數(shù)學(xué)分析第六章微分中值定理及其應(yīng)用4

1、第六章第六章 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用3函數(shù)的增減性與極值函數(shù)的增減性與極值2一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)

2、點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但

3、函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符號(hào)相同符號(hào)相同, ,則則)(

4、xf在在0 x處無(wú)極值處無(wú)極值. .定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例1 1解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )

5、3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm圖形如下圖形如下 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0

6、000, 0 異號(hào)，異號(hào)，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證同理可證(2).例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如

7、下mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).m三、小結(jié)三、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,

8、極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)， )0()(fxf)1s

9、in2(2xx 0 于是于是0 x為為)(xf的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之間振蕩之間振蕩因因而而)(xf在在0 x的的兩兩側(cè)側(cè)都都不不單單調(diào)調(diào).故命題不成立故命題不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 一、一、 填空題：填空題：1 1、 極值反映的是函數(shù)的極值反映的是函數(shù)的 _性質(zhì)性質(zhì). .2 2、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在0 xx 可導(dǎo)，則它在點(diǎn)可導(dǎo)，則它在點(diǎn)0 x處到處到 得極值的必要條件中為得極值的必要條件中為_._.3 3、 函 數(shù)函 數(shù)32)1(2 xy的 極 值 點(diǎn) 為的 極 值 點(diǎn) 為 _ ；

10、31)1(23 xy的極值為的極值為_._.4 4、 已知函數(shù)已知函數(shù) 0, 10,)(3xxxxxfx當(dāng)當(dāng)_ x時(shí)，時(shí)，為極為極_ y小值 ； 當(dāng)小值 ； 當(dāng)時(shí)時(shí)_ x，為極為極_ y大值大值. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、求下列函數(shù)的極值：二、求下列函數(shù)的極值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所確定的函數(shù)所確定的函數(shù))(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 證明題：證明題：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23滿足條滿足條032 acb，則函數(shù)無(wú)極值則函數(shù)無(wú)極值. . 2 2、設(shè)設(shè))(xf是是有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)0)( xf， 則則0 x為為)(xf的的極極值值點(diǎn)點(diǎn). .一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),無(wú)；無(wú)；