大學(xué)物理解題法期末復(fù)習(xí)題

1、例：例：半徑為半徑為R的大圓靜止不動(dòng)，半徑為的大圓靜止不動(dòng)，半徑為r的小圓沿大圓的小圓沿大圓內(nèi)側(cè)做無(wú)滑滾動(dòng)，小圓的角速度恒為內(nèi)側(cè)做無(wú)滑滾動(dòng)，小圓的角速度恒為，求求：(1)小圓繞大圓一周所用的時(shí)間。小圓繞大圓一周所用的時(shí)間。解：解：無(wú)滑滾動(dòng)無(wú)滑滾動(dòng) vc= rC點(diǎn)繞點(diǎn)繞O點(diǎn)一周點(diǎn)一周所用的時(shí)間所用的時(shí)間2()RrrOCA求：求：(2)C點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)的加速度的加速度解：解：C點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)22COraRr求：求：(3)接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)A相對(duì)相對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)的加速度的加速度AOACCOaaa由加速度變換公式：由加速度變換公式：2ACarO,C,A在同一直線在同一直線OA上

2、上兩加速度方向相同兩加速度方向相同標(biāo)量相加標(biāo)量相加2AOACCORraaaRr例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球，從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣點(diǎn)的小球，從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣點(diǎn)A滑下，設(shè)滑下，設(shè)容器質(zhì)量為容器質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，內(nèi)壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的，內(nèi)壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，開(kāi)始時(shí)小球和容器都處于靜止?fàn)顟B(tài)，水平桌面上，開(kāi)始時(shí)小球和容器都處于靜止?fàn)顟B(tài)，求：求：(1) 當(dāng)小當(dāng)小球沿內(nèi)壁滑到容器底部的球沿內(nèi)壁滑到容器底部的B點(diǎn)時(shí)，受到向上的支持力為多大？點(diǎn)時(shí)，受到向上的支持力為多大？由于小球相對(duì)于桌面軌跡較復(fù)雜，而由于小球相對(duì)于桌面軌跡較復(fù)雜，而相對(duì)于容器，小球的軌跡仍

3、為圓弧相對(duì)于容器，小球的軌跡仍為圓弧，取容器為參考系（非慣性系）取容器為參考系（非慣性系）RBA分析：分析：容器未固定，可以滑動(dòng)容器未固定，可以滑動(dòng)要求要求B點(diǎn)的支持力，先求點(diǎn)的支持力，先求B點(diǎn)的向心力點(diǎn)的向心力為求為求B點(diǎn)速率，注意到小球點(diǎn)速率，注意到小球+容器容器(+地球地球)組成的系統(tǒng)：組成的系統(tǒng)：桌面參考系中，桌面參考系中，水平方向上不受外力，動(dòng)量守恒水平方向上不受外力，動(dòng)量守恒支持力不做功（與相對(duì)位移方向垂直，一對(duì)支持力做功之和為支持力不做功（與相對(duì)位移方向垂直，一對(duì)支持力做功之和為0）只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒要求要求B點(diǎn)的向心力，先求點(diǎn)的向心力，

4、先求B點(diǎn)的速率點(diǎn)的速率(相對(duì)于容器相對(duì)于容器)RBA解：解：根據(jù)水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒及下滑過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒根據(jù)水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒及下滑過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒0mMmvMv221122mMmvMvmgR以以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)其中其中vm, vM分別表示小球到達(dá)分別表示小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球、容器相對(duì)桌面的速度點(diǎn)時(shí)小球、容器相對(duì)桌面的速度2mMgRvMm2MmMgRvMMm()mmMvvv 現(xiàn)在以容器為參考系，求在現(xiàn)在以容器為參考系，求在B點(diǎn)小球相對(duì)容器的速度點(diǎn)小球相對(duì)容器的速度vmmmMvvvMvmv2()gR MmMRBANFgm容器參考系中，小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力容器參考系中，

5、小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力2mnmvmaR 小球運(yùn)動(dòng)到容器底部這一特殊位置時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到容器底部這一特殊位置時(shí)，NFmg22(3)mNmvmFmgmgRM求：求：(2) 小球相對(duì)于桌面的運(yùn)動(dòng)軌跡在小球相對(duì)于桌面的運(yùn)動(dòng)軌跡在B點(diǎn)的曲率半徑？點(diǎn)的曲率半徑？對(duì)容器沒(méi)有水平方向的作用力，從而容器參考系的加速度為對(duì)容器沒(méi)有水平方向的作用力，從而容器參考系的加速度為0，則容器參考系中的慣性力也為，則容器參考系中的慣性力也為0。由于在由于在B點(diǎn)，容器參考系的加速度為點(diǎn)，容器參考系的加速度為0，小球在地面參考系中的，小球在地面參考系中的法向加速度法向加速度(小球速度水平向右小球速度水平向右)也為也為na2mBnva

6、 相對(duì)桌面相對(duì)桌面22()()mmvMRRvMmR例：例：軌道上的小車(chē)質(zhì)量為軌道上的小車(chē)質(zhì)量為M，它下面用長(zhǎng)為，它下面用長(zhǎng)為l 的繩子系一質(zhì)量的繩子系一質(zhì)量為為m的砂袋。現(xiàn)有一質(zhì)量為的砂袋?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m0的子彈水平地射入砂袋內(nèi)，而與的子彈水平地射入砂袋內(nèi)，而與砂袋一起運(yùn)動(dòng)，最大擺角為砂袋一起運(yùn)動(dòng)，最大擺角為。若不計(jì)小車(chē)與軌道間的摩擦。若不計(jì)小車(chē)與軌道間的摩擦。求：求：子彈射入時(shí)的速度子彈射入時(shí)的速度v000v,m0mmmlM解：解：子彈子彈+砂袋砂袋 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒子彈子彈+砂袋砂袋+小車(chē)小車(chē), 上擺過(guò)程上擺過(guò)程最高點(diǎn)處三者具有共同的最高點(diǎn)處三者具有共同的對(duì)地對(duì)

7、地速度速度0001()mmmvv0002()mmmMvv水平方向動(dòng)量守恒水平方向動(dòng)量守恒220102011()()()(1 cos )22mmmmMmm glvv只有重力做功只有重力做功 (拉力為一對(duì)內(nèi)力拉力為一對(duì)內(nèi)力) ，00002(1 cos )mmmmMglmmv三式聯(lián)立，可得三式聯(lián)立，可得機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒例：例：如圖所示，小車(chē)從如圖所示，小車(chē)從A點(diǎn)自靜止開(kāi)始，沿路徑點(diǎn)自靜止開(kāi)始，沿路徑AEDBCE運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。其中，半徑為其中，半徑為 r 的環(huán)形路徑的環(huán)形路徑EDBCE內(nèi)的內(nèi)的DBC段為一段為一缺口缺口，而，而B(niǎo)OC=BOD= ，不計(jì)摩擦，不計(jì)摩擦，問(wèn)問(wèn)：(1)當(dāng)高度當(dāng)高度h=?時(shí)，

8、小車(chē)才能越過(guò)缺口循上述路徑運(yùn)動(dòng)？時(shí)，小車(chē)才能越過(guò)缺口循上述路徑運(yùn)動(dòng)？ (2)要使要使h值為最小，角值為最小，角為幾度？為幾度？ xy解：解：小車(chē)越過(guò)小車(chē)越過(guò)DC時(shí)只受重力作用，時(shí)只受重力作用，故作故作斜斜拋運(yùn)動(dòng)。拋運(yùn)動(dòng)。如圖建立坐標(biāo)系，如圖建立坐標(biāo)系，其軌道方程其軌道方程v設(shè)設(shè)D點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為v，要求要求D點(diǎn)拋出，點(diǎn)拋出，C點(diǎn)落回，即斜拋軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)落回，即斜拋軌跡經(jīng)過(guò)C點(diǎn)點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)：點(diǎn)坐標(biāo)：x=2r sin y=0代人軌跡方程，得拋出速度為代人軌跡方程，得拋出速度為2/cosvgr低于此速度，小車(chē)落入圓內(nèi)低于此速度，小車(chē)落入圓內(nèi)高于此速度，小車(chē)飛到圓外高于此速度，小車(chē)飛到圓外當(dāng)高度當(dāng)高度

9、h=?時(shí)，小車(chē)到時(shí)，小車(chē)到D點(diǎn)的速度滿足點(diǎn)的速度滿足2/cosvgr由以上兩式，解得：由以上兩式，解得：小車(chē)從點(diǎn)小車(chē)從點(diǎn)A滑到點(diǎn)滑到點(diǎn)D的過(guò)程中，斜面和環(huán)壁對(duì)小車(chē)的支承力的過(guò)程中，斜面和環(huán)壁對(duì)小車(chē)的支承力N不不作功，則由小車(chē)與地球組成的系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒。作功，則由小車(chē)與地球組成的系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒。21(cos)2mghmvmg rr1(cossec1)2hr欲求欲求h值最小時(shí)的值最小時(shí)的角，即求極值角，即求極值21 sin( sin)(cos ) 02r0dh d即即解得：解得：思考：思考：小車(chē)在小車(chē)在D點(diǎn)所受的環(huán)壁壓力點(diǎn)所受的環(huán)壁壓力 2cosvNmgmr(seccos )sintanN

10、mgmgxyv臨界問(wèn)題臨界問(wèn)題mMxyOyO例：例：一質(zhì)量為一質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑桌面上，的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑桌面上，在球頂有一質(zhì)量為在球頂有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止沿球面下滑。的質(zhì)點(diǎn)，由靜止沿球面下滑。求：求：(1) m脫離脫離M前的軌跡，前的軌跡，(2) m繞球心繞球心O的角速度。的角速度。解：解：要求的是要求的是m相對(duì)桌面相對(duì)桌面的軌跡，的軌跡，以及以及m相對(duì)球心相對(duì)球心O的角速度的角速度(1) 以桌面為參考系，建立坐標(biāo)系以桌面為參考系，建立坐標(biāo)系Oxy，設(shè)設(shè)m在某時(shí)刻在某時(shí)刻t的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y)設(shè)設(shè)O在在t時(shí)刻的坐標(biāo)為時(shí)刻的坐標(biāo)為X，脫離前

11、有：，脫離前有：222()xXyR由于桌面光滑，在水平方向上，由于桌面光滑，在水平方向上，m和和M系統(tǒng)動(dòng)量守恒系統(tǒng)動(dòng)量守恒設(shè)設(shè)m相對(duì)桌面的水平速度為相對(duì)桌面的水平速度為vx，M相對(duì)桌面的速度為相對(duì)桌面的速度為V0 xmvMVxdxvdtdXVdt即即mMxyOyO2222(1)mxyRM0dxdXmMdtdtmdxMdX22221()xyMRRMm結(jié)合初始條件：結(jié)合初始條件：t=0時(shí)，時(shí)，x=0，X=0，兩邊積分，兩邊積分mxMX00 xXmdxMdX 軌跡方程為軌跡方程為或?qū)憺榛驅(qū)憺榭梢?jiàn)，其軌跡為一橢圓，半長(zhǎng)軸在可見(jiàn)，其軌跡為一橢圓，半長(zhǎng)軸在y軸上，半短軸在軸上，半短軸在x軸上。軸上。(2)

12、 m相對(duì)于相對(duì)于O作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其角速度為作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其角速度為，則其絕對(duì)速度，則其絕對(duì)速度cosxvRVsinyvR 0 xmvMVcosxvRVcosm RVmMcosxMRvmM解得：解得：mMxyOyO桌面參考系中，只有重力做功，機(jī)械能守恒！桌面參考系中，只有重力做功，機(jī)械能守恒！221 cos1cosgmRmM22211()cos22xymgRm vvMVmgR以桌面處為重力勢(shì)能零點(diǎn)以桌面處為重力勢(shì)能零點(diǎn)sinyvR 代入解得：代入解得：?V ?xyvv(3) 若若M=2.43m，求求：m在什么在什么位置處開(kāi)始脫離半球？位置處開(kāi)始脫離半球？mMxyOyOm開(kāi)開(kāi)始脫離半球的條件：始脫

13、離半球的條件：支持力為支持力為03cos3cos20mmM221 cos1cosgmRmM2cosmgmR慣性系中慣性系中以以M為參考系，是否仍然成立？為參考系，是否仍然成立？脫離的瞬時(shí)，脫離的瞬時(shí)，M的加速度的加速度= 0若若M=2.43m，解得：，解得：cos=0.7, -3.5, 2.8 (后兩者大于后兩者大于1舍去舍去) 在在=arccos0.7=45.57處，處，m開(kāi)始脫離半球。開(kāi)始脫離半球。 mMxyOyO3cos3cos20mmM這與這與M固定不動(dòng)時(shí)的計(jì)算結(jié)果固定不動(dòng)時(shí)的計(jì)算結(jié)果相同。即相當(dāng)于相同。即相當(dāng)于M不動(dòng)。不動(dòng)。討論：討論：若若Mm這表明，這表明，M一下子滑出，一下子滑出

14、，m豎直下落。豎直下落。若若MR)：2 4krdVr dr2404RVdVkrr drkR4204rkREer球體內(nèi)球體內(nèi)(rR)：200 () ()4rdqdErrdEerrr24322200000444RRrrrkrr drkkREdEer dr eerrr球體內(nèi)球體內(nèi)(rR)：其在距離球心為其在距離球心為r處產(chǎn)生的電場(chǎng)為：處產(chǎn)生的電場(chǎng)為：2320004rrrkkrEdEr dr eer無(wú)限大厚板，無(wú)限大厚板，=kx，k為常量，為常量，求求板內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)？板內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)？例：例：電荷體密度為電荷體密度為+ 的均勻帶電球體，若保持電荷分的均勻帶電球體，若保持電荷分布不變，在其中挖去一個(gè)小球體，小

15、球球心布不變，在其中挖去一個(gè)小球體，小球球心O相對(duì)相對(duì)O的位置矢量為的位置矢量為 ，證明：證明：腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場(chǎng)。腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場(chǎng)。 分析：分析：電荷電荷(電場(chǎng)電場(chǎng))分布已不是球?qū)ΨQ，分布已不是球?qū)ΨQ，無(wú)法直接用高斯定理。無(wú)法直接用高斯定理。補(bǔ)償法：補(bǔ)償法：帶正電大球帶正電大球+帶負(fù)電小球帶負(fù)電小球解：解：考察腔內(nèi)考察腔內(nèi)任一點(diǎn)任一點(diǎn)P處，處，aOOP03bE大球0()3EEEbd總大球小球03dE小球POObad03a兩球內(nèi)兩球內(nèi)P處處與與P的位置無(wú)關(guān)的位置無(wú)關(guān)無(wú)限長(zhǎng)空腔圓柱體，腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場(chǎng)無(wú)限長(zhǎng)空腔圓柱體，腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場(chǎng) 02a設(shè)設(shè)OP=b，OP=d例：例：在在點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)的電場(chǎng)中，

16、取一個(gè)半徑為中，取一個(gè)半徑為r的圓的圓平面平面，q位于其軸線上距離為位于其軸線上距離為d 處，處，求：求：通過(guò)圓平面的電通量。通過(guò)圓平面的電通量。rRq分析：分析：平面上各處與電場(chǎng)線夾角各平面上各處與電場(chǎng)線夾角各異，考慮以異，考慮以q處為球心，半徑為處為球心，半徑為R的的球冠面球冠面S的電通量。的電通量。解：解：由于球冠面上各處場(chǎng)強(qiáng)大小由于球冠面上各處場(chǎng)強(qiáng)大小相同，方向即相同，方向即dS 的法線方向的法線方向dO002sin2()RRdR Rd2Sr dl204qERe2220002()(1)(1)422qqdqdR RdRRrdedddSSSESE SESES球冠的面積球冠的面積 0 000

17、dqES球面內(nèi)包圍一點(diǎn)電荷球面內(nèi)包圍一點(diǎn)電荷q，由高斯定理，由高斯定理可知，可知，整個(gè)球面整個(gè)球面的電通量為的電通量為202()()42SR RdRdSRRe0220000()(1)(1)222SqRdqdqdSRRrd 穿過(guò)穿過(guò)球冠面的電通量球冠面的電通量(電場(chǎng)線條數(shù)電場(chǎng)線條數(shù))為為球冠面積球冠面積S占整個(gè)球面積占整個(gè)球面積S0的比例為的比例為解解2：由于球面上電場(chǎng)線的疏密程度均勻由于球面上電場(chǎng)線的疏密程度均勻(E大小相同大小相同)，可由面積之比求出電通量之比。可由面積之比求出電通量之比。rRqdO 0 0電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)的計(jì)算 一些常見(jiàn)均勻帶電體的電勢(shì)一些常見(jiàn)均勻帶電體的電勢(shì)均勻均勻球面球面

18、內(nèi)內(nèi)(r R) 04QVR點(diǎn)電荷、點(diǎn)電荷、均勻均勻帶電球面帶電球面( (體體) )外外0 4QVr=面上電勢(shì)，與面上電勢(shì)，與r無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)平行板電容器板間平行板電容器板間(勻強(qiáng)電場(chǎng)勻強(qiáng)電場(chǎng))電勢(shì)差電勢(shì)差UEd無(wú)限長(zhǎng)均勻無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線、圓柱面帶電直線、圓柱面(體體)外外00ln2rVr其中其中r0為電勢(shì)零點(diǎn)到軸的距離為電勢(shì)零點(diǎn)到軸的距離(注意不能選在無(wú)限遠(yuǎn)處注意不能選在無(wú)限遠(yuǎn)處)無(wú)限長(zhǎng)無(wú)限長(zhǎng)均勻均勻圓柱面圓柱面內(nèi)內(nèi)00ln2rVR=面上電勢(shì)，與面上電勢(shì)，與r無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)例：例：在在Oxy面上倒扣著半徑為面上倒扣著半徑為R的半球面，其上電荷均的半球面，其上電荷均勻分布，電荷面密度為勻分布，電荷面密度為

19、，A點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, R/2)，B點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3R/2, 0)，求：求：電勢(shì)差電勢(shì)差UAB分析：分析：由上下對(duì)稱及電勢(shì)疊加可由上下對(duì)稱及電勢(shì)疊加可知，半球面在知，半球面在Oxy平面上的電勢(shì)平面上的電勢(shì)就是完整球面的電勢(shì)的一半。就是完整球面的電勢(shì)的一半。解：解：將半球面擴(kuò)展為完整球面將半球面擴(kuò)展為完整球面則面內(nèi)則面內(nèi)(上上)A點(diǎn)電勢(shì)為點(diǎn)電勢(shì)為20044ARRVR A0001122236ABBRRRUVV面外面外B點(diǎn)電勢(shì)為點(diǎn)電勢(shì)為200424323BRRVR 半球半球面，電勢(shì)差面，電勢(shì)差20442RR 例：例：兩個(gè)均勻帶電的同心半球面如圖相對(duì)放置，其半徑兩個(gè)均勻帶電的同心半球面

20、如圖相對(duì)放置，其半徑分別為分別為R1與與R2，電荷面密度分別為，電荷面密度分別為 1和和 2， 求：求：大球底面直徑大球底面直徑AOB上的電勢(shì)分布上的電勢(shì)分布分析：分析：由對(duì)稱性及電勢(shì)疊加原理可知，半球面在由對(duì)稱性及電勢(shì)疊加原理可知，半球面在AOB平面上的電勢(shì)等于完整球面產(chǎn)生的電勢(shì)的一半。平面上的電勢(shì)等于完整球面產(chǎn)生的電勢(shì)的一半。解：解：由均勻帶電球面的電勢(shì)分布由均勻帶電球面的電勢(shì)分布OBA 2R2 1R1000200 ()4 ()4QRrRRVQRrRrr1110121110 ()2 ()2RrRVRrRr半個(gè)小球面在半個(gè)小球面在AOB上的電勢(shì)上的電勢(shì)可以看出，在與小球面的底面重合的可以看出

21、，在與小球面的底面重合的區(qū)域各點(diǎn)電勢(shì)相等，而超出小球面底區(qū)域各點(diǎn)電勢(shì)相等，而超出小球面底面的部分則與面的部分則與r有關(guān)。有關(guān)。11221001221122100+ ()22 + ()22RRrRVVVRRrRr22220 ()2RVrR則則AOB上的電勢(shì)分布為上的電勢(shì)分布為OBA 2R2 1R1半個(gè)大球面在半個(gè)大球面在AOB上的電勢(shì)上的電勢(shì)若若1111100 () (1) ()2rRVRRrRr1122RR 則則例：例：地面上有一固定點(diǎn)電荷地面上有一固定點(diǎn)電荷A，其正上方有一帶電小球，其正上方有一帶電小球B，在重，在重力和力和A的庫(kù)侖的庫(kù)侖斥斥力作用下，力作用下，B在在A的上方的上方H/2H之

22、間來(lái)回振動(dòng)，之間來(lái)回振動(dòng)，求：求：B運(yùn)動(dòng)的最大速率。運(yùn)動(dòng)的最大速率。分析：分析：由于重力及庫(kù)侖力均為保守力，所以機(jī)械能守恒。而所由于重力及庫(kù)侖力均為保守力，所以機(jī)械能守恒。而所謂速率最大，即振動(dòng)的平衡位置，受力為零處。謂速率最大，即振動(dòng)的平衡位置，受力為零處。設(shè)在高度設(shè)在高度h處受力平衡處受力平衡204Qqmgh2max0142Qqmghmvh解：解：設(shè)設(shè)A帶電為帶電為Q，B帶同號(hào)電荷帶同號(hào)電荷q，B質(zhì)量為質(zhì)量為m，平衡位置處機(jī)械能平衡位置處機(jī)械能運(yùn)動(dòng)范圍為運(yùn)動(dòng)范圍為H/2H，這兩處，這兩處B的動(dòng)能為的動(dòng)能為004QqmgHH2Hh 0242HQqmgH聯(lián)立可得聯(lián)立可得max(32 2)vgH

23、BGFA例：例：如圖，如圖，接地導(dǎo)體球附近有一點(diǎn)電荷接地導(dǎo)體球附近有一點(diǎn)電荷q, ,相距相距l(xiāng)求：求：導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的電量導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的電量接地接地U=0，解：解：設(shè)感應(yīng)電量為設(shè)感應(yīng)電量為q04qURRqql qRol球外沒(méi)有其他帶電體時(shí)球外沒(méi)有其他帶電體時(shí)004qUR感應(yīng)電荷分布在球面上，但不均勻感應(yīng)電荷分布在球面上，但不均勻04dqdUR球面在球心的球面在球心的電勢(shì)電勢(shì)10044dqqURR任取球面上一塊電荷元任取球面上一塊電荷元dq，其在球心處的，其在球心處的電勢(shì)為電勢(shì)為004ql0接地意味著導(dǎo)體電勢(shì)為零，不意味著電荷為零接地意味著導(dǎo)體電勢(shì)為零，不意味著電荷為零 球心球心的電勢(shì)為的電勢(shì)

24、為0等勢(shì)體等勢(shì)體球心總球心總電勢(shì)電勢(shì)0q 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化例：例：如圖，均勻電介質(zhì)如圖，均勻電介質(zhì)球球被均勻極化，極化強(qiáng)度為被均勻極化，極化強(qiáng)度為P，求：求：極化電荷極化電荷在球心產(chǎn)生的退極化場(chǎng)。在球心產(chǎn)生的退極化場(chǎng)。解：解：以球心以球心O為原點(diǎn)，選與為原點(diǎn)，選與P平行的平行的方向?yàn)榉较驗(yàn)閦軸，建立如圖的極坐標(biāo)系軸，建立如圖的極坐標(biāo)系電介質(zhì)球表面上的某球面元電介質(zhì)球表面上的某球面元dS處的束縛電荷面密度：處的束縛電荷面密度：cosP nP 其中其中n為介質(zhì)球表面的外法線方向?yàn)榻橘|(zhì)球表面的外法線方向分析：分析：本題極化電荷分布在球面上，本題極化電荷分布在球面上，求求(非均勻非均勻)帶電球

25、面在球心的場(chǎng)強(qiáng)，帶電球面在球心的場(chǎng)強(qiáng)，已知極化強(qiáng)度已知極化強(qiáng)度P極化電荷面密度。極化電荷面密度。 當(dāng)當(dāng) /2 為為負(fù)電荷負(fù)電荷 極化電荷分布關(guān)于極化電荷分布關(guān)于z軸對(duì)稱軸對(duì)稱22200coscossin44PdSPd dR 整個(gè)球面上在球心的場(chǎng)強(qiáng)整個(gè)球面上在球心的場(chǎng)強(qiáng)220000cossin43PPdd 2sinsindSRd RdRd d Rd Rrd cos()coszdEdEdE 204dSdER 方向如圖方向如圖圖中球面元圖中球面元dS在球心的場(chǎng)強(qiáng)在球心的場(chǎng)強(qiáng)由對(duì)稱性可知，球心處的退極化場(chǎng)由對(duì)稱性可知，球心處的退極化場(chǎng)的方向應(yīng)該是的方向應(yīng)該是水平向左水平向左cosP zEdE只需計(jì)算只

26、需計(jì)算z分量：分量：例：例：在無(wú)限大均勻電介質(zhì)內(nèi)，挖一個(gè)半徑為在無(wú)限大均勻電介質(zhì)內(nèi)，挖一個(gè)半徑為R的無(wú)限的無(wú)限長(zhǎng)長(zhǎng)圓柱圓柱形空腔，設(shè)形空腔，設(shè)腔外腔外電介質(zhì)被均勻極化，極化強(qiáng)度電介質(zhì)被均勻極化，極化強(qiáng)度P 沿沿y方向，方向，求：求：極化電荷在空腔軸線上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。極化電荷在空腔軸線上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。xzyOPcos()cosP nPP 分析：分析：此問(wèn)題中極化電荷分布在圓柱面上，此問(wèn)題中極化電荷分布在圓柱面上，求求(非均勻非均勻)帶電圓柱面在其軸線上的場(chǎng)強(qiáng)，帶電圓柱面在其軸線上的場(chǎng)強(qiáng)，解：解：如圖，如圖，將圓柱面分成許多無(wú)限長(zhǎng)窄條，將圓柱面分成許多無(wú)限長(zhǎng)窄條，已知極化強(qiáng)度已知極化強(qiáng)度P，則極化電荷

27、面密度可求。，則極化電荷面密度可求?？疾炫c考察與y方向夾角方向夾角為為 ，角寬度為，角寬度為d 的窄條，的窄條，yxR d P nn為腔外介質(zhì)表面的外法線方向?yàn)榍煌饨橘|(zhì)表面的外法線方向-+介介質(zhì)質(zhì)介介質(zhì)質(zhì)介質(zhì)介質(zhì)分子分子極化電荷分布關(guān)于極化電荷分布關(guān)于yOz平面對(duì)稱平面對(duì)稱 /2 為正為正電荷電荷+xzyOPdE00|cos22dPdEdR 此線密度為此線密度為d 的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線的無(wú)限長(zhǎng)帶電直線在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)大小在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)大小cosdRdPRd此窄條此窄條(直線直線)的極化電荷的極化電荷線線密度密度方向如下圖方向如下圖yxR d P-介介質(zhì)質(zhì)介介質(zhì)質(zhì)與與P同向，不是極化電荷在介質(zhì)內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)

28、。同向，不是極化電荷在介質(zhì)內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。由于極化電荷分布關(guān)于由于極化電荷分布關(guān)于yOz平面對(duì)稱，其平面對(duì)稱，其在在空腔區(qū)域空腔區(qū)域軸線上的總場(chǎng)強(qiáng)沿軸線上的總場(chǎng)強(qiáng)沿y軸方向，軸方向， 22000cos22PPd cosEdE故只需對(duì)故只需對(duì)y軸方向的分量進(jìn)行積分：軸方向的分量進(jìn)行積分：02PE 是由極化電荷產(chǎn)生的，未包括是由極化電荷產(chǎn)生的，未包括導(dǎo)致介質(zhì)極化的外電場(chǎng)；導(dǎo)致介質(zhì)極化的外電場(chǎng)； 電容的計(jì)算電容的計(jì)算例：例：平行板電容器，極板面積為平行板電容器，極板面積為S，板間間距為，板間間距為d，現(xiàn)充有兩種電容率分別現(xiàn)充有兩種電容率分別為為 1和和 2，厚度分別為厚度分別為d1和和d2的均勻電介質(zhì)。的

29、均勻電介質(zhì)。1d2d求：求：此平行板電容器的電容。此平行板電容器的電容。解：解：設(shè)兩極電荷面密度分別為設(shè)兩極電荷面密度分別為+ 0和和- - 012取圓柱形高斯面，由高斯定理取圓柱形高斯面，由高斯定理00S0D SS0D101E202E兩板間的電勢(shì)差兩板間的電勢(shì)差dBAUEl1211021ddddddlElE0012r1r2oodd A B各層電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度不同各層電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度不同電容為電容為122121ddS0011022/SqCUddu相當(dāng)于兩個(gè)電容器的串聯(lián)相當(dāng)于兩個(gè)電容器的串聯(lián)121d2d1C2C111dSC222dSC12111CCC12121221121SddddSS 另一

30、種情況另一種情況1S2S1200SA B12由于極板為等勢(shì)體由于極板為等勢(shì)體12UUUUEd12EE/ED2211/11021122, ?SSSd112011122SEESS各層電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度相同各層電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度相同01122SSS11DS22D12兩板間的電勢(shì)差兩板間的電勢(shì)差101122SdUE dSS001122SqCSdUSSdSS2211u相當(dāng)于兩個(gè)電容器的并聯(lián)相當(dāng)于兩個(gè)電容器的并聯(lián)1S2S12dd1C2CdSC111dSC222112212SSCCCd現(xiàn)兩球相距很遠(yuǎn)，可看作兩孤立導(dǎo)體球，忽略其電場(chǎng)的現(xiàn)兩球相距很遠(yuǎn)，可看作兩孤立導(dǎo)體球，忽略其電場(chǎng)的相互作用，認(rèn)為兩球的電荷各自

31、均勻分布在其球面上。相互作用，認(rèn)為兩球的電荷各自均勻分布在其球面上。例例：兩個(gè)相距兩個(gè)相距很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的導(dǎo)體球，半徑分別為的導(dǎo)體球，半徑分別為a、b(a)，每，每球各帶有電荷球各帶有電荷q，現(xiàn)用一根細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線將兩球聯(lián)接，靜電，現(xiàn)用一根細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線將兩球聯(lián)接，靜電平衡后忽略導(dǎo)線中所帶電荷，平衡后忽略導(dǎo)線中所帶電荷，求求:(1)電荷遷移方向及最電荷遷移方向及最終終兩球上的兩球上的電荷量，電荷量，(2)該導(dǎo)體組的電容。該導(dǎo)體組的電容。ab解解：(1)設(shè)聯(lián)接后兩球的電量最終設(shè)聯(lián)接后兩球的電量最終分別變?yōu)榉謩e變?yōu)閝1、q2，則由電荷守恒，則由電荷守恒122qqq兩球電勢(shì)分別為兩球電勢(shì)分別為120044aqqUal

32、10 4qlaa210044bqqUbl20 4qlbb其中其中l(wèi)為兩球心距離為兩球心距離120044qqab聯(lián)接聯(lián)接兩球等勢(shì)兩球等勢(shì) Ua=Ub，即，即12q bq aab12220044q aq bab12ab121222, ,44qqab面密度面密度1222, qaqbqqabab1212, , abqq電荷由小球電荷由小球b大球大球a或由聯(lián)接前的電勢(shì)高低來(lái)判斷電荷的流向或由聯(lián)接前的電勢(shì)高低來(lái)判斷電荷的流向04bqUb由電荷守恒由電荷守恒聯(lián)接前大球電勢(shì)聯(lián)接前大球電勢(shì)顯然顯然baUU04aqUa小球電勢(shì)小球電勢(shì)由高電勢(shì)的小球由高電勢(shì)的小球b流向低電勢(shì)的大球流向低電勢(shì)的大球a得得122qqq

33、104aaaqC UaU也可將此導(dǎo)體組看作是兩個(gè)孤立導(dǎo)體球的也可將此導(dǎo)體組看作是兩個(gè)孤立導(dǎo)體球的并聯(lián)并聯(lián)，或是外球殼在無(wú)限遠(yuǎn)處的兩個(gè)球形電容器的并聯(lián)。或是外球殼在無(wú)限遠(yuǎn)處的兩個(gè)球形電容器的并聯(lián)。 對(duì)對(duì)(1)也可利用孤立導(dǎo)體球電容公式來(lái)求電荷分布也可利用孤立導(dǎo)體球電容公式來(lái)求電荷分布04aCa204bbbqC UbU12 abUUqbq a04bCb12? ? qq(2)兩球的總電量為兩球的總電量為2q，電勢(shì)均為，電勢(shì)均為10042()abqqUUaab024()aqCabUab04()abCCCab122qqq例：例：一平行板空氣電容器，極板面積為一平行板空氣電容器，極板面積為S，極板間距為，

34、極板間距為d，(1)充充電至兩極板分別帶電為電至兩極板分別帶電為+q和和-q后，斷開(kāi)電源，再把兩板慢慢后，斷開(kāi)電源，再把兩板慢慢拉開(kāi)拉開(kāi)至間距為至間距為2d ，(2)若保持與電源連接以維持電壓為若保持與電源連接以維持電壓為U，再把兩極，再把兩極板慢慢拉至板慢慢拉至2d，求：求：兩種過(guò)程中外力克服電場(chǎng)力所做的功？?jī)煞N過(guò)程中外力克服電場(chǎng)力所做的功？ 解：解：(1)斷開(kāi)電源后，移動(dòng)過(guò)程中極板上的斷開(kāi)電源后，移動(dòng)過(guò)程中極板上的電荷量將保持不變電荷量將保持不變從而板間的場(chǎng)強(qiáng)從而板間的場(chǎng)強(qiáng)也將保持不變也將保持不變000022qES板間的電場(chǎng)能量密度也不變板間的電場(chǎng)能量密度也不變22020122eqwES間

35、距從間距從d到到2d，電場(chǎng)力做負(fù)功，電場(chǎng)力做負(fù)功，202q dAFdS一個(gè)極板受到另一個(gè)極板的電場(chǎng)的吸引力一個(gè)極板受到另一個(gè)極板的電場(chǎng)的吸引力20022qFqS而外力的功而外力的功而電場(chǎng)能量的增量而電場(chǎng)能量的增量20(2)2eeq dWwdd SSA(2)保持電源連接，移動(dòng)過(guò)程中極板間的保持電源連接，移動(dòng)過(guò)程中極板間的電壓將保持不變電壓將保持不變而間距從而間距從d到到2d，電容減半，電容減半00122SCCd0則電場(chǎng)能量的改變量為則電場(chǎng)能量的改變量為22200111224eWCUC UC U 拉開(kāi)極板的過(guò)程中拉開(kāi)極板的過(guò)程中外力做負(fù)功？外力做負(fù)功？在此過(guò)程中除在此過(guò)程中除外力做正功外，由于極板

36、上電荷量的變化，還有外力做正功外，由于極板上電荷量的變化，還有電源在做負(fù)功電源在做負(fù)功(對(duì)電源做功對(duì)電源做功)，從而導(dǎo)致了電場(chǎng)能量的減少。，從而導(dǎo)致了電場(chǎng)能量的減少。過(guò)程中過(guò)程中極板上電量的改變量為極板上電量的改變量為000()/2qCC UC U 把電容器極板上的電荷搬回到電源上，電源做負(fù)功：把電容器極板上的電荷搬回到電源上，電源做負(fù)功：20102C U 1AqU 外力做功為外力做功為21eAWA 222202000111()04244SUAC UC UC Ud 例：例：一平行板電容器，極板面積為一平行板電容器，極板面積為S，極板間距為，極板間距為d，求：求：電容器能量的變化？電容器能量的變

37、化？ u充電后斷開(kāi)電源，保持其充電后斷開(kāi)電源，保持其電量電量q不變不變，將一塊厚為將一塊厚為b(0)，放在光滑的水平面上。環(huán)內(nèi)外分布有垂直環(huán)面，放在光滑的水平面上。環(huán)內(nèi)外分布有垂直環(huán)面向上的均勻磁場(chǎng)向上的均勻磁場(chǎng)B，若將圓環(huán)以角速度，若將圓環(huán)以角速度 繞著通過(guò)圓心的繞著通過(guò)圓心的豎直軸勻速旋轉(zhuǎn)，豎直軸勻速旋轉(zhuǎn)，求：求：環(huán)上因轉(zhuǎn)動(dòng)而形成的環(huán)上因轉(zhuǎn)動(dòng)而形成的附加附加張力。張力。B 分析：分析：此帶電圓環(huán)靜止時(shí)，環(huán)上各處的此帶電圓環(huán)靜止時(shí)，環(huán)上各處的電荷之間會(huì)有電場(chǎng)力的作用，為維持平電荷之間會(huì)有電場(chǎng)力的作用，為維持平衡，環(huán)上已經(jīng)有張力存在。衡，環(huán)上已經(jīng)有張力存在。本題要求的是，當(dāng)環(huán)旋轉(zhuǎn)后，會(huì)形成圓本

38、題要求的是，當(dāng)環(huán)旋轉(zhuǎn)后，會(huì)形成圓電流，磁場(chǎng)對(duì)圓環(huán)就有安培力的作用，電流，磁場(chǎng)對(duì)圓環(huán)就有安培力的作用，環(huán)上又需要一個(gè)附加的張力環(huán)上又需要一個(gè)附加的張力: 抵消安培力、提供向心力抵消安培力、提供向心力dFIdlBdFBIdl徑向向外徑向向外dF其中電流強(qiáng)度其中電流強(qiáng)度QIT2T2Q2BQdFdldlRd2BQ RdFddF如俯視圖示如俯視圖示d BBR設(shè)設(shè)dl 兩端的附加張力為兩端的附加張力為T(mén)，TTd 2d 2sin22ddTT如圖，如圖，T與水平虛線夾角為與水平虛線夾角為12dT 沿俯視圖中沿俯視圖中“豎直豎直”方向的分量方向的分量為為由牛頓第二定律由牛頓第二定律222dTdFRdm2mdmd

39、222BQ RmTddRd()2RTmBQ若為通有電流若為通有電流I 的載流圓環(huán)的載流圓環(huán)202dTdFTBIR圓環(huán)不旋轉(zhuǎn)，無(wú)向心力圓環(huán)不旋轉(zhuǎn)，無(wú)向心力dFBIdlBIRd例：例：如圖，空間分布著足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)如圖，空間分布著足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，其方向垂，其方向垂直屏幕向里，磁場(chǎng)中有兩點(diǎn)直屏幕向里，磁場(chǎng)中有兩點(diǎn)a和和b，相距為，相距為l，ab連線水平連線水平且與且與B垂直，一質(zhì)量為垂直，一質(zhì)量為m，電量為，電量為q(0)的粒子從的粒子從a點(diǎn)以水點(diǎn)以水平初速平初速v0對(duì)著對(duì)著b點(diǎn)射出，考慮粒子的重力，點(diǎn)射出，考慮粒子的重力，問(wèn)：?jiǎn)枺阂沽Ｗ右沽Ｗ幽芙?jīng)過(guò)能經(jīng)過(guò)b點(diǎn)，點(diǎn)，v0有哪些可能取值？有哪

40、些可能取值？B解：解：洛倫茨力與重力平衡時(shí)洛倫茨力與重力平衡時(shí)abm, q, v0勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)0Bqvmg由于重力，也不會(huì)是圓周運(yùn)動(dòng)。由于重力，也不會(huì)是圓周運(yùn)動(dòng)。0mgvBq此解記為此解記為v01，還有沒(méi)有其他可能？，還有沒(méi)有其他可能？若若v0v01，上偏，上偏，若若v0v01，可將初速，可將初速v0分解為分解為若若v01，外半徑為外半徑為R2，求：求：(1)磁介質(zhì)中任一點(diǎn)的磁介質(zhì)中任一點(diǎn)的B，H，M；(2)磁介質(zhì)內(nèi)外表面的磁化電流密度。磁介質(zhì)內(nèi)外表面的磁化電流密度。解：解：(1)利用利用H的安培環(huán)路定理的安培環(huán)路定理三者同向且與三者同向且與I成右手螺旋成右手螺旋2H dlHrI2

41、IHr(1)(1)2rmrIMHHr002rrIBHr 1Rr2RIrH根據(jù)對(duì)稱性，取半徑為根據(jù)對(duì)稱性，取半徑為r的的逆時(shí)針逆時(shí)針圓形回路圓形回路沿環(huán)路沿環(huán)路H與與dl 同向同向與與H 同向同向r1，順磁質(zhì)，與，順磁質(zhì)，與H同向同向,磁化強(qiáng)度磁化強(qiáng)度1Rr2RIr(2) 磁化電流密度磁化電流密度1(1)2rIiR iMn tMM內(nèi)表面內(nèi)表面向上；向上；2(1)2rIiR 外表面外表面向下向下II(1)2rIMr利用利用B的安培環(huán)路定理的安培環(huán)路定理0d2()LBlBrII ()2IIBr0r2IBr rIII r(1) ,II包括了磁介質(zhì)包括了磁介質(zhì)內(nèi)表面內(nèi)表面上的磁化電流上的磁化電流I12I

42、iR 22IiR R1rR2與與I 同向同向外表面處，同為外表面處，同為I，但反向，但反向內(nèi)表面處內(nèi)表面處取與取與x軸夾角為軸夾角為，寬為，寬為Rd的環(huán)帶，的環(huán)帶，siniM nRrx例：例：半徑為半徑為R的介質(zhì)球均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為的介質(zhì)球均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為M，求：求：磁化電流在球心磁化電流在球心O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。解：解：要求磁場(chǎng)，首先要求磁化電流要求磁場(chǎng)，首先要求磁化電流介質(zhì)表面磁化電流密度介質(zhì)表面磁化電流密度iMn sinMRd xMO磁化電流強(qiáng)度磁化電流強(qiáng)度dIi Rd此磁化圓環(huán)電流在此磁化圓環(huán)電流在(距離距離環(huán)心環(huán)心為為x的的)球心球心O產(chǎn)生的磁場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)3000

43、2sin23MBdM 222sin , rRrxR2032222()r dIdBrx30sin2Md 整個(gè)球面在球心產(chǎn)生的磁場(chǎng)整個(gè)球面在球心產(chǎn)生的磁場(chǎng)這只是磁化電流的磁場(chǎng)，未包括外磁場(chǎng)。這只是磁化電流的磁場(chǎng)，未包括外磁場(chǎng)。與與M同向，同向，則其上的磁化電流密度為則其上的磁化電流密度為 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算例：例：在勻強(qiáng)磁場(chǎng)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，有長(zhǎng)為中，有長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒，與磁場(chǎng)方向的導(dǎo)體棒，與磁場(chǎng)方向夾角為夾角為 ，固定棒的，固定棒的O端，使其繞磁場(chǎng)方向作勻加速轉(zhuǎn)端，使其繞磁場(chǎng)方向作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)體棒與磁場(chǎng)夾角始終為動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)體棒與磁場(chǎng)夾角始終為 ，要使棒要使棒兩端的

44、電勢(shì)差增加率為兩端的電勢(shì)差增加率為c，求：求：轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度b b LOB電勢(shì)差增加率電勢(shì)差增加率動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的增加率動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的增加率解：解：導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)切割磁力線導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)切割磁力線動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)如圖在棒上如圖在棒上l處取微元處取微元dl，vBvB/2/2對(duì)此微元對(duì)此微元cos(2)vBdl()dvBdlEsinvrl2sinBldl對(duì)整個(gè)棒對(duì)整個(gè)棒222001()sinsin2LLvBdlBldlBLE222211sinsin22ddcBLBLdtdtb E222sincBLbdlc例：例：如圖，用長(zhǎng)為如圖，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)金屬絲的細(xì)金屬絲OP和絕緣擺球和絕緣擺球P構(gòu)成一

45、個(gè)圓錐構(gòu)成一個(gè)圓錐擺，擺，P作水平作水平勻速勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)金屬絲與豎直線的夾角為圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)金屬絲與豎直線的夾角為 ，空，空間中存在向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)間中存在向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，問(wèn)：?jiǎn)枺涸谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中，金屬絲兩端在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，金屬絲兩端電勢(shì)電勢(shì)差差的最小值與最大值？的最小值與最大值？解：解：金屬絲切割磁力線金屬絲切割磁力線動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)B LOPdl設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)為逆時(shí)針，其角速度為設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)為逆時(shí)針，其角速度為在不同位置，在不同位置， 的大小會(huì)不同的大小會(huì)不同vBab在在a、b兩處兩處0vB0OPUE200()sincossincos2LLLvBdllBdlBEd而在而在c、d兩處，兩處，vB|sinvBv

46、BlBvBvB如圖其方向或上、或下，與如圖其方向或上、或下，與dl 的夾角總為的夾角總為 ，以以c處為例處為例cosTmg2cosgL2sinsinTmL1cossin2BL gLE此為最小值此為最小值例：例：一無(wú)限長(zhǎng)圓柱，與軸平行地挖出一個(gè)圓柱空間，一無(wú)限長(zhǎng)圓柱，與軸平行地挖出一個(gè)圓柱空間，兩圓柱軸的距離兩圓柱軸的距離OO=d，如圖，兩圓柱，如圖，兩圓柱間間區(qū)域存在隨時(shí)區(qū)域存在隨時(shí)間線性增長(zhǎng)的均勻磁場(chǎng)間線性增長(zhǎng)的均勻磁場(chǎng)B=kt，k為常數(shù)。若在空腔中有為常數(shù)。若在空腔中有一與一與OO成成60角，長(zhǎng)為角，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬桿的金屬桿AOB，求：求：此此桿上的感生電動(dòng)勢(shì)。桿上的感生電動(dòng)勢(shì)。OOBA分析

47、：分析：感生電動(dòng)勢(shì)感生電動(dòng)勢(shì)感生電場(chǎng)感生電場(chǎng)變化磁場(chǎng)變化磁場(chǎng)帶電帶電無(wú)限長(zhǎng)空無(wú)限長(zhǎng)空腔圓柱體腔圓柱體腔內(nèi)的腔內(nèi)的02aE通有電流通有電流02Bj d?E 均均勻勻解：解：補(bǔ)償法補(bǔ)償法, 大圓柱大圓柱(B向內(nèi)向內(nèi))+小圓柱小圓柱(B向外向外)取腔內(nèi)任意一點(diǎn)取腔內(nèi)任意一點(diǎn)P，設(shè)，設(shè)OP=r，OP=rPOOrdr大圓柱中向內(nèi)的變化磁場(chǎng)在大圓柱中向內(nèi)的變化磁場(chǎng)在P點(diǎn)產(chǎn)生的點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)電場(chǎng)12r dBEdt22r dBEdt小圓柱中，小圓柱中，向外向外的變化的變化磁場(chǎng)在磁場(chǎng)在P點(diǎn)產(chǎn)生的點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)電場(chǎng)POOrdr1E2EOOBAP點(diǎn)的總感生電場(chǎng)點(diǎn)的總感生電場(chǎng)2d dBEdt12EEE總方向如圖方向如圖(

48、左手左手)其大小其大小2212122cosEEEE E2222cosdrrrr222cos2rrdrrrr相似相似，方向與方向與d垂直垂直勻強(qiáng)勻強(qiáng) BAO BAE dlE3cos3024d dBLkLddtEBkt12dBEddt 對(duì)感應(yīng)電流的磁場(chǎng)力對(duì)感應(yīng)電流的磁場(chǎng)力例：例：如圖，一螺線管鉛直放置，通有如圖，一螺線管鉛直放置，通有直流直流電，有一導(dǎo)體電，有一導(dǎo)體圓環(huán)沿螺線管軸線下落，下落過(guò)程環(huán)面恒保持水平，則圓環(huán)沿螺線管軸線下落，下落過(guò)程環(huán)面恒保持水平，則圓環(huán)經(jīng)過(guò)圖中圓環(huán)經(jīng)過(guò)圖中A、B、C三點(diǎn)時(shí)，加速度大小滿足三點(diǎn)時(shí)，加速度大小滿足 ( )E ElAlClB(A) aAaBaC(C) aCaA

49、aB(D) aBaAaC(B) aAaCvACACAFFaaC例：例：一半徑為一半徑為r的金質(zhì)的金質(zhì)圓環(huán)圓環(huán)豎立于兩磁極間，設(shè)環(huán)下端豎立于兩磁極間，設(shè)環(huán)下端因限制而不能在磁極上滑動(dòng)，因限制而不能在磁極上滑動(dòng)，現(xiàn)受到一擾動(dòng)，使現(xiàn)受到一擾動(dòng)，使環(huán)面環(huán)面偏偏離豎直面離豎直面0.1弧度弧度，并并開(kāi)始倒下。已知磁場(chǎng)為開(kāi)始倒下。已知磁場(chǎng)為B，環(huán)重為，環(huán)重為G，環(huán)的，環(huán)的截面半徑截面半徑為為b，金的電導(dǎo)率為，金的電導(dǎo)率為 ，設(shè)倒下過(guò)程中，設(shè)倒下過(guò)程中重力矩始終與磁力矩平衡，重力矩始終與磁力矩平衡，求：求：環(huán)倒下所需的時(shí)間。環(huán)倒下所需的時(shí)間。分析：分析：環(huán)倒下環(huán)倒下/2，建立，建立 t 關(guān)系關(guān)系B NS解：解

50、：當(dāng)夾角為當(dāng)夾角為 時(shí)的磁通量為時(shí)的磁通量為環(huán)倒下過(guò)程中，穿過(guò)環(huán)面的磁通量環(huán)倒下過(guò)程中，穿過(guò)環(huán)面的磁通量發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)發(fā)生變化，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)圓環(huán)圓環(huán)感應(yīng)電流感應(yīng)電流磁力矩磁力矩引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為22( )cos(2)sinr Br B2cosddr BdtdtE21cosdIr BRRdtE221 22rrRbb 感應(yīng)電流感應(yīng)電流2cos2bdrBdt由電阻定律由電阻定律2|sin(2)cosmBISBI r B此圓電流在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受到的磁力矩大小為此圓電流在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受到的磁力矩大小為22 32222 22222 22/2/20.10.1coscos2s

51、in2sinbr Bbr Bbr BtddGrGG 22322cos2bdr Bdt倒下過(guò)程中，兩力矩平衡倒下過(guò)程中，兩力矩平衡方向與重力矩相反方向與重力矩相反NS22322cossin2bdr BGrdtB G例：例：勻強(qiáng)磁場(chǎng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，固定著兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌，中，固定著兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌，如圖，導(dǎo)軌上橫放著兩根質(zhì)量均為如圖，導(dǎo)軌上橫放著兩根質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為，長(zhǎng)度均為l，電阻，電阻均為均為R的金屬棒，它們與導(dǎo)軌構(gòu)成矩形回路，忽略導(dǎo)軌的金屬棒，它們與導(dǎo)軌構(gòu)成矩形回路，忽略導(dǎo)軌上的電阻，設(shè)兩棒可以在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦的滑動(dòng)，初始兩上的電阻，設(shè)兩棒可以在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦的滑動(dòng)，初始兩棒相

52、距棒相距x0，左棒，左棒cd靜止，右棒靜止，右棒ab具有向右的初速度具有向右的初速度v0求：求：(1)之后兩棒的運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化關(guān)系；之后兩棒的運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化關(guān)系；l0vBabdc(2)兩棒之間的最大距離。兩棒之間的最大距離。x0分析：分析：右棒向右運(yùn)動(dòng)切割磁力線，右棒向右運(yùn)動(dòng)切割磁力線，產(chǎn)生向上產(chǎn)生向上(逆時(shí)針逆時(shí)針)的電流，的電流，I向左的安培向左的安培(阻阻)力力右棒減速右棒減速1F左棒中電流向下左棒中電流向下向右的安培力向右的安培力F2=BIlI2F左左棒中產(chǎn)生向上棒中產(chǎn)生向上(順時(shí)針順時(shí)針)的電動(dòng)勢(shì)的電動(dòng)勢(shì)左左棒向右運(yùn)動(dòng)棒向右運(yùn)動(dòng)=F1方向相反方向相反解：解：(1)設(shè)右棒設(shè)

53、右棒ab的速度為的速度為v1，左棒，左棒cd的速度的速度v2結(jié)合初始條件結(jié)合初始條件t=0時(shí)，時(shí)，v1=v0，v2=0對(duì)上式積分可得對(duì)上式積分可得每個(gè)棒受到的安培力為每個(gè)棒受到的安培力為感應(yīng)感應(yīng)電流電流回路中的總電動(dòng)勢(shì)回路中的總電動(dòng)勢(shì)l0vBabdcx0I1FI2F201vvv21dvdv 12BlvBlvE1222vvIBlRRE2 21122dvvvmB ldtR2 2122vvFBIlB lR對(duì)右棒安培力為阻力對(duì)右棒安培力為阻力2 22122dvvvmB ldtR對(duì)左棒對(duì)左棒比較兩式，可得比較兩式，可得對(duì)右棒對(duì)右棒2 21011()2vvvdvmB ldtR2 21002lnvvB lt

54、mRv積分積分102 2101022tvvdvB ldtmRvvl0vBabdcx0I1FI2F兩棒的同速時(shí)，兩棒的同速時(shí)，2 201(1)2B ltmRvve2 20201(1)2B ltmRvvvve右棒右棒左棒左棒(2)兩棒間的最大距離兩棒間的最大距離設(shè)共同速度為設(shè)共同速度為v由于由于F2=F1，兩棒的合力為，兩棒的合力為0，02vv 120120()txxxxvv dt 動(dòng)量守恒，動(dòng)量守恒，mv0=2mv此即上兩式中當(dāng)此即上兩式中當(dāng)t時(shí)的情況，最終兩棒勻速時(shí)的情況，最終兩棒勻速設(shè)某時(shí)刻設(shè)某時(shí)刻t 兩棒位置分別為兩棒位置分別為x1和和x21010txxv dt1222 22()mRvv

55、dtdvB l220txv dt2 22122dvvvmB ldtR00202 22 202vmRvmRxxdvxB lB l 兩棒間的最大距離兩棒間的最大距離 自感與互感自感與互感例：例：一截面為矩形的螺繞環(huán)，內(nèi)外半徑分別為一截面為矩形的螺繞環(huán)，內(nèi)外半徑分別為a和和b，高為高為h，匝數(shù)為，匝數(shù)為N，求求：(1)螺繞環(huán)的自感系數(shù)；螺繞環(huán)的自感系數(shù)；(2)在螺繞環(huán)軸線處放一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，在螺繞環(huán)軸線處放一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，當(dāng)當(dāng)螺繞環(huán)中通以螺繞環(huán)中通以交變電流交變電流I1=I0sin t時(shí)，時(shí)，求：求：長(zhǎng)直導(dǎo)線中的長(zhǎng)直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：解：(1)設(shè)通有一電流設(shè)通有一電流I，管內(nèi)的總磁通量，管內(nèi)的總磁通量20ln2N hbLIa200ln22baNIN hIbNNhdrra 螺繞環(huán)的自感系數(shù)螺繞環(huán)的自感系數(shù)(2)可認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在無(wú)限遠(yuǎn)處閉合，匝數(shù)為可認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線在無(wú)限遠(yuǎn)處閉合，匝數(shù)為1通過(guò)螺繞環(huán)截面的磁通量通過(guò)螺繞環(huán)截面的磁通量 也就是通過(guò)直導(dǎo)線的磁通量也就是通過(guò)直導(dǎo)線的磁通量通電的通電的螺繞