF由達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第5頁/共122頁),(txu桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移 ),(txplx0 xdx橫截面上的內(nèi)力：xuESESF由達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得： 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 對(duì)于等直桿，ES 為常數(shù) ),(1222022txpSxuatu/0Ea 彈性縱波沿桿的

3、縱向傳播速度 有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第6頁/共122頁7 （2）弦的橫向振動(dòng) 弦兩端固定，以張力 F 拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng) yxFF),(txpxdx),(txyo建立坐標(biāo)系 xoy),(txy弦上距原點(diǎn) x 處的橫截面在 t 時(shí)刻的橫向位移 ),(txp單位長度弦上分布的作用力 單位長度弦的質(zhì)量 微段受力情況 達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFtydx),()(22弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程/0Ea 令：xy并考慮到：),(1222022txpxyaty得：彈性橫波的縱向傳播速度0apdx22tydxdxxdxFF連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第7頁/共122頁8

4、（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 細(xì)長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面 截面的極慣性矩 Ip材料密度 切變模量 G),(txp：單位長度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)： ),(tx為桿上距離原點(diǎn) x 處的截面在時(shí)刻 t 的角位移 截面處的扭矩為 T 微段 dx 受力 ),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第8頁/共122頁9 代入，得： 微段 dx 受力 ),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 達(dá)朗貝爾原理： pdxTdxxTTtdxIp )(22材料力學(xué)： xG

5、ITp 即： ),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程 對(duì)于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù) ),(1222022txpIxatp 有： Ga 0剪切彈性波的縱向傳播速度 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第9頁/共122頁10 小結(jié)： （1）桿的縱向振動(dòng) ),(1222022txpSxuatu（2）弦的橫向振動(dòng) ),(1222022txpxyaty雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于一維波動(dòng)方程 。（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) ),(1222022txpIxatp 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程 第10頁/共

6、122頁11 固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象 方程：),(1222022txpSxuatu縱向自由振動(dòng)方程：222022xuatu/0Ea 假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè) ：)()(),(tqxtxuq(t) 表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) )(x桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動(dòng)振幅 代入，得： )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第11頁/共122頁12 )()()()( 20 xxatqtq 記： 2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：（確定桿縱向振動(dòng)的形

7、態(tài)，稱為模態(tài) ）,21cc由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù) ，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 由頻率方程確定的固有頻率 有無窮多個(gè) i（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第12頁/共122頁13 第 i 階主振動(dòng)：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一對(duì)應(yīng))2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第13頁/共122頁14 幾種常見邊界

8、條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) （1）兩端固定邊界條件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒為零 )(tq0)0(0)(l故：0201cossin)(axcaxcx代入模態(tài)函數(shù) 02c得： 0sin0al（桿的縱向振動(dòng)頻率方程 ）無窮多個(gè)固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù) ：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第14頁/共122頁15 （2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零 邊界條件 ：0), 0(xtuES0),(x

9、tluES)()(),(tqxtxu 0)0(得：0)( llxicxiicos)(零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移0201cossin)(axcaxcx頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同), 2 , 1 , 0(i固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii模態(tài)函數(shù)：01c得出：0cos0allx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第15頁/共122頁16 （3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 得：0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：0)

10、, 0(tu模態(tài)函數(shù)：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii第16頁/共122頁17 左端自由，右端固定特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：0),(tlu模態(tài)函數(shù)：lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) ,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 ,

11、1),2sin()(ixlicxii第17頁/共122頁18 邊界條件0)(l0)0(0cos0al模態(tài)函數(shù)lx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) ,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al頻率方程固有頻率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii第18頁/共122頁19 例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) lx0k第19頁/共122頁20 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 解：邊界條件：lx0k0

12、), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0)0(),()(tlxESlk得出：02c000cossinalaESalk常數(shù)klESalaltg00/)/(頻率方程振型函數(shù)：xacxii0sin)(第20頁/共122頁21 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中質(zhì)量M固結(jié)。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。Mlx0邊界條件：0), 0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推導(dǎo)！第21頁/共122頁22 主振型的正交性只對(duì)具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是變截面或勻截面的 即質(zhì)量密度 及截面積 S 等都可以是 x 的函數(shù)

13、桿的動(dòng)力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振動(dòng)：)(22xuESxtuS 主振動(dòng) ：)sin()(),( taxtxuSES2)(代入，得 ：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第22頁/共122頁23 SES2)(桿的簡單邊界 ：固定端0)( xx = 0 或 l 0)( xES自由端x = 0 或 l 設(shè)： )(xii)(xjj代入： iiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘 并沿桿長對(duì) x 積分： lljiiijdxSdxES002)(利用分部積分： dxESESdxESjlliliiij 000)()(00桿的任一端上總有 或者 成立 ljliijdxESdxE

14、S00)(得： ljiiljidxSdxES020連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第23頁/共122頁24 )(xi乘 并沿桿長對(duì) x 積分： iiiSES2)( jjjSES2)( 同理)(xj乘 并沿桿長對(duì) x 積分： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相減： ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 時(shí)則必有：桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji 進(jìn)而： lijljidxESdxES000)()(ji 桿的主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)

15、 第24頁/共122頁25 0)(022ljijidxS關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 關(guān)于剛度的正交性 當(dāng) ji 時(shí) 恒成立令：pilimdxS 02第 i 階模態(tài)主質(zhì)量 piliilikdxESdxES 020)()(第 i 階模態(tài)主剛度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第 i 階固有頻率：主振型歸一化： 102 pilimdxS正則振型 2ipik 則第 i 階主剛度： ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合寫為： jijiij01連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第25頁/共122頁26 桿的縱向強(qiáng)迫

16、振動(dòng) 采用振型疊加法進(jìn)行求解 ),()(22txpxuESxtuS 強(qiáng)迫振動(dòng)方程：初始條件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定 ， i)2 , 1 i（i已經(jīng)得出 令：)()(),(1tqxtxuiii)(tqi正則坐標(biāo) 代入方程：),()(11txpqESqSiiiii 兩邊乘 j并沿桿長對(duì) x 積分 ： ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性條件：)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(第 j 個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第26頁/共122頁27 ),()(22txpxuESxtuS

17、)()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模態(tài)初始條件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘 )(xSj并沿桿長對(duì) x 積分，由正交性條件，知有： ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(得：)(tqj求得 后可得),(txu連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第27頁/共122頁28 ),()(22txpxuESxtuS

18、)()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力 可表達(dá)成分布力形式：)()(),( xtPtxp正則坐標(biāo)的廣義力： )()()()()()(0jljjtPdxxxtPtQ 前述外部激勵(lì)為分布力lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第28頁/共122頁29 例：等直桿自由端作用有： tPtPsin)(0 為常數(shù)0P求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng) lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 第29頁/共122頁30 解：一端固定，一端自由 邊界條件：固有頻率：), 5

19、 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模態(tài)廣義力：第 i 個(gè)正則方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ：tiPctqiiisin2sin1)(022 桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象 lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)

20、/ 桿的縱向振動(dòng) lxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 第30頁/共122頁31 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 4/ lx04/ l2/ l0P0P例：一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個(gè)集中力，如圖所示。試問：當(dāng)這些力突然移去時(shí)，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動(dòng)？第31頁/共122頁32 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 邊界條件：兩端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始條件：), 2 , 1(,0ilaii模態(tài)函數(shù) ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：桿的自由振動(dòng)方程：222022xuat

21、uEa 0固有頻率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400第32頁/共122頁33 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 4/ lx04/ l2/ l0P0P系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtlaiBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii第33頁/共122頁34 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtl

22、aiBlxitxu初始條件：0)()()0 ,(0ttuxfxu應(yīng)用位移初始條件：11sin)(iilxiBxf兩邊乘)(xSj并沿桿長積分，然后利用正交性條件：lidxlxixflB01sin)(2應(yīng)用速度初始條件：02iB第34頁/共122頁35 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 4/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iBllllldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0sin)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.

23、)10, 6 , 2( i第35頁/共122頁36 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系統(tǒng)響應(yīng)：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP第36頁/共122頁37 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 思考題：有一根以常速度 v 沿 x 軸運(yùn)動(dòng)的桿。如果桿的中點(diǎn)處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動(dòng)表達(dá)式。在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開，分開的左右兩部分的振動(dòng)形式相

24、同，因此只分析右半部分即可。提示：第37頁/共122頁38 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 右半部分為一端固定、另一端自由的桿。邊界條件：桿的自由振動(dòng)方程：222022xuatuEa 0初始條件：0)(, 0), 0(2/lxxutuvxuxutx)(, 0)0 ,(自己推導(dǎo)！第38頁/共122頁39 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 例： 有一根 x=0 端為自由、x=l 端處為固定得桿，固定端承受支撐運(yùn)動(dòng)tdtugsin)(d為振動(dòng)的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。lx0)(tug第39頁/共122頁40 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 解：lx0tdtugsin)(方程建立dxudxxuuug

25、)(22xuSdxdxxFFF微段分析應(yīng)變： xuudxudxxuuugg)()(內(nèi)力：xuuESESFg)(達(dá)朗貝爾原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移 2222)(xuuEStuSg第40頁/共122頁41 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) lx0tdtugsin)(令：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：guSESuuS *tSdsin2設(shè)解為： 1*)()(iiitqxu)(xi為歸一化的正則模態(tài),.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2

26、,.5 , 3 , 1 第41頁/共122頁42 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 )(xj用乘上式，并沿桿長積分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210 0sin)( 利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ )1(2 第42頁/共122頁43 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)(

27、)(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdillqqiiiisin) 1(2222/ )1(2 模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：tdillqiiiisin) 1(222/ )1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ )1(322*第43頁/共122頁44 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ )1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161

28、,.5 , 3 , 12/ )1(3322*第44頁/共122頁45 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng) 桿振動(dòng)分析小結(jié)1. 建立動(dòng)力學(xué)方程2. 根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)3. 變量分離4. 代入動(dòng)力學(xué)方程，并利用正交性條件 得到模態(tài)空間方程5. 物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間6. 模態(tài)空間方程求解7. 返回物理空間，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空間問題模態(tài)空間問題)()(),(1tqxtxuiii第45頁/共122頁46 第46頁/共122頁47 梁的彎曲振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)

29、方程考慮細(xì)長梁的橫向彎曲振動(dòng) ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心慣性軸在同一平面 xoy 內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振） 這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形伯努利歐拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 單位長度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)：I 截面對(duì)中性軸的慣性積 單位體積梁的質(zhì)量S 梁橫截面積E 彈性模量外部力：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第47頁/共122頁48 動(dòng)力學(xué)方程),(txf),(txmyx0f(x,t):單位長度梁上分布的外

30、力 m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩 微段受力分析令：y(x,t):距原點(diǎn)x處的截面在t時(shí)刻 的橫向位移 ),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力 :22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力 :),(dxtxm微段所受的外力矩 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第48頁/共122頁49 dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程 ：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 即 ：以右截面上任一點(diǎn)

31、為矩心，力矩平衡： 0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高階小量：),(txmxMFs材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：22),(),(xtxyEItxM),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第49頁/共122頁50 ),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第50頁/共122頁51

32、 固有頻率和模態(tài)函數(shù)),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：討論梁的自由振動(dòng) 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx自由振動(dòng)方程： 根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振動(dòng)方程：0)(2 SEI對(duì)于等截面梁：0)()(4)4(xx2024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：)41( iCi和 應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第51頁/共122頁52 0),(),(2244 tt

33、xySxtxyEI等截面梁的自由振動(dòng)方程： 梁的主振動(dòng)： )sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：代入，得：第 i 階主振動(dòng)： )(xii無窮多個(gè))sin()(),()(iiiiitxatxyiai和 由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin()(),(iiiiitxatxy連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第52頁/共122頁53 常見的約束狀況與邊界條件 0),(xtxy0)(x0)( xlx 0 或（1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零0),(txy（2）簡支端撓度和彎矩

34、為零0),(22xtxyEIM0),(txy0)( x0)(xlx 0 或（3）自由端彎矩和剪力為零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)( x0)( xlx 0 或)()(),(tqxtxy連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第53頁/共122頁54 例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)x0y解：一端固定，一端自由邊界條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：4231,CCCC 以及： 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCl

35、lCllCllC0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解條件：2024aSEIa20連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第54頁/共122頁55 0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll簡化后，得：01coshcos ll頻率方程當(dāng) i=1,2,3時(shí)解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i當(dāng) 時(shí)各階固有頻率：2024aSEIa20), 2 , 1(,)(42 iSlEIlii對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshc

36、os)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第55頁/共122頁56 鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第56頁/共122頁57 例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸 另一端圓柱滑動(dòng)鉸0)0( 0)0( 固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：031 CC以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClC

37、lC2024aSEIa20yx004 C0sin l頻率方程：), 2 , 1(, iili固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第57頁/共122頁58 0sin l頻率方程：固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(,sin)( ixlixi), 2 , 1(, iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置yx0無節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第58頁/共122頁59 例：兩端自

38、由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行yx0系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第59頁/共122頁60 yx0頻率方程：1coshcos ll模態(tài)函數(shù)：2024aSEIa20其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii當(dāng) i=1,2,3時(shí)解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i當(dāng) 時(shí)), 4 , 3(,)21( iili自由端：彎矩和截面剪力為零0)0( 0)0

39、( 0)( l0)( l0 i當(dāng) 時(shí)00 l對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第60頁/共122頁61 第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第61頁/共122頁62 例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) yx0l第62頁/共122頁63 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) yx0l解： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁的自由振動(dòng)方程： 邊界條件0), 0(ty0), 0(ty固定端：自由端：0)0( 0)0( 0),(

40、tly0), 0( ty0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模態(tài)函數(shù)：第63頁/共122頁64 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) yx0l0)0( 0)0( 0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0( 031CC13CC0)0( 042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)( l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC第64頁/共122頁65 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 0coshcossinhsinsinhsincoshcos

41、llllllll21CC、非零解條件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC頻率方程：0sincoshsinhcosllll求得：352.13,210.10,069. 7,927. 34321llll對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：), 2 , 1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii第65頁/共122頁66 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) yx0l第一階模態(tài)：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixx

42、xxxiiiiii第二階模態(tài)：0.560069. 7927. 321ll第66頁/共122頁67 例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：),(),(222tlykxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡條件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第67頁/共122頁68 xCxCxCxCxsinhcoshsi

43、ncos)(4321 0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0( 0)0( 固定端：彈性支撐端：)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端條件解得：4231,CCCC 由彈性支撐固定端條件解得：0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第68頁/共122頁69 或21CC、非零解條件導(dǎo)出頻率方程：0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)c

44、osh(cos1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第69頁/共122頁70 )0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（1）若k1、k2 同時(shí)為零，則

45、退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 2kx0y1kl討論：01coshcosllx0y第70頁/共122頁71 )0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（2）若k10、k2 無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 2kx0y1kl討論：0coshsinsinhcosllllx0yl第71頁/共122頁72 例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量yx0l0m求頻率方程解： 0)0( 0)0( 固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平

46、衡0)( lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比Slm 為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第72頁/共122頁73 分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此（梁的長度大于梁高度（梁的長度大于梁高度5倍倍以上）以上）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第73頁/共122頁74 模態(tài)函數(shù)的正交性0),(),(2244

47、ttxySxtxyEI梁若為等截面，則： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx變截面梁的自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：0)(2 SEI設(shè)： )(xii)(xjj jjjiiiSEISEI22)()(有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第74頁/共122頁75 0)(2 SEI jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對(duì) x 積分： 利用分部積分 ： lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零

48、 lljiijdxEIdxEI00)(得 ： lljiijidxSdxEI002 ljiilijdxSdxEI020)(3)代入（3）式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得： 同理， lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相減：得 ：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第75頁/共122頁76 jidxSlji, 00ji ji如果時(shí)，則有：主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對(duì) x 積分： ljiilijdxSdxEI020)(分部積分 ： lljilijlijijdxEIEIEIdxE

49、I0000)()()( lljiijdxEIdxEI00)(得 ： lljiijidxSdxEI002代入（3）式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得： 同理， lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相減：得 ：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得 ：jidxEIdxEIlljiij , 0)(00主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第76頁/共122頁77 如果 i = jljijidxS0220)(恒成立 lpjjmdxS02第 j 階主質(zhì)量 pjlljjjkdxEIdxEI 002)()(第 j 階主剛度 第 j 階固有頻率

50、pjpjjmk/ jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對(duì) x 積分： ljiilijdxSdxEI020)(分部積分 ： lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()( lljiijdxEIdxEI00)(得 ： lljiijidxSdxEI002代入（3）式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得： 同理， lljijjidxSdxEI002相減：得 ：(3)（4）（5）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第77頁/共122頁78 lpjjmdxS02第 j 階主質(zhì)量 pjlljjjkdxEIdxEI 002)()(

51、第 j 階主剛度 第 j 階固有頻率pjpjjmk/ ljidxS000)(00 lljiijdxEIdxEIji 時(shí)ji 時(shí)主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定 ：102 pjljmdxS正則振型 lijjidxS0200)(jijlljiijdxEIdxEI 正則振型的正交性： 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第78頁/共122頁79 梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 ：),(),()(222222txmxtxftySxyEIx1)()(),(iiitqxtxy令 ： 11),(),()(iiiiiitxmxtxfqSqEI 代入 ：j兩邊乘 并沿梁長對(duì) x 積分： ljililj

52、iiijidxtxmxtxfdxSqdxEIq01010),(),()( 由正交性條件，得：)(2tQqqjjjj 第 j 個(gè)正則坐標(biāo)方程 ljjdxxtxmxtxftQ0)(),(),()(第 j 個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力 由分部積分 ：dxtxmtxftQljjj0),(),()(連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第79頁/共122頁80 梁初始條件的處理)()0 ,(1xfxy)(20 xftyt假定梁的初始條件為： 1)()(),(iiitqxtxy代入： )0()()()0 ,(11 iiiqxxfxy兩式乘 )(xSj并沿梁長積分，由正交性條件可得： ljjdxxxSfq01)()()0

53、( tjjjjjjjjjdtQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()( 120)0()()(iiitqxxftyljjdxxxSfq02)()()0()(2tQqqijjj 第 j 個(gè)正則坐標(biāo)方程： 第 j 個(gè)正則模態(tài)響應(yīng)： )(tqj得到 后，即可得到梁的響應(yīng)),(txy連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第80頁/共122頁81 如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用 )(t函數(shù)，可以表示為: )()(),()()(),(2010 xtMtxmxtFtxfdxxxtMxxtFtQljjj0200)()()()()()()()()()()(2010jjt

54、MtFdxtxmtxftQljjj),(),()(0有：tfdtttf0)()()()(0tF12x0)(0tM連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第81頁/共122頁82 中點(diǎn)受常力P作用產(chǎn)生靜變形例：簡支梁求：當(dāng)P突然移出時(shí)梁的響應(yīng)yx2/ l2/ l0P解：由材力得初始條件: lxllxlxxlylxlxlxyxfxystst2 ,)(4)( 320 ,)(4)( 3)()0 ,(331EIPlyst483 梁中點(diǎn)的靜撓度0)(20 xftyt連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第82頁/共122頁83 梁兩端簡支 固有頻率：422SlEIiilxiCiisin振型函數(shù)：, 3 , 2 ,

55、1i代入歸一化條件： liiCSldxlxiCS02212)sin(AlCi2EIiSPldxlxiClxllxlSydxlxiClxlxSyqllistlisti444232033 sin)( 4)( 3sin)( 4)( 3) 0( 0)0(iq 模態(tài)初始條件：, 5 , 3 , 1iyx2/ l2/ l0PljjdxxxSfq01)()()0(ljjdxxxSfq02)()()0(連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第83頁/共122頁84 模態(tài)初始條件：EIiSpldxlxiClxllxlSydxlxiClxlxSyqllistlisti444232033 sin)(4)( 3sin)(

56、4)( 3)0( 0)0(iq , 5 , 3 , 1i沒有激振力，正則廣義力為零dxtxmtxftQljjj),(),()(0正則廣義力tqtqiiicos)0()(模態(tài)響應(yīng)： 15 , 3 , 142143cossin) 1(2)()(),(iiiiiitlxiiEIPltqxtxy因此有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第84頁/共122頁85 例：簡支梁求：梁的響應(yīng)中點(diǎn)受力矩 作用tMsin0yx2/ l2/ l0tMsin0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第85頁/共122頁86 解：由上例知： 固有頻率：422SlEIiilxiCiisin振型函數(shù)：AlCi2tiliCMtQi

57、isin2cos)(0正則廣義力：dxtxmtxftQljjj),(),()(0第 i 個(gè)正則方程： tiiCMtqtqiiiisin2cos2)()(02 txiliMCtqiiisin2cos1)(022 1)()(),(iiitqxtxy因此有：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) , 4, 222220sin) 1(sin2iiilxiitSlMyx2/ l2/ l0tMsin0第86頁/共122頁87 例：懸臂梁自由端作用有正弦力求穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，以及梁自由端的響應(yīng)。tPsinyx0ltPsin連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第87頁/共122頁88 解：強(qiáng)迫振動(dòng)方程 ：tlxPtySx

58、yEIsin)(2244模態(tài)函數(shù) ：2024aSEIa20), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii設(shè)解為 ：1)()(),(iiitqxtxy代入方程 ：tlxPqSEIqiiiiisin)()(1 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第88頁/共122頁89 利用正則模態(tài)的正交性條件 ：tlxPqSEIqiiiiisin)()(1 j兩邊乘 并沿梁長對(duì) x 積分： ljiljiiljiidxlxtPdxSqdxEIq0100 )(sin)( tlPqqiiiisin)(2 模態(tài)穩(wěn)態(tài)解

59、 ：,.2 , 1,sin)/(1 )(22itlPqiiii梁的響應(yīng)：1)()(),(iiitqxtxy,.2 , 1,)/(1 )()(sin122ixltPiiiii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第89頁/共122頁90 梁的響應(yīng)：,.2 , 1,)/(1 )()(sin),(122ixltPtxyiiiii梁自由端的響應(yīng)令 x=l：,.2 , 1,)/(1 )(sin),(1222iltPtlyiiii), 2 , 1(),sinh(sinsinhsincoshcoscoshcos)(illllllllxiiiiiiiilxi), 4 , 3(,212 iili875. 11 l6

60、94. 42 l855. 73 ltEIPltlysin.)855. 7()694. 4()875. 1 (4),(4342413,.2 , 1,)/(112iii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第90頁/共122頁91 例：簡支梁，左端承受正弦支撐運(yùn)動(dòng)tytgsin)(0試求梁的響應(yīng)。yx0l1)(tg連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 梁的彎曲振動(dòng) 第91頁/共122頁92 yx0l1)(tg解： 梁的振動(dòng)方程： tytgsin)(00)(2244tySxyyEIgdx22tySdxdxxMMdxxFFssMsF解釋： 微段分析力平衡方程 ：0)(22sssFdxxFFtySdx22tySxFs連續(xù)系統(tǒng)