人教版高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案

1、1.1.2余 弦 定 理 1一、教學(xué)內(nèi)容 分析余弦定理第一課時；通過利用平面幾何法, 坐標(biāo)法 兩點(diǎn)的距離公式 ,向量的模 , 正弦定理等方法推導(dǎo)余弦定理，正確懂得余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，初步體會余弦定懂得決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，懂得余弦定理是勾股定理的特例 ,從多視角摸索問題和發(fā)覺問題，形成良好的思維品質(zhì), 激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和深厚的愛好，培育同學(xué)思維的寬闊性；二、同學(xué)學(xué)習(xí)情形分析本課之前，同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式, 三角函數(shù)、向量基本學(xué)問和正弦定理有關(guān)內(nèi)容， 對于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的熟悉；在此基礎(chǔ)上利用多種方法探求余弦定理，同學(xué)已有肯定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)愛好；

2、三、教學(xué)目標(biāo)連續(xù)探究三角形的邊長與角度間的詳細(xì)量化關(guān)系、把握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會多種方法特殊是向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過例題運(yùn)用余弦定懂得決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；懂得余弦定理是勾股定理的特例， 懂得余弦定理的本質(zhì)；四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的證明過程特殊是向量法與坐標(biāo)法及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：用正弦定理推導(dǎo)余弦定理的方法五、教學(xué)過程：1. 學(xué)問回憶正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a sin ab sinbc sinc正弦定理可以解什么類型的三角形問題？1 已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角aas,asa ；2 已知兩邊和其中

3、一邊的對角，可以求出三角形的其他的一邊和另外兩角ssa ；2. 提出問題已知三角形兩邊及其夾角如何求第三邊？sas 問題 在三角形abc中, 已知邊 a,b, 夾角 c, 求邊 cabcacba3. 解決問題通過預(yù)習(xí)由同學(xué)給出自己的證明方法； 同學(xué)甲：利用和正弦定理證明相像的方法法一：平面幾何法（作高法）a解 : 過a點(diǎn)作 adbc交bc于點(diǎn) dbcadb sin c ,cdb coscabdbccdab cosc在直角三角形abc中,由勾股定理得cd abc2b sin c 2ab cos c 2c2a2b 22ab cosc同學(xué)乙：由于涉及邊長問題， 可考慮求兩點(diǎn)的距離； 利用坐標(biāo)法來推導(dǎo)

4、余弦定理：法二：坐標(biāo)法解: 以 c 為原點(diǎn) ,bc 為 x 軸建立直角坐標(biāo)系ycb cos ca 2b sin c02abcosc,bsinc bccb2 cos2 c2abcosca2b2 sin2 cac2a 2b22ab cos ccba,0ax同學(xué)丙：由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來討論這個問題；利用向量法推導(dǎo)余弦定理：法三：向量法解：令cab, cba, abca由三角形法就有cabbca| c | c |2c22c22aba2b2 ab 2cb2a ba2ab cosc老師：由于我們才學(xué)習(xí)了正弦定理，那么用正弦定理可以證明余弦定理嗎？法四：ac由得c sinaa sin c1

5、sin asin c利用b同理c sin bbsin c ca代入2消去角 b得ccos aba cos c23利用12 +3 2消去a即得證法五：求證 : c2a2b22ab cosc證明 : 右邊c2rsin a2 ab 2 rsin b 28r2 sin asin b cosc右邊4r2 sin2 ab法六：利用 c由c2r sin c 證明 ab得c24r2 sin 2acos2 bcos2asin2 b2sina cos asin b cosb把 cos2 a1sin2a,cos2 b1sin2b代入得c2a2b 22ab cosc4. 歸納概括余弦定理： a 2b 2c 22bc

6、cos ab 2a 2c 2c 2a 2b 22 ac cos b 2 ab cos c作用： sas問題三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍；推論：cos acos bb 2c2a2 2bca 2c2b2 2 ac作用： sss（已知三邊求三個夾角）cosca2b 2c2 2ab5余弦定理的簡潔應(yīng)用例 1：.在三角形abc 中,已知 b=8,c=3,a=60 0（1）求 a;(2) 求三角形中最大角的余弦值;(3) 判定三角形的外形. 用銳角 , 鈍角 , 直角三角形回答解: 1由a2b2c22bc cosa得a28232a7283cos60492由

7、bac得角b最大c2b24996412ac02737a2cosb=3cosbb90所以abc為鈍角三角形 .6余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理是一般三角形中邊與角的平方關(guān)系，引導(dǎo)同學(xué)聯(lián)想到勾股定理；余弦定理勾股定理c2a 2b22 ab cos c有關(guān)系嗎 .c2a2b 2例 2：用>,<,= 填空(1) 在abc中當(dāng),c為銳角時 , a2b2c2(2) 在abc中,當(dāng)c為直角時,a 2b2c2(3) 在abc中,當(dāng) c為鈍角時 , a2b2c2例2. 解 :1當(dāng)0c90 時,cos c0c2a2b22ab cosca2b22當(dāng)c90 時,cos c0c2a2b22ab cosca2b23當(dāng)90c180 時,cos c0c2a2b22ab cosca2b2勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理就指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系； 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例7. 課堂小結(jié)22c=a + b2 2abco