《連續(xù)體力學》習題及解答(1)

1、.因此 (a)*;圖4-1(2) 為坐標原點(球心)，取單位球面，采用球坐標(圖4-1)，則的分量分別為 (b)在各個方向上的平均值可表示為將式(a)、(b)代入上式，為單位球面面積，經(jīng)運算后，可得 注意到則易于證明 4-9 設上取駐值，證明 并用Cauchy應力的駐值。又在的主方向坐標系內，證明下式成立。 解 (1) 求記為Lagrange乘子。求的極值等價于即應滿足 (a)式(a)表明，的主值。由式(a)可求出的駐值為 (b)上式表明，有三個駐值，分別等的三個主應力。這反過來又說明了Cauchy應力的主應力是法向應力的駐值。 由式(a)和(b)又可看出 (2) 在，于是記，則有 (c)再結

2、合，則可由式(c)解出證畢。根據(jù)以上三式，可在平面上作出三個圓，即應力圓。 4-10 設方向的應力矢，證明方向的分量等于方向的分量。 解 已知點處的Cauchy應力張量。于是由于。證畢。 4-11 設變形體內任一點處的Cauchy應力張量的分量矩陣為試求切于圓柱面且過點的截面上的應力矢、的主應力和主方向。 解 將為在點，圓柱面的梯度為因此過點切于圓柱面的截面方向。于是過該點切于圓柱面的截面上的應力矢為 主應力由解下列特征方程求得式中，代入上式可解出分別將主應力代入下式并與聯(lián)立求解，可分別求出對應于主應力的主方向，如下易證相互正交。 4-12 設點處Cauchy應力張量為不變的單位矢。如果是自我

3、平衡的，證明 (1) (2) 方向的剪應力的平方為 (3) 解 (1) 自我平衡，故有即。 (2) 于是所以 (3) 因為，則由上面的結果可得式中，所以 4-13 如果物體，且處于平衡狀態(tài)；證明 (1) Cauchy應力張量的平均為可表示為式中。 (2) 若在。 (3) 若在均為不變的，則 解 平衡方程為上式遍乘上式可寫成其中內積分上式，并應用Green公式，得到式中是應力矢在的方向的分量。將上式的指標對換，并注意到，于是可得或者寫成 (a)證畢。 (2) 在時，式(a)簡化為()所以 (b) (3) 在式(a)簡化為(，為常數(shù)及)即證畢。 4-14 偶應力理論認為，在任一物質面元上，不僅作用

4、有應力矢，而且有偶應力矢是二階偶應力張量。設單位質量的體力和體力偶分別為；物體處于平衡狀態(tài)。證明，線動量守恒方程的局部形式為 (a)角動量守恒方程的局部形式為 (b) 解 在線動量守恒方程中，不涉及偶應力等，因此與沒有偶應力存在的情況相同，所以在相關的Euler型運動方程中令便得到式(a)。 角動量守恒可表示為(對坐標原點取角動量) (c)其中因為；將上列結果代回式(a)，得到其局部形式即式(b)。 4-15 設桿件在參考構形內長為作用下伸長變形，變形后長為。物質和空間坐標系重合，試求名義應力及Kirchhoff應力沿桿長的分量。 解 在現(xiàn)時構形中，Cauchy應力分量為，其余為零；此處是采用

5、笛卡爾坐標系，是變形后桿中軸向單位面積上的內力，是實際存在的應力，有時稱為真應力。 已知。于是上列應力常稱為名義應力。 又按，有已經(jīng)沒有原來應力(內力集度)的意義，故有時稱為偽應力。根據(jù)以上分析結果，人們有時將分別稱為真應力張量、名義應力張量及偽應力張量。 4-16 試根據(jù)直接導出 (a) 解 首先由 (b) 其次其中用到了式(b)及。將上列結果代入注意到，就得到式(a)。 4-17 試從現(xiàn)時構形上的運動方程，導出 解 已知遍乘現(xiàn)時構形上的運動方程，得到 (a)式中，類似地=；以及于是式(a)可寫成 (b)又已知，所以式(b)可寫成證畢。提示：在以上的運算中，作為一個矢量先同進行運算，不是對后

6、面的量加括號時，表示將算子作用于括號中的場量，即對該場量求導。 例如： 4-18 某物體在參考構形內的體積為。當物體處于平衡狀態(tài)時，證明 (1) (2) (3) 式中是參考構形內的面元。 解 (1) ，于是 (2) ，于是由于物體處于平衡狀態(tài)，所以提示，還可如下推導。 (a) (3) 已得，則 (b)于是采用與上面類似的推導過程，可得提示，式(b)也可如下導出或者4-19 試推導用三種應力表述的變率型運動方程，設參考和瞬時構形的坐標系重合。 解 首先推導三種應力變率之間的關系。記的物質時間導數(shù)。于是由可得 (1)由上式可解出 (2)又由，可得 (3)由上式可解出 (4)此處用到了。 再由，可得

7、 (5)由上式可解得 (6) 下面討論一個特殊情況，即現(xiàn)時構形與參考構形重合，于是，字母指標可一律采用小寫(或大寫)字母，以及?；蛘邠Q一種更一般的說法，設采用流動參考構形，則都是相對于流動參考構形定義的。討論瞬時構形與流動參考構形重合的特殊情況，即，。在式(1)到(6)中將等，就得到相應的(簡化)公式 (7) 下面推導率型運動方程。在時刻，Lagrange型運動方程分別是注意，此處的是與時間無關的。將以上兩式相減，且除以，將得到 (8)式(8)是對時刻的構形建立的，其中已省去了場量。這是對于應力建立的率型運動方程。 將式(1)代入式(8)，將得到對應力建立的率型運動方程 (9)式(8)和(9)

8、的分量式分別為 (10)式中用到了。 Cauchy應力的率型運動方程是在時刻的構形內建立的，實質上它可看成是以時刻的構形為流動參考構形，并令瞬時構形與流動參考構形重合所得到的結果。為此，在式(8)和(9)中，以等，以，再將式(7)代入式(8)或等價地式(9)，就得到對應力建立的率型運動方程 (11)上式是數(shù)值分析中的重要公式。 式(11)也可值接導出如下，Euler型運動方程為此處，分別建立時刻的運動方程，再令兩式相減，得到以，得到 (a)式中是空間時間導數(shù)，它與物質時間導數(shù)有如下的關系于是式(a)可寫作 (b)式中根據(jù)Euler型運動方程，上式右側一、三項之和為零。而將以上有關結果代入式(b

9、)，得到 (c)可以證明這可用分量式證明如下上式的直接記法為于是式(c)最后變?yōu)榇思词?11)。 式(11)還可如下推導，注意到則Euler型運動方程可寫成對上式求物質時間導數(shù)，得到 (d)式中可以證明實際上，的分量表示為其直接表示式為于是將以上有關式代入式(d)，并注意到，我們又得到式(c)，從而可得到式(11)。 提示，此處及以下都不考慮應力變率的客觀性問題。 4-20 試推導應力率邊界條件 解 設以為參考構形內物體邊界的單位法線矢，則用表示的應力邊界條件為或者式中是沿坐標軸方向的給定的應力分量。于是有 (a) 如果要用Cauchy應力表示應力率型邊界條件，情況將稍復雜些。應力矢為瞬時構形

10、內物體邊界的法線矢，它也是隨時間而變化的。于是有式中(可由式3-6-6及3-7-6以及導出)最后得到 (b) 4-21 試推導Cauchy應力增量和Kirchhoff應力增量的表達式。 解 Cauchy應力是在瞬時構形內定義的(真實的)應力，與參考構形無關，同時，我們是采用固定的標準正交基，它不隨時間而變化；因此有 (a) Kirchhoff應力與參考構形有關，因此它的增量，亦如Green應變的增量，有兩種描述方法。下面將時刻步。為書寫簡單計，以下將記作，等等。 TLD法。此法始終相對于(固定的)參考構形進行計算。取時的構形為固定參考構形，質點的位矢為時刻質點的位矢為。于是有 (b)式中Cau

11、chy應力分別為由以上兩式相減得到 (c)式中當為小量時，式中。于是 (d)上式是的線性化表達式。將式(d)代入式(c)，并注意到此處的線性化表達式又注意到上式最后可寫成 (e)此式與習題4-19中的表達式(式6)是一致的。 ULD法。以時刻的構形為流動參考構形，因此，在上面的結果中，將改為、。于是由上面的式(c)可得或者 (7)當都屬小量時，有亦為小量，這時于是在略去二階小量后，由式(f)可得到的線性化公式 (g)上式與習題4-19中的式(7)一致；但應注意在式(7)中，有，及。 下面進一步分析TLD法中和ULD法中之間的關系。此時式(f)可寫作()按TLD法，有下列關系將上列后一式中的代入

12、前一式，并注意到經(jīng)運算后得到 (h)或 (i) 4-22 試推導用名義應力和Kirchhoff應力表示的虛功原理(虛位移原理)和虛功率原理(虛速度原理)。解 設處于平衡(或滿足運動方程)的物體具有應力，作用于物體的外力和慣性力為。物體在參考和現(xiàn)時構形的體積分別為是任意的小量，且在給定位移的邊界。于是外力在上所作的虛功為式中，所以上式中的面積分只在上進行。其中于是外虛功為應用運動方程及，最后得到(注意=) (a)式(a)是用名義應力表述的虛功原理，它是在物體滿足運動方程的條件下建立的。反過來，如果式(a)成立，則將上式代入式(a)，得到(注意在)位移的變分是任意的，由上式可得到這表明，如果物體的

13、應力和外力滿足虛功原理(式a)，則它滿足運動方程和應力邊界條件。 類似地在現(xiàn)時構形上可建立用Cauchy應力表述的虛功原理 (b) 在式(a)中，令，于是注意到是對稱張量，因此有于是由式(a)可以得到用Kirchhoff應力表述的虛功原理如下 (c)式中 如果在虛功原理中，用虛速度是任意選取的虛速度場(或稱為速度的變分)，但在，則可導出虛功率(或虛速度)原理，其推導過程與虛功原理類似。但速度是現(xiàn)時構形內的場量，所以(在上)對應于?？紤]到于是可以分別得到用Cauchy應力和Kirchhoff應力表述的虛功率原理如下： (d) (e) (f) 考慮到于是式中，稱為帶權的Cauchy應力，有人也稱為

14、Kirchhoff應力。于是式(d)又可寫成 (g) 4-23 試推導虛功率變率原理 解 在虛功率原理(上題的式d、e、f)中，是任意給定與時間無關的虛速度場，同時虛功率原理在任何時刻都成立，因此它們對時間的物質導數(shù)亦成立，即有 (a) (b) (c) 在進一步求積分的物質時間導數(shù)時，要用到以下各式及 于是有式中 將上列各式代回式(a)，得到 (d) 在式(b)中，有。于是由式(b)可直接得到 (e) 在式(c)中，有所以于是式(c)可寫成 (f)式(d)、(e)、(f)分別是用表述的虛功率變率原理。 4-24 試推導功率平衡方程 解 在一般教材中已經(jīng)介紹了機械能守恒方程。此處將從虛功率原理導

15、出這個方程，又稱為功率平衡方程。 設在現(xiàn)時構形內，物體的體積為而在參考構形內，它們分別記為，于是物體的總動能表示為應變能率可表示為記外功率為 令質點的速度為虛速度，于是習題4-22中三種表述方法的虛功率原理可統(tǒng)一寫成 (a)上式就是機械能守恒方程或稱為功率平衡方程。如果體積力有勢，即存在一個勢函，使得則記又如果(a)簡化為 (b)式(b)稱為總機械能守恒方程。 4-25 證明 解 在習題4-19中，已經(jīng)導出(該題式1)于是由于的對稱部分為所以有或者證畢。 4-26 設線彈性體處于平衡狀態(tài)，且設體積力為零，在給定位移的邊界上，上，只承受集中力作用。證明下式成立式中是物體的總余應變能率的變分。 解

16、 設給予物體一虛應力場，則外虛余功率為在推導此式時，已用到(因為體力為零)。由于表面力為集中力，因此或者上式是結構力學中常用的Castigliano定理。 4-27 Lagrange型應變張量為為整數(shù)。證明 解 按定義對上式求物質時間導數(shù)，得或者而，代回上式，最后得到 4-28 證明 (a) 解 根據(jù)共軛對的定義，有式中于是上式對任何的都成立，由此得到將上式兩側分別前乘和后乘，然后相減，就得到式(a)。 顯然，由上題的結果為負整數(shù)時的相應公式。但這些公式不適用于的情況(見下題)。 4-29 推導的關系式 解 由，不難得到由上式不難求得顯然在上題所得公式中，令，則可得到上式，因此上題的式(a)適

17、用于為任何整數(shù)。 4-30 推導下列公式 (a)式中。 解 可以按兩個途徑導出式(a) (1) (b)于是將上式代入式(b)，由于是任意的，可得但上式可寫成證畢。 (2) 已知 (c)式中，代入式(c)，并注意到這是因為為反稱的。于是式(c)可簡化成注意到的反稱系數(shù)不能確定，于是由上式只能確定對稱的系數(shù)，即這表明的對稱部分，常稱為Biot應力張量，有些作者則稱為Jaumann應力張量。 4-31 證明對于所有的正整數(shù)，有下式并導出用在Lagrange主軸的剪切分量。 解 已知(參見習題4-28) (a)當，代回式(a)，得到 (b)式中，于是式(b)又可寫成證畢。 在Lagrange主軸的分量

18、式為設于是有在上式中令上的分量式。將這些分量式代入式(a)，可得由上式可得。 4-32 設，此處是Lagrange主軸，是固定的標準正交基，使得證明 (1)式中， (2) 解 (1) 由。于是式中于是有 (a)證畢。 (2) 由及可得上式右側第一項是兩個對稱部分的雙點乘，第二項是兩個反稱部分的雙點乘。事實上，將該項展開，得到其中及。于是最后得到 (b) 現(xiàn)在分析式(a)，它的右側第一項是兩個反稱部分的雙點乘，第二項是兩個對稱部分的雙點乘。由于式(a)和(b)中的對稱和反稱部分彼此獨立，所以在式(a)和(b)中對稱部分和反稱部分應分別相等，由此得到證畢。 4-33 證明 (1) (2) 功共軛 解 已知，所以又知，于是其中于是最后得到又有，將上面有關的表達式代入，可得兩側是任意的，故從上式可得證畢。 (2) 由，易得于是上式右側是應變能率，所以功共軛。證畢。 4-34 證明，一般地不存在與功共軛的應變。給出上列兩(誘導)應力張量的載荷-面積解釋。 解 上題已證將上式寫成式中不能表示成應變張量的物質時間導數(shù)，所以一般地沒有功共軛的應變。類似地，可證上式可寫成其中一般地不能表示成應變張量的物質時間導數(shù)，所以一般地沒