人教版高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納2

1、等差數(shù)列一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n 項(xiàng)和求法；1. 設(shè)數(shù)列a的前 n 項(xiàng)和為s 已知 a5 ， as3n ， nn *設(shè) bs3n ，求數(shù)列nnbn的通項(xiàng)公式；1n 1nnn解： 依題意，ssas3n ，即 s2s3n ，n 1nn 1nn 1n由此得sn 13n 12 sn3n 因此，所求通項(xiàng)公式為b ns- 3n2 n ；n2設(shè)數(shù)列 an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12 ，前三項(xiàng)的積為48 ，就它的首項(xiàng)為23已知等差數(shù)列 a 的公差 d0 ，且 a , a , a 成等比數(shù)列，就a1a3a913 n【考點(diǎn)梳理】139a2a4a10161. 在解決等差數(shù)列問題時(shí)，如已知，a1

2、 ，an， d，2. 補(bǔ)充的一條性質(zhì)sn ， n 中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)；1）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列有：s奇nssaa， s奇偶2n1a1n中s偶n2 n 1n2）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n 的等差數(shù)列有：s奇an， ssndsn aas偶an 1偶奇2 nnn 1an 1a nd（定義）3. 等差數(shù)列的判定： an 為等差數(shù)列2an 1a na n 2ananb（關(guān)于n的“一次函數(shù)”）nsan 2bn（缺常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”）即： ana n 1and d為常數(shù)）2anan 1an 1 n2, nn *anknbsan 2bn ；n4. 三個(gè)數(shù)成等差可設(shè)：a， a d， a 2d 或 a d， a

3、，a d；四個(gè)數(shù)成等差可設(shè)：a 3d， a d， a d， a 3d.5等差數(shù)列與函數(shù)：1）等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式：an= a 1+n-1d=d·n+ a 1-d, an 是關(guān)于 n 的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（ n,a n ）勻稱排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.k=d= anna1 ， d= an1nam ，由此聯(lián)想點(diǎn)列（n， an）所在直線的m斜率 . 2） 點(diǎn) n, sn 在沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)spn 2qn 上；其中，公差不為0.n6. 等差數(shù)列前n 項(xiàng)和最值的求法

4、（結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)懂得）1）如等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10 ，公差 d0 ，就前 n 項(xiàng)和sn 有最大值；（）如已知通項(xiàng)an ，就sn 最大an0；an 10（）如已知spn2qn ，就當(dāng) n 取最靠近q的非零自然數(shù)時(shí)2 psn 最大；n2）如等差數(shù)列an的首項(xiàng)a10 ，公差 d0 ，就前 n 項(xiàng)和sn 有最小值（）如已知通項(xiàng)an ，就sn 最小an0；an 10第 1 頁 共 4 頁（）如已知spn2qn ，就當(dāng) n 取最靠近q的非零自然數(shù)時(shí)2 psn 最??；n7. 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式、性質(zhì)等等差數(shù)列定義a n 為等差數(shù)列an+1-a n=d（常數(shù)），n n+2an=an

5、-1 +an+1（ n 2， n n+）1） a n = a1 +（ n-1 ） d= a k +（ n-k ） d； a n =dn + a1 -d 2）推廣： an=am+（ n m） d.knb通項(xiàng)公式an3）變式： a1=an（ n 1）d，d=nan）所在直線的斜率.a1 ，d= an1nam ，由此聯(lián)想點(diǎn)列 （ n，m1） snna12a n na1n n21 dd n 22a1d n 2an 2bn求和公式2）變式：d ） .2a1an 2= sn = a1a2nnan =a1+（ n1）·d =an+（ n 1）·（2ac等差中項(xiàng)1）等差中項(xiàng)： 如 a、b、

6、c 成等差數(shù)列， 就 b 稱 a 與 c 的等差中項(xiàng)， 且 b=2；a、b、 c 成等差數(shù)列是2b=a+c 的充要條件 .2 ）推廣： 2 a n = an ma n m1mnlkamanalak 反 之 不 一 定 成 立 ； 特 別 地 , 當(dāng)mn2 p 時(shí) , 有 aman2ap ；特例： a1+an=a2+an-1=a3+an-2 =；重2下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng) ak ，ak +m，ak+2 m，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為md.要3sn , s2nsn , s3 ns2 n成等差數(shù)列；a na14dn1a ma n mnmn性5d0增an 為遞增數(shù)列減d0質(zhì)性d0an 為常數(shù)

7、列an 為遞減數(shù)列其1an=am+（ n m）d.2如數(shù)列 an 是公差為d 的等差數(shù)列，就數(shù)列 an+b （ 、b 為常數(shù)）是它公差為 d 的等差數(shù)列； 如 bn 也是公差為d 的等差數(shù)列， 就 1an+ 2bn（ 1、 2 為常數(shù)）也是等差數(shù)列且公差為 1d+ 2d.性3an=an+b，即 an 是 n 的一次型函數(shù)，系數(shù)a 為等差數(shù)列的公差；2sn=an +bn，即 sn 是 n 的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；質(zhì)三、合作探究：題型 1等差數(shù)列的基本運(yùn)算例 1在等差數(shù)列 a n 中，1 已知 a15 10， a45 90，求 a60；2 已知 s12 84， s20 460，求 s28；3 已知

8、 a6 10， s5 5，求 a8 和 s8第 2 頁 共 4 頁解： 1 方法一：a15 a4582aa 1 14d1013a 1 44d90d83a60 a1 59d 130方法 2da nama 45a158 ，an am n mda60 a45 60 45d 9015×8 130nm4515312 2 a312b84a2n2 不妨設(shè) s an2 bn，2202 a20 b460b172sn 2n 17ns282×2817×28 10923 s6 s5a6 5 1015，又 s66a1a 6 6a110156 a110即 a1 5而 d a6a1322261

9、8 a1 a 8a8 a6 2 d 16s8 442變式訓(xùn)練1設(shè) an 為等差數(shù)列， sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，已知 s7=7，s15 =75，tn 為數(shù)列 sn n的前 n 項(xiàng)和，求tn.解： 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d，就 sn=na1+ 1 n（ n1） d. s7=7， s15=75，27a115a1 sn =a21d 105d17,a1即75,a13d1,7d5.1解得 a1= 2， d=1.n51+（ n1） d= 2+n22（ n 1） =.2 sn 1 sn = 1 .數(shù)列 sn 是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為1 .n tn=1n2n221 n 9 n.44小結(jié)與拓

10、展： 基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)，公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等；等差數(shù)列中，已知五個(gè)元素a1， an， n，d， sn 中的任意三個(gè)，便可求出其余兩個(gè) .題型 2等差數(shù)列的判定與證明*例 2已知數(shù)列 an 滿意 2an1 an an2 n n ，它的前n 項(xiàng)和為 sn，且 a3 5， s6 36.求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；解： 2an 1 an an 2， an 是等差數(shù)列，設(shè) an 的首項(xiàng)為a1，公差為d，a1 2d 5由 a3 5， s6 36 得6a1 15d36，解得 a11， d 2. an2n 1.nan變式訓(xùn)練2在數(shù)列 an 中， a11， an 1 2a

11、n 2 . 設(shè) bn 2n 1，證明：數(shù)列 bn 是等差數(shù)列；nnan 12an 2an證明： 由已知 an 1 2an 2得 bn 1 2n 2n 2n 11 bn 1.又 b1 a11，因此 b n 是首項(xiàng)為 1，公差為1 的等差數(shù)列小結(jié)與拓展：證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法是：1）利用定義，證明an an 1（ n 2）為常數(shù)； 2）利用等差中項(xiàng)，即證明2an=an 1+an+1（ n 2） .題型 3等差數(shù)列的性質(zhì)例 3設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)及公差均是正整數(shù)，前n 項(xiàng)和為sn ，且a11 ， a46 ，s312 ，就a2021 =_ _ 答案： 4020變式訓(xùn)練3在等差數(shù)列 a

12、n 中，已知log 2 a5a9 3，就等差數(shù)列 an 的前 13 項(xiàng)的和第 3 頁 共 4 頁s13 . 答案： 523解： log 2 a5 a9 3， a5 a9 2 8. s1313× a1 a13213× a5 a9213× 8252.小結(jié)與拓展： 解決等差（比）數(shù)列的問題時(shí)，通常考慮兩類方法：基本量法，即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于 a1 和 d（ q）的方程；奇妙運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)（如下標(biāo)和的性質(zhì)、子數(shù)列的性質(zhì)、和的性質(zhì)） . 一般地，運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，可化繁為簡(jiǎn) .題型 4 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和及最值問題例 4 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 sn

13、，已知 a3=12，s12 0， s13 0.（ 1）求公差d 的取值范疇；（ 2）指出 s1， s2，s3， s12 中哪一個(gè)最大，并說明理由.解：（ 1）a3=12，a1=12 2d，解得 a12 =12+9d，a13=12+10d. 由 s12 0，s13 0，即12a1a12 2 0，且13a1a13 2 0，解之得24 d 3.7（ 2）易知 a7 0， a6 0，故 s6 最大 .變式訓(xùn)練4 設(shè)等差數(shù)列時(shí),n 等于 a an的前 n 項(xiàng)和為sn , 如 a111 , a4a66 , 就當(dāng)sn 取最小值a 6b 7c 8d9【解析】 設(shè)該數(shù)列的公差為d ，就 a4a62a18d211

14、8d6 ，解得 d2 ，所以 sn11nnn122n 212nn6 236 ，所以當(dāng) n6 時(shí)，sn 取最小值；小結(jié)與拓展： 等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為sn ，在 d0 時(shí)，有最大值 .如何確定使sn 取最大值時(shí)的 n 值，有兩種方法：一是求使用二次函數(shù)的性質(zhì)求n 的值 .an0, an 10，成立的 n 值； 二是由 snd n 22a1d n 利22. 等差數(shù)列 an 中，當(dāng)a1 0， d 0 時(shí)，數(shù)列 an 為遞增數(shù)列，sn 有最小值；當(dāng)a1 0， d 0 時(shí)，數(shù)列 an 為遞減數(shù)列， sn 有最大值；當(dāng)d=0 時(shí)， an 為常數(shù)列 .3. 留意方程思想、整體思想、分類爭(zhēng)論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.五、檢測(cè)鞏固： 1有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第