平面向量知識點總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面向量知識點小結(jié)一、向量的基本概念1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別. 向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例 1已知 A (1,2) ， B(4,2) ，則把向量AB 按向量 a( 1,3) 平移后得到的向量是_.結(jié)果： (3,0)2. 零向量 ：長度為0 的向量叫零向量，記作：0 ，規(guī)定：零向量的方向是任意的；3. 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB 共線的單位向量是AB）；|AB|4. 相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量（也

2、叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，記作：a b ，規(guī)定： 零向量和任何向量平行 .注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！ （因為有 0 ) ；三點 A、B、C 共線AB、AC 共線 .6. 相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量記作 a .舉例 2 如下列命題：（ 1）若 | a | | b | ，則 ab .（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同.（3）若 ABDC ，則 ABCD

3、 是平行四邊形 .（4）若 ABCD 是平行四邊形，則 AB DC .（5）若 ab ， b c ，則 a c .（6）若 a /b ， b / /c 則 a / / c . 其中正確的是.結(jié)果：（4）（ 5）二、向量的表示方法1. 幾何表示 ：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點在前，終點在后；2. 符號表示 ：用一個小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3. 坐標(biāo)表示 ：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量i , j 為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a 可表示為 axiyj ( x, y) ，稱 (x, y) 為向量 a 的坐標(biāo)， a(x, y)

4、叫做向量 a 的坐標(biāo)表示 .結(jié)論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理設(shè)e1, e2 同一平面內(nèi)的一組基底向量，a 是該平面內(nèi)任一向量， 則存在唯一實數(shù)對 ( 1 , 2 ) ，使a ee.1122（1）定理核心： a 1e12e2 ；（2）從左向右看，是對向量 a 的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對向量a 的合成 .（3）向量的正交分解：當(dāng)e ,e 時，就說 aee 為對向量 a的正交分解121122舉例 3（1）若 a (1,1) ， b(1,1) ， c( 1,2)，則 c.結(jié)果： 1 a3 b .22（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量

5、基底的是BA. e(0,0)，e (1, 2)B.e ( 1,2)，e(5,7)C.e(3,5)，e2(6,10)e (2, 3)e1 ,312121D.1， 242（3）已知 AD, BE 分別是 ABC 的邊 BC ， AC 上的中線 , 且 ADa ， BEb , 則 BC 可用向量 a, b 表示為.結(jié)果： 2a4b .33（4）已知 ABC 中，點 D 在 BC 邊上，且 CD2DB ， CD rABsAC ，則 rs的值是.結(jié)果： 0.四、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下：（ 1）模： | a | | a |；（ 2）方向：當(dāng)0 時，

6、a 的方向與 a 的方向相同， 當(dāng)0 時， a 的方向與 a 的方向相反， 當(dāng)0 時， a0 ，注意：a 0 .五、平面向量的數(shù)量積1. 兩個向量的夾角 ：對于非零向量a ， b ，作 OAa ，OBb ，則把 AOB(0) 稱為向量 a ， b 的夾角 .當(dāng)0 時， a ， b 同向；當(dāng)時， a ， b 反向；當(dāng)2時， a ， b 垂直 .2. 平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量 | a | b | cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積） ，記作： ab ，即 ab| a | b | cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是

7、一個實數(shù)，不再是一個向量.舉例 4（1） ABC 中， |AB| 3 ， |AC|4，|BC| 5，則 ABBC_.結(jié)果： 9.（2）已知 a1,1， b0, 122（ 3）已知 | a | 2 ， | b | 5 ， a b（ 4）已知 a,b 是兩個非零向量，且， c a kb ， dab ， c 與 d 的夾角為，則 k _.結(jié)果： 1.43 ，則 | ab |_.結(jié)果： 23 .| a | | b | | ab | ，則 a 與 a b 的夾角為 _.結(jié)果： 30 .3. 向量 b 在向量 a 上的投影：| b | cos，它是一個實數(shù)，但不一定大于0.學(xué)習(xí)必備歡迎下載舉例 5已知 |

8、 a |3 ， | b |5 ，且 a b12 ，則向量a 在向量 b 上的投影為 _.結(jié)果： 12 .54. a b 的幾何意義 ：數(shù)量積 a b 等于 a 的模 | a | 與 b 在 a 上的投影的積 .5. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a ， b ，其夾角為，則：（ 1） aba b0 ；（ 2）當(dāng) a 、 b 同向時， a b| a | | b | ，特別地，a2a a| a |2| a |a2 ；a b | a | | b | 是 a 、 b 同向的 充要分條件 ；當(dāng) a 、 b 反向時， ab| a | | b |， a b| a | b | 是a 、 b 反向的 充要分條件

9、 ；當(dāng)為銳角時， a b0，且 a 、 b 不同向， a b0是為銳角的 必要不充分條件 ；當(dāng)為鈍角時， a b0，且 a 、 b 不反向； a b0是為鈍角的 必要不充分條件 .（ 3）非零向量 a ， b 夾角的計算公式：cosa b； a b | a | b |.| a | b |舉例 6（ 1）已知 a ( ,2 )， b(3,2) ，如果 a 與 b的夾角為銳角，則的取值范圍是 _.結(jié)果：4 或0 且1 ；33（2）已知 OFQ 的面積為 S ，且 OF FQ 1 ，若 1 S3，則OF ，F(xiàn)Q夾角的取值范圍是 _.結(jié)果：4,；223（3）已知 a (cos x,sin x) ， b

10、(cos y,sin y) ，且滿足 | kab |3 | a kb | （其中 k0 ）.用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此時 a 與 b 的夾角 的大小 .結(jié)果： a bk 21( k 0) ；最小值為1 ，60 .4k2六、向量的運算1. 幾何運算（ 1）向量加法運算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運算形式：若 AB a ， BC b ，則向量 AC 叫做 a 與 b 的和，即 a b AB BC AC ；作圖：略 .注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.（ 2）向量的減法運算法則：三角形法則 .運算形式：若AB a ， ACb ，則 a bABACCA ，即由減向

11、量的終點指向被減向量的終點.作圖：略 .注：減向量與被減向量的起點相同 .舉例 7 （1）化簡： AB BCCD； ABADDC； (ABCD ) (AC BD).結(jié)果： AD ； CB ； 0 ；（2）若正方形 ABCD 的邊長為1， ABa ， BCb ， ACc ，則 | abc |.結(jié)果： 2 2；（3）若 O 是 ABC 所在平面內(nèi)一點，且滿足OBOCOBOC 2OA ，則 ABC 的形狀為 .結(jié)果：直角三角形；（4）若 D 為 ABC 的邊 BC 的中點， ABC 所在平面內(nèi)有一點P ，滿足 PABPCP 0 ，設(shè) |AP|，則的值為.結(jié)果： 2；|PD |（5）若點 O 是 AB

12、C 的外心，且 OAOBCO 0，則ABC的內(nèi)角 C為 .結(jié)果： 120 .2. 坐標(biāo)運算 ：設(shè) a ( x1 , y1) ， b(x2 , y2 ) ，則（ 1）向量的加減法運算 ： ab( x1x2 , y1y2 ) ， ab(x1x2 , y1y2 ) .舉例 8 （1）已知點 A(2,3) ， B(5,4)， C(7,10) ，若 APABAC (R)，則當(dāng)_時，點 P 在第一、三象限的角平分線上 .結(jié)果：1；2（2）已知 A (2,3)， B(1,4) ，且 1 AB(sin x,cos y) ， x, y(,) ，則 xy.結(jié)果：或；22262（3）已知作用在點 A(1,1) 的三

13、個力 F1(3,4) ， F2(2, 5) ， F3(3,1) ，則合力 FF1F2 F3 的終點坐標(biāo)是.結(jié)果： (9,1) .（ 2）實數(shù)與向量的積 ： a(x1, y1 ) (x1 ,y1 ) .（ 3）若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，則 AB( x2x1 , y2y1 ) ，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo) .舉例 9 設(shè) A(2,3)， B( 1,5) ，且 AC1AB，AD3AB ，則 C,D的坐標(biāo)分別是 _.結(jié)果： (1,11),( 7,9) .33（ 4）平面向量數(shù)量積 ： abx1x2y1 y2 .舉例 10已知向量

14、a (sin x,cos x) ， b(sin x,sin x) ， c(1,0) .（1）若 x3，求向量 a 、 c 的夾角；（2）若 x3, ，函數(shù) f (x)ab 的最大值為1 ，求的值 . 結(jié)果：（1） 150；（2） 1 或21 .8422（ 5）向量的模 ： a 2 | a |2x2y 2| a |x2y2 .舉例 11已知 a,b 均為單位向量，它們的夾角為 60 ，那么 | a3b | .結(jié)果： 13 .（ 6）兩點間的距離：若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，則 | AB |( x2x1 )2( y2y1)2 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載舉例 12如圖，在平面

15、斜坐標(biāo)系xOy 中，xOy 60，平面上任一點P 關(guān)于斜坐標(biāo)系y的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若2，其中 1分別為與軸、 y 軸同方向的單1ye2xOP xee ,e位向量，則 P 點斜坐標(biāo)為 (x, y) .（1）若點 P 的斜坐標(biāo)為 (2, 2)，求 P到O的距離 |PO|；（2）求以 O 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy 中的方程 .60O結(jié)果：（ 1）2；（2） x2y2xy10 .x七、向量的運算律1. 交換律： abba ， (a)() a ， a bb a ；2. 結(jié)合律： abc(ab )c ， abca(bc) ， ( a)b(ab )a ( b) ；3. 分配律： ()aa

16、a ， ( ab )ab ， (ab )cacbc .舉例 13給出下列命題：a(bc) a bac ； a ( bc)(ab ) c ； (ab )2| a |22| a | b | b |2 ； 若 ab0 ，則 a0 或 b0 ；若 abc b 則 ac ；2a2a b b2a22； (ab )2a22 a b2.| a |；2a； (a b )bba其中正確的是.結(jié)果： .說明：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相

17、約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(bc )(ab)c ，為什么？八、向量平行 ( 共線 ) 的充要條件a / /ba b( a b)2(| a | b |) 2x1 y2y1x20 .舉例 14 (1)若向量 a( x,1) ， b(4, x) ，當(dāng) x_時， a 與 b 共線且方向相同 .結(jié)果： 2.（2）已知 a(1,1) ， b(4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / /v ，則 x.結(jié)果： 4.（3）設(shè) PA(k,12) ， PB(4,5)， PC(10,k) ，則 k_ 時， A,B ,C 共線 .結(jié)果：2或11.九、向量垂直的充要條件a ba b 0| a

18、 b | | a b |x1 x2y1 y20 .特別地ABACABAC.|AB|AC|AB| AC|舉例 15 (1)已知 OA( 1,2) ， OB (3, m) ，若 OAOB ，則 m.結(jié)果： m3 ；2（2）以原點 O 和 A (4,2) 為兩個頂點作等腰直角三角形OAB ，B90，則點 B 的坐標(biāo)是.結(jié)果： (1,3)或（ 3， 1）；（3）已知 n(a ,b) 向量 nm ，且 | n | | m | ，則 m的坐標(biāo)是.結(jié)果： (b,a) 或 ( b, a) .十、線段的定比分點定義：設(shè)點P是直線12上異于 1、2 的任意一點，若存在一個實數(shù)，使 12，則實數(shù)叫做點P1.P PP

19、PPPPP分有向線段 P1P2 所成的比， P 點叫做有向線段P1P2 的以定比為的定比分點 .2. 的符號與分點 P 的位置之間的關(guān)系（ 1） P 內(nèi)分線段 P1 P2，即點 P 在線段 P1 P2 上0 ；（ 2） P 外分線段P P 時，點P在線段1 2的延長線上1，點P在線段 12的反向延長線上12PPP P10 .1.注： 若點P分有向線段PP所成的比為，則點 P 分有向線段P P 所成的比為1221舉例 16若點 P 分 AB 所成的比為3 ，則 A 分 BP 所成的比為.結(jié)果：7.433. 線段的定比分點坐標(biāo)公式：xx1x2 ,設(shè) 111， 222，點P(x, y)分有向線段1

20、2所成的比為，則定比分點坐標(biāo)公式為1(1).P (x , y )P (x, y )P Pyy1y2 .11xx12x2 ,特別地，當(dāng)時，就得到線段12 的中點坐標(biāo)公式P Py1y2 .y2說明：（1）在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確( x, y) ， (x , y )(x, y)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo).11 、22（2）在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比.舉例 17（1）若 M ( 3,2) ， N(6,1) ，且 MP1MN ，則點 P 的坐標(biāo)為.結(jié)果： ( 6,7) ；33（2）已知 A (a ,0) ， B(3,21與線段

21、 AB 交于 M ，且 AM2MB ，則 a.結(jié)果：或4 .a) ，直線 yax2十一、平移公式如果點P( x, y) 按向量 a(h,k) 平移至 P( x , y )，則xxh, ；曲線 f ( x, y)0 按向量 a(h, k) 平移得曲線yyk.學(xué)習(xí)必備歡迎下載f ( x h, y k)0 .說明：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！舉例 18 （1）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，則按向量 a 把點 (7,2) 平移到點 _.結(jié)果： (8,3) ；（2）函數(shù) ysin 2x 的圖象按向量 a 平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2 x 1 ，則 a _.結(jié)果： ( ,1) .4十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；2. 模的性質(zhì)： | a | | b | ab | | a | | b |.（ 1）右邊等號成立條件：