連續(xù)系統(tǒng)的響應PPT課件

1、l 微分方程的經典解微分方程的經典解l 關于關于0-0-和和0+0+初始值初始值l 零輸入響應和零狀態(tài)響應零輸入響應和零狀態(tài)響應 LTI LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結為：連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結為： 建立并求解線性微分方程建立并求解線性微分方程 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間時間t，故，故稱為稱為時域分析法時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。是學習各種變換域分析法的基礎。 第1頁/共22頁一、微分方程的經典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(

2、t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)微分方程的經典解：微分方程的經典解：完全解完全解 = = 齊次解齊次解 + 特解。特解。 第2頁/共22頁1. 齊次解由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式nitihiCty1e)(注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。第3頁/共22頁 的齊次解。的齊次解。求微分方程求微分方程tftytyttyttyt12dd16dd7dd2233解：解：系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為01216723 03223 , 221重根 tthCCtC

3、ty33221ee特征根特征根對應的齊次解為對應的齊次解為第4頁/共22頁2. 特解的特征根）重為有0)(0111rPtPtPtPtmmmmr等于特征單根）（()e01tPtP 根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系數(shù)的特根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系數(shù)的特解函數(shù)式解函數(shù)式代入原方程代入原方程，比較系數(shù)定出特解。，比較系數(shù)定出特解。激勵激勵f(t)響應響應y(t)的特解的特解yp(t)(常數(shù)F)(常數(shù)Pmt）特征根均不為 0(0111PtPtPtPmmmmt e不等于特征根）(etPtcostsin)j(sincos21特征根不等于tPtP重特征根）等于（rPtPtPtrrrr()e0

4、11第5頁/共22頁如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此方程的特解。方程的特解。 tfttftyttyttydd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttfttf 例：例：給定微分方程式給定微分方程式 0122pPtPtPty解解: (1)由于由于f(t)=t2，故特解函數(shù)式為故特解函數(shù)式為 將此式代入方程得到將此式代入方程得到 ttPPPtPPtP2322 34320121222這里，這里，P2， P1， P0，第6頁/共22頁等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有032223413012122PPPPPP聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,

5、92 ,31012PPP所以，特解為所以，特解為 271092312pttty第7頁/共22頁(2)(2)當當f(t)= et 時時 特解為特解為yp(t)=P et ，這里，這里，P是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有：tttttPPPeee3e2e31P。于是，特解為于是，特解為te31 第8頁/共22頁3. 全解完全解完全解 = = 齊次解齊次解 + + 特解特解由由初始值初始值定出齊次解中的待定常數(shù)定出齊次解中的待定常數(shù)Ci。 齊次解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應固有響應或自由響應自由響應； 特解特解的函數(shù)形式

6、由激勵確定，稱為強迫響應強迫響應。第9頁/共22頁例例 描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）當f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1時的全解； （2）當f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。 解解: (1) 特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。齊次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t當f(t) = 2e t時，其特解可設為 yp(t) = Pe t將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P

7、=1于是特解為 yp(t) = e t第10頁/共22頁全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中 待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齊次解同上。當激勵f(t)=e2t時，其指數(shù)與特征根之一相重。故其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以 P1= 1 但P0不能求得。特解為 yp(

8、t) = (t + P0)e2t 第11頁/共22頁全解全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項的系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。 第12頁/共22頁二關于0-和0+初始值 若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)

9、Ci時用t = 0+時刻的初始值初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n- -1)。 而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。 在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系系統(tǒng)的歷史情況統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為初始狀態(tài)初始狀態(tài)或起起始值始值。 通常，需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。第13頁/共22頁例1 1：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。 解：將輸入f(

10、t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用系數(shù)匹配法分析：上式對于t=0-也成立，在0-t 0 第20頁/共22頁（2）零狀態(tài)響應yzs(t) 滿足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0由于上式等號右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，從而yzs(t)躍變，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyzs因此，yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2 對t0時，有