2016年北京大學博雅計劃數(shù)學試題

1、2016年北京大學博雅計劃數(shù)學試題選擇題共20小題；在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把正確選項的代號填在表格中，選對得5分，選錯扣1分，不選得0分.1.直線與曲線相切，則的值為（ ）a -3 b -2 c -1 d 前三個答案都不對2.已知三角形的三邊長分別為，有以下4個命題：以為邊長的三角形一定存在；以為邊長的三角形一定存在；以為邊長的三角形一定存在；以為邊長的三角形一定存在，其中正確命題的個數(shù)為（ ）a 2 b 3 c 4 d 前三個答案都不對3.設是圓的兩條互相垂直的直徑，弦交于點，則等于（ ）a b c d 前三個答案都不對4.函數(shù)，則滿足且的的個數(shù)為（ ）a 12 b

2、13 c 14 d 前三個答案都不對5.若方程的根也是方程的根，則的值為（ ）a -13 b -9 c -5 d 前三個答案都不對6.已知，則等比數(shù)列的公比是（ ）a b c d 前三個答案都不對7. 計算的值為（ ）a b c d 前三個答案都不對8.設為實數(shù)，方程的兩個虛根滿足為實數(shù)，則等于（ ）a 1 b 0 c d 前三個答案都不對9.將12個不同的物體分成3堆，每堆4個，則不同的分法種類為（ ） a 34650 b 5940 c 495 d 前三個答案都不對10. 設是以為直徑的圓上的一點，是線段上的點，是延長線上的點，已知，則的長為（ ）a 11 b 12 c 13 d 前三個答案

3、都不對11. 兩個圓內切于點,大圓的弦與小圓切于點，已知，則的長為（ ）a 24 b 25 c 26 d 前三個答案都不對12. 是定義在上的函數(shù)，且對任意實數(shù)均有，則等于（ ）a 0 b c d 前三個答案都不對13.從一個正9邊形的9個頂點中選3個使得它們是一個等腰三角形的三個頂點的方法數(shù)是（ ） a 30 b 36 c 42 d 前三個答案都不對 14. 已知正整數(shù)滿足，則有可能等于（ ）a 101 b 301 c 401 d 前三個答案都不對15. 三個不同的實數(shù)滿足，則等于（ ）a -1 b 0 c 1 d 前三個答案都不對16.已知，則的最大值與最小值的乘積屬于區(qū)間（ ）a b c

4、 d 前三個答案都不對17.在圓內接四邊形中，則四邊形的面積等于（ ） a b c d 前三個答案都不對18. 除以100所得的余數(shù)為（ ）a 3 b 13 c 27 d 前三個答案都不對19.方程組的實數(shù)解的組數(shù)為（ ）a 5 b 6 c 7 d 前三個答案都不對20.方程的所有實根的平方和等于（ ）a 0 b 2 c 4 d 前三個答案都不對2016年北京大學博雅計劃數(shù)學試題答案abcda bdbda bcabd cbbcc 略解：1.由于，于是切點橫坐標為，從而有，解得.2.不妨假設正確，因為有； 錯誤，即為反例；正確，因為有；正確，因為有3.如圖，連接，由于與相似，因此，從而，因此4.

5、滿足且的的個數(shù)為11，分別為。5.根據(jù)題意，有，于是，從而。6.令，則成等比數(shù)列，從而，進而可得公比為.7.根據(jù)題意，有=8.因為一元二次方程的虛根必然共軛，因此可設，從而為實數(shù)，所以，于是，所以.9.不同分法數(shù)有.10.因為,于是，又因為，于是，故，解得，從而11.如圖，設與小圓交于點，連接，為兩圓在處的公切線，由弦切角定理得:,又,所以,因此由角平分線定理可得：,從而可得12.分別令，可得，解得，再令，可得：，從而13.以正9邊形的某個頂點為等腰三角形的底邊所對頂點的等腰三角形有4個，其中有一個是等邊三角形，因此所有的方法數(shù)為14.考慮。則于是不是質數(shù)即可，如于是取可得答案15.設，則是關于的方程的三個實根，其中為常數(shù)，由韋達定理可知。16.設函數(shù)，則其導函數(shù)，做出函數(shù)的圖像，函數(shù)在處的切線，以及函數(shù)的圖像過點和的割線，如圖于是可得，左側等號當或時取得；右側等號當時取得，因此原式的最大值為，當時取得；最小值為，當時取得，從而原式最大最小值的乘積.17.如圖，連接，有且,則有托勒密定理可得,即,于是,進而.18.由于當且時，于是19.順次記方程中的方程為，則-2可得