高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)專題

1、-作者xxxx-日期xxxx高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)專題【精品文檔】運(yùn)動(dòng)學(xué)第一講基本知識(shí)介紹一 基本概念1  質(zhì)點(diǎn)2  參照物3  參照系固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)）4絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：v絕=v相+v牽 二運(yùn)動(dòng)的描述1位置：r=r(t) 2位移：r=r(t+t)r(t)3速度：v=limt0r/t.在大學(xué)教材中表述為：v=dr/dt, 表示r對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)  加速度a=an+a。an:法向加速度，速度方向的改變率，且an=v2/,叫做曲率半徑，（這是中學(xué)物理競(jìng)賽求曲率半徑的唯一方法）a: 切向加速度，速度大小的改變

2、率。a=dv/dt 5以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)?？墒侨A導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。（a對(duì)t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度”。）6由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好三等加速運(yùn)動(dòng)v(t)=v0+at           r(t)=r0+v0t+1/2 at2  一道經(jīng)典的物理問(wèn)題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度v0沿各種角度發(fā)射，問(wèn)：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)，不會(huì)

3、有危險(xiǎn)？（注：結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞€，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處，以v0平拋物體的軌跡。） 練習(xí)題：一盞燈掛在離地板高l2,天花板下面l1處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑（認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。）四剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1 我們講過(guò)的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng)   2  角位移=（t）, 角速度=d/dt , 角加速度=d/dt 3  有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量4&

4、#160; 同一剛體上兩點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度 兩點(diǎn)的相對(duì)距離不變，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，VA=VB+VAB,在AB連線上投影：VAAB=VBAB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aAB, ,aAB垂直于AB,anAB=VAB2/AB 例：A，B，C三質(zhì)點(diǎn)速度分別VA ，VB  ，VC      求G的速度。五課后習(xí)題：一只木筏離開河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經(jīng)過(guò)時(shí)間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號(hào)處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時(shí)刻木筏在航線上的確切位置。五、處理問(wèn)題的一般方法（1）用微元法求解

5、相關(guān)速度問(wèn)題例1：如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過(guò)B、D，BC段水平，當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子的夾角為時(shí)，A的運(yùn)動(dòng)速度。（vA）（2）拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般處理方法1. 平拋運(yùn)動(dòng)2. 斜拋運(yùn)動(dòng)3. 常見(jiàn)的處理方法（1）將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題（3）將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，用矢量合成法則求解例2：在擲鉛球時(shí)，鉛球出

6、手時(shí)距地面的高度為h，若出手時(shí)的速度為V0，求以何角度擲球時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？（=、 x=）第二講 運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)（一）知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥(1) 力的獨(dú)立性原理：各分力作用互不影響，單獨(dú)起作用。(2) 運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理：分運(yùn)動(dòng)之間互不影響，彼此之間滿足自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(3) 力的合成分解：遵循平行四邊形定則，方法有正交分解，解直角三角形等(4) 運(yùn)動(dòng)的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用A參考系的轉(zhuǎn)換：動(dòng)參考系，靜參考系相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜參考系統(tǒng)（通常指固定于地面的參考系）的運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考系相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)（5）位移合成定理：SA

7、對(duì)地=SA對(duì)B+SB對(duì)地速度合成定理：V絕對(duì)=V相對(duì)+V牽連加速度合成定理：a絕對(duì)=a相對(duì)+a牽連（二）典型例題（1）火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風(fēng)吹向南方，在地球上靜止的觀察者測(cè)得雨滴的徑跡與豎直方向成21。角，而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對(duì)于地的運(yùn)動(dòng)。提示：矢量關(guān)系入圖答案：/s（2）某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動(dòng)扶梯，為什么他可以根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算自動(dòng)扶梯的臺(tái)階數(shù)？提示：V人對(duì)梯=n1/t1 V梯對(duì)地=n/t2 V人對(duì)地=n/t3V人對(duì)地= V人對(duì)梯+ V梯對(duì)地答案：n=t2t3n1/（t2-t3）t1(3)某人駕

8、船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行，則經(jīng)10min后到達(dá)正對(duì)岸下游120m的C處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成角的方向航行，則經(jīng)過(guò)12.5min恰好到達(dá)正對(duì)岸的B處，求河的寬度。提示：120=V水*600 D=V船*600 答案：200m（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時(shí)，不至于被沖進(jìn)瀑布中，船對(duì)水的最小速度為多少？提示：如圖船航行答案：/s（三）同步練習(xí)1=30°，另一次安裝成傾角為2=15°。問(wèn)汽車兩次速度之比為多少時(shí)，司機(jī)都是看見(jiàn)冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上

9、彈開？（冰雹相對(duì)地面是豎直下落的）2、模型飛機(jī)以相對(duì)空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長(zhǎng)2km的等邊三角形飛行，設(shè)風(fēng)速u = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同，試求：飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間？v1v23.圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長(zhǎng)幅氣霧拖尾的照片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度v1=50km/h和v2=70km/h行駛，行駛方向如箭頭所示，求風(fēng)速。4、細(xì)桿AB長(zhǎng)L ，兩端分別約束在x 、 y軸上運(yùn)動(dòng)，（1）試求桿上與A點(diǎn)相距aL（0 a 1)的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）如果vA為已知，試求P點(diǎn)的x 、 y向分速度vPx和vPy對(duì)桿方位角的函數(shù)。（四）同步練習(xí)提示與

10、答案1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案為：3。2、提示：三角形各邊的方向?yàn)轱w機(jī)合速度的方向（而非機(jī)頭的指向）；第二段和第三段大小相同。參見(jiàn)右圖，顯然：v2 = + u2 2v合ucos120°可解出 v合 = 24km/h 。答案：0.2hour（或12min.）。3、提示：方法與練習(xí)一類似。答案為：34、提示：（1）寫成參數(shù)方程后消參數(shù)。（2）解法有講究：以A端為參照， 則桿上各點(diǎn)只繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。但鑒于桿子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖，應(yīng)有v牽 = vAcos，v轉(zhuǎn) = vA，可知B端相對(duì)A的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為：v轉(zhuǎn) + vAsin= 。P點(diǎn)的線速度必為 = v相 所以 vPx =

11、 v相cos+ vAx ，vPy = vAy v相sin答案：（1） + = 1 ，為橢圓；（2）vPx = avActg ，vPy =（1 a）vA第四部分 曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力第一講 基本知識(shí)介紹一、曲線運(yùn)動(dòng)1、概念、性質(zhì)2、參量特征二、曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法運(yùn)動(dòng)的分解與合成1、法則與對(duì)象2、兩種分解的思路a、固定坐標(biāo)分解（適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）建立坐標(biāo)的一般模式沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標(biāo)；提高思想根據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。b、自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向分解。動(dòng)力學(xué)方程，其中改變速度的大?。?/p>

12、速率），改變速度的方向。且= m，其中表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)1、拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。在坐標(biāo)的選擇方面，有靈活處理的余地。2、圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問(wèn)題的理解。變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。四、萬(wàn)有引力定律1、定律內(nèi)容2、條件a、基本條件b、拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展-對(duì)球體外一點(diǎn)A的吸引等效于位于球心的質(zhì)量為球的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布

13、）內(nèi)部空間的拓展“剝皮法則”-對(duì)球內(nèi)任一距球心為r的一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力等效于質(zhì)量與半徑為 r的球的質(zhì)量相等且位于球心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球殼（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展-對(duì)球殼外一點(diǎn)A的吸引等效于位于球心的質(zhì)量為球殼的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展-對(duì)球殼內(nèi)任一位置上任一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力都為零；并且根據(jù)以為所述，由牛頓第三定律，也可求得一質(zhì)點(diǎn)對(duì)球或?qū)η驓さ奈?。c、不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力計(jì)算分割與矢量疊加3、萬(wàn)有引力做功也具有只與初末位置有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān)的特征。因而相互作用的物體間有引力勢(shì)能。在任一慣性系中，若規(guī)定相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)的萬(wàn)有引力勢(shì)能為零，可以

14、證明，當(dāng)兩物體相距為r時(shí)系統(tǒng)的萬(wàn)有引力勢(shì)能為EP = G五、開普勒三定律天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)1、第一宇宙速度的常規(guī)求法2、從能量角度求第二、第三宇宙速度萬(wàn)有引力勢(shì)能EP = G3、解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講 重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。岸邊有一艘小船，保持相對(duì)河水恒定的速率v1渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時(shí)間和最小位移。模型分析：小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（相對(duì)河岸的運(yùn)動(dòng)）由船相對(duì)水流速度v1和水相對(duì)河岸的速度v2合成。可以設(shè)船頭與河岸上游夾角為（即v1的方向），

15、速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動(dòng)）用余弦定理可求v合的大小v合=（學(xué)生活動(dòng)）用正弦定理可求v合的方向。令v合與河岸下游夾角為，則= arcsin1、求渡河的時(shí)間與最短時(shí)間由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，故渡河時(shí)間既可以根據(jù)合運(yùn)動(dòng)求，也可以根據(jù)分運(yùn)動(dòng)去求。針對(duì)這一思想，有以下兩種解法解法一： t = 其中v合可用正弦定理表達(dá)，故有 t = = 解法二： t = = = 此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后先將v1分解（v2無(wú)需分解），再合成，如圖2所示。而且不難看出，合運(yùn)動(dòng)在x、y方向的分量vx和vy與v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下關(guān)系

16、vy = v1yvx = v2 - v1x由于合運(yùn)動(dòng)沿y方向的分量Sy d ，故有解法三： t = = = t ()函數(shù)既已得出，我們不難得出結(jié)論當(dāng)= 90°時(shí)，渡河時(shí)間的最小值 tmin = （從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無(wú)關(guān)，故tmin也與v2無(wú)關(guān)。這個(gè)結(jié)論是意味深長(zhǎng)的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即S合 = = = 但S合（）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求S合的極小值并非易事。因此，我們可以從其它方面作一些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ，因?yàn)镾y d ，要S合極小，只要Sx極小就行了。而Sx（）函數(shù)可以這樣求解法一： Sx

17、= vxt =（v2 - v1x） =（v2 v1cos）為求極值，令cos= p ，則sin= ，再將上式兩邊平方、整理，得到這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足0 ，即整理得 所以，Sxmin= ，代入Sx（）函數(shù)可知，此時(shí)cos= 最后，Smin= = d此過(guò)程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)v2v1時(shí)，Smind ，這顯然與事實(shí)不符。（造成這個(gè)局面的原因是：在以上的運(yùn)算過(guò)程中，方程兩邊的平方和開方過(guò)程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象）所以，此法給人一種玄乎的感覺(jué)。解法二：純物理解矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下

18、游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90°）。我們可以通過(guò)v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。先進(jìn)行平行四邊形到三角形的變換，如圖3所示。當(dāng)變化時(shí)，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。從圖4不難看出，只有當(dāng)v合和虛線半圓周相切時(shí)，v合與v2（下游）的夾角才會(huì)最大。此時(shí)，v合v1 ，v1、v2和v合構(gòu)成一個(gè)直角三角形，max = arcsin并且，此時(shí)：= arccos有了max的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min = d最后解決v2v1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問(wèn)題。從圖4可以看出，當(dāng)v2v1時(shí)，v合不可能和虛線半圓周相切（或max

19、= arcsin無(wú)解），結(jié)合實(shí)際情況，max取90°即：v2v1時(shí)，S合min = d ，此時(shí)，= arccos結(jié)論：若v1v2 ，= arccos時(shí)，S合min = d 若v2v1 ，= arccos時(shí)，S合min = d二、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長(zhǎng)，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關(guān)系。模型分析：由于繩不可伸長(zhǎng)，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小v1 ，考查繩與船相連的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，v1和v2必有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的問(wèn)題。（學(xué)生活動(dòng)）如果v1恒定不變，v2會(huì)恒定嗎？若恒定，說(shuō)明

20、理由；若變化，定性判斷變化趨勢(shì)。結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零，v2v1 。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長(zhǎng)度，得到v2v1 。故“船速增大”才是正確結(jié)論。故只能引入瞬時(shí)方位角，看v1和v2的瞬時(shí)關(guān)系。（學(xué)生活動(dòng)）v1和v2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答？針對(duì)如圖6所示的兩種典型方案，初步評(píng)說(shuō)甲圖中v2 = v1cos，船越靠岸，越大，v2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別，并聯(lián)系“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成

21、等事例，總結(jié)出這樣的規(guī)律合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、需要分析而具有人為特征（無(wú)唯一性）的運(yùn)動(dòng)。解法一：在圖6（乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是v2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng)v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)v轉(zhuǎn) ，從而肯定乙方案是正確的。即：v2 = v1 / cos解法二：微元法。從考查位置開始取一個(gè)極短過(guò)程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖7（甲）中標(biāo)示出來(lái)，AB是繩的初識(shí)位置，AC是繩的末位置，在AB上取=得D點(diǎn)，并連接CD。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長(zhǎng)度。由于過(guò)程極短，等腰三角形ACD的頂角A0，則底角ACD90°

22、，CDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2 = S1 / cos 。鑒于過(guò)程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 。所以：v2 = v1 / cos三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0 ，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。設(shè)初速度方向與水平面夾角，建立水平、豎直的x、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿x、y分解。針對(duì)拋出到落回原高度的過(guò)程0 = Sy = v0y t + （-g）t2Sx = v0x t解以上兩式易得：S

23、x = sin2結(jié)論：當(dāng)拋射角= 45°時(shí)，最大射程Sxmax = （學(xué)生活動(dòng)）若v0 、確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。運(yùn)動(dòng)學(xué)求解考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具備的速度v0x ，然后對(duì)拋出到最高點(diǎn)的過(guò)程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論：Hm = 。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè)vo = 2的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典型事例。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。（學(xué)生活動(dòng)）小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)C ？通過(guò)能量

24、關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動(dòng)超過(guò)B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)（vC ），即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧。（學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)？盡管對(duì)于本問(wèn)題，能量分析是可行的（BC之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。沿軌跡的切向、法向分別建、n坐標(biāo)，然后將重力G沿、n分解為G和Gn分量，T為繩子張力。法向動(dòng)力學(xué)方程為T + Gn = Fn = man = m由于T0 ，Gn0 ，故v0 。（學(xué)生活動(dòng)：若換一個(gè)v0值，在AB階段，v

25、= 0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在BC階段v = 0也是可能出現(xiàn)的。）下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D，對(duì)應(yīng)方位角為，如圖8所示。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的張力T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足Gn = Gsin= m 在再針對(duì)AD過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）：m+ 0 = mg ( L + Lsin) +m 代入v0值解、兩式得：= arcsin ，（同時(shí)得到：vD = ）小球脫離D點(diǎn)后將以vD為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì)A）可以用兩種方法求得。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。先求小球斜拋的最大高度，hm = = 代入

26、和vD的值得：hm = L小球相對(duì)A的總高度：Hm = L + Lsin+ hm = L解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有vD的水平分量，即vDsin= 。對(duì)A最高點(diǎn)的過(guò)程用機(jī)械能守恒定律（設(shè)A所在的平面為參考平面），有m+ 0 = + mg Hm容易得到：Hm = L五、萬(wàn)有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為R/2的球形空腔（球心在O）。在O、O的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力。模型分析：無(wú)論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處

27、理方法。本模型除了照應(yīng)萬(wàn)有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補(bǔ)法”的應(yīng)用?？涨焕铿F(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為R/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8 ，一個(gè)的質(zhì)量為M/8 。然后，前者正好填補(bǔ)空腔和被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球A ；注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物體（質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為B 。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說(shuō)明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和m之間的萬(wàn)有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥成了“萬(wàn)有斥力”了。具體過(guò)程如下FAm = GFBm = G = G最后，兩物之間的萬(wàn)有引力 F = FAm + FBm = GG需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)