八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全等三角形證明輔助線分析實(shí)例及復(fù)習(xí)題答案2

1、初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不肯定全等；例 1.如圖， a, f , e, b 四點(diǎn)共線，acce ， bddf ， aebf ， acbd ；求證：acfbde ；思 路 ： 從 結(jié) 論acfbde 入 手 ， 全 等 條 件 只 有 acbd ；由 aebf 兩邊同時(shí)減去ef 得到 afbe ，又得到一個(gè)全等條件；仍缺少一 個(gè)全等條件，可以是cfde ，也可以是ab ；由條件 acce ，bddf 可得acebdf90o ，再加上 aebf ，acbd ，可以證明acebdf ，從而得到ab ；證明 q acc

2、e ， bddfoacebdf90在 rt ace 與 rt bdf 中aebfqacbd rtacertbdf hlabq aebfaeefbfef ，即 afbe在acf 與bde 中afbeqabacbdacfbde sas摸索 ：此題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看仍需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論；再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路；小結(jié)： 此題不僅告知我們?nèi)绾稳ゲ檎胰热切渭捌淙葪l件，而且告知我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路；例 2.如圖，在abc 中， be 是 abc的平分

3、線，adbe ，垂足為d ；求證：21c ；1思路：直接證明21c 比較困難， 我們可以間接證明， 即找到，證明2且1c ；也可以看成將2 “轉(zhuǎn)移”到；那么在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將ad延長(zhǎng)交bc 于 f，就構(gòu)造了 fbd ，可以通過證明三角形全等來證明2= dfb ，可以由三角形外角定理得dfb= 1+ c；證明 ： 延長(zhǎng) ad 交 bc 于 f在abd 與fbd 中abdfbdqbdbdoadbfdb90abdfbd asa2dfb又qdfb1c21c ；摸索 ： 由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)覺全等三角形；例 3. 如圖，在abc 中， abbc ，abc90o

4、；f 為 ab 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 點(diǎn) e 在 bc 上，bebf ，連接 ae, ef 和 cf ；求證：aecf ；思路： 可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等， 關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形； 以線段ae 為邊的 abe 繞點(diǎn) b 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90o 到 cbf 的位置，而線段 cf 正好是 cbf 的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯桑蛔C明 ：qabc90o ， f 為 ab 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)oabccbf90在abe 與cbf 中abbcqabccbf bebfabecbf sasaecf ；摸索 ： 利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于查找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；小結(jié)： 利用三角形全等證明線段

5、或角相等是重要的方法，但有時(shí)不簡(jiǎn)單找到需證明的三角形；這時(shí)我們就可以依據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來查找或利用幫助 線構(gòu)造全等三角形；2例 4. 如圖， ab / cd ， ad / bc ，求證：abcd ；思路： 關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對(duì)角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題；證明 ： 連接 acq ab / cd ， ad / bc 12 ，34在abc 與cda 中12qacca43abccda asaabcd ；摸索 ： 連接四邊形的對(duì)角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法；例 5. 如圖， ap, cp 分別是abc 外角mac 和nca 的平分線，它們

6、交于點(diǎn)p ；求證：bp 為mbn 的平分線；思路： 要證明“ bp 為mbn 的平分線”，可以利用點(diǎn)p 到 bm , bn 的距離相等來證明，故應(yīng)過點(diǎn)p 向bm , bn 作垂線；另一方面，為了利用已知條件“ap,cp 分別是mac 和nca 的平分線”，也需要作出點(diǎn)p 到兩外角兩邊的距離；證明 ： 過 p 作 pdbm 于 d ， peac 于 e ， pfbn 于 fq ap 平分mac ， pdbm 于 d ， peac 于 e pdpeq cp 平分nca， peac 于 e ， pfbn 于 fpepfq pdpe ， pepf pdpfq pdpf ，且 pdbm 于 d ， pf

7、bn 于 fbp 為mbn 的平分線；摸索 ：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題；3例 6. 如圖， d 是abc 的邊 bc 上的點(diǎn)，且 cdab ，adbbad ， ae 是abd 的中線；求證：ac2ae ；思路： 要證明“ac2ae ”，不妨構(gòu)造出一條等于2ae 的線段，然后證其等于ac ；因此，延長(zhǎng)ae 至 f ，使 efae ；證明 ： 延長(zhǎng) ae 至點(diǎn) f ，使 efae ，連接 df在abe 與fde 中aefeqaebfed bedeabefde sasbedfqadfadbedf

8、 ，adcbadb又qadbbad adfadcq abdf ， abcddfdc在adf 與adc 中adadqadfadc dfdcadfadc sasafac又q af ac2ae2ae ；摸索 ：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行；例7.如 圖 ， 在abc 中 ， abac ，12 ， p 為 ad 上 任 意 一 點(diǎn) ； 求 證 ：abacpbpc ；4原圖法一圖法二圖思路： 欲證 abacpbpc ，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明；由于結(jié)論中是差， 故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段abac ；而構(gòu)造 a

9、bac可以采納“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法；證明 ： 法一：在 ab 上截取 anac ，連接 pn在apn 與apc 中anacq12apapapnapc saspnpcq 在bpn 中， pbpnbnpbpcabac ，即 ab ac>pb pc；法二：延長(zhǎng) ac 至 m ，使 amab ，連接 pm在abp 與amp 中abamq12apapabpamp saspbpmq 在pcm 中， cmpmpc abacpbpc ；摸索 ： 當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采納“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法；詳細(xì)作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長(zhǎng)線段的剩余線段等于另外的較

10、短線段，稱為“截長(zhǎng)”；或者將一條較短線段延長(zhǎng)，使其等于另外的較短線段，然后證 明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱為“補(bǔ)短”；小結(jié)： 此題組總結(jié)了本章中常用幫助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深化仍要連續(xù)總結(jié)；我們不光要總結(jié)幫助線的作法，仍要知道幫助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處；一、挑選題：同步練習(xí)1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是5a. 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等b. 一銳角對(duì)應(yīng)相等c. 兩銳角對(duì)應(yīng)相等d.斜邊相等2. 依據(jù)以下條件，能畫出唯獨(dú)abc 的是 a. ab3， bc4 ， ca8b. ab4 ， bc3，a30oc. c60ob45o ， ab4d. c90o ， ab6，3. 如圖，已知12

11、， acad ，增加以下條件：abae ； bced ；cd ；be ；其中能使abcaed 的條件有 a. 4 個(gè)b. 3 個(gè)c. 2 個(gè)d. 1 個(gè)4. 如圖，12 ，cd ， ac , bd 交于 e 點(diǎn)，以下不正確選項(xiàng)a. daecbeb.cedec.dea 不全等于cbed.eab 是等腰三角形o5. 如圖，已知abcd ， bcad ，b23o ，就d 等于 a. 67ob. 46c. 23od. 無法確定二、填空題：6. 如 圖 ， 在abc 中 ，c90o ，abc 的 平 分 線 bd 交 ac 于 點(diǎn) d ， 且cd : ad2:3 ， ac10cm ，就點(diǎn) d 到 ab

12、的距離等于 cm ；7. 如 圖 ， 已 知 abdc ， adbc ， e , f 是 bd 上 的 兩 點(diǎn) ， 且 bedf ， 如aebo，100adb30o ，就bcf ；68. 將 一 張 正 方 形 紙 片 按 如 圖 的 方 式 折 疊 ， ；bc , bd 為 折 痕 ， 就cbd 的 大 小 為9. 如圖，在等腰rtabc 中，co ， acbc ， ad 平分bac 交 bc 于 d ，90deab 于 e ，如 ab10 ，就bde 的周長(zhǎng)等于 ；10. 如圖，點(diǎn)d , e , f , b 在同一條直線上，ab / cd ， ae / cf ，且 aecf ，如bd10 ， bf2 ，就 ef ；三、解答題：11. 如圖，abc 為等邊三角形， 點(diǎn) m , n 分別在交于 q 點(diǎn)；求aqn 的度數(shù)；bc , ac 上，且 bmcn ，am 與 bn712. 如圖，acb90o ， acbc ，d 為 ab 上一點(diǎn)， aecd ，bfcd ，交 cd延長(zhǎng)線于 f 點(diǎn)；求證：bfce ；8一、挑選題：同步練習(xí)的答案1. a2. c3. b4. c5. c二、填空題：oo6. 47.708. 909. 1010.