八年級下冊勾股定理知識點歸納2

1、一、基礎(chǔ)學(xué)問點： 勾股定理八年級下冊勾股定理學(xué)問點和典型例習(xí)題dchegf內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；222表示方法：假如直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 abc .勾股定理的證明勾股定理的證明方法許多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形通過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有間隙，面積不會轉(zhuǎn)變依據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：baacbbaacbcbccaabaad方法一： 4ss正方形 efghs正方形abcd，化簡可證cb方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個

2、直角三角形ce2a222的 面 積 與 小 正 方 形 面 積 的 和 為s41 abc2 22abc大 正 方 形 面 積 為bbcs ab 2a22abb 2所以 abc方法三：s梯形1 ab ab ，s梯形2s ades abe2 1 ab1 c 2 ，化簡得證222 .勾股定理的適用范疇勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特點，因而在應(yīng)用勾股定理時，必需明白所考察的對象是直角三角形 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在abc 中，c90，就 ca2b2 ，2222b ca， acb知道直

3、角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運用勾股定懂得決一些實際問題 .勾股定理的逆定理22假如三角形三邊長a ， b ， c 滿意 ab2c ，那么這個三角形是直角三角形，其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能外形，在運用這肯定理時，可用兩小邊的平方和a 2b2 與較長邊的平方c2 作比較，如它們相等時，以a ，2b ， c 為三邊的三角形是直角三角形；否就，就不是直角三角形；2定理中 a ， b ， c 及 a2bc 只是一種表現(xiàn)形式，不行認(rèn)為是唯獨的，如如三角形三邊長a ， b ， c 滿意222acb ，

4、那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形2 .勾股數(shù)2能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即 a2bc 為一組勾股數(shù)c 中， a ， b ， c 為正整數(shù)時， 稱 a ， b ，記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 ， 8,15,17 等用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù)：- 1 -22n1,2n,n1 （ n2, n 為正整數(shù)）；22n1,2n22n,2 n2n1 （ n 為正整數(shù)）；

5、m2n2 ,2 mn,m2n 2 （ mn,m ， n 為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫忙我們解決直角三角形中的邊長的運算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必需把握直角三角形的前提條件，明白直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進(jìn)行運算，應(yīng)設(shè)法添加幫助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫忙我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判定一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不行不加摸索的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論 .勾股定

6、理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不行分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：cccc30°abadbbaabdd二、 經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例 .在abc 中，c90 已知 ac已知 ab6 ， bc17， ac8 求 ab 的長15，求 bc 的長分析：直接應(yīng)用勾股定理222abc解：abac2bc 210 bcab2ac28題型二：利用勾股定理測量長度例題 1 假如梯子的底端離建筑物9 米，那么15 米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少

7、米？解析： 這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題；把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，. 已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！2222222依據(jù)勾股定理ac+bc=ab,即 ac+9 =15 , 所以 ac=144, 所以 ac=12.例題 2如圖（ 8），水池中離岸邊d點 1.5米的 c 處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是 0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b 恰好落到d 點，并求水池的深度ac.解析： 同例題 1 一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知 acd中 , acd=90° , 在 rt acd 中，只知道 cd=1.

8、5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型；標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：- 2 -222解： 如圖 2，依據(jù)勾股定理，ac+cd=ad設(shè)水深 ac= x 米，那么ad=ab=ac+cbx=+0.5x2+1.5 2=（ x +0.5 ） 2解之得 x=2.故水深為2 米.題型三 ：勾股定理和逆定理并用例題 3如圖 3，正方形abcd中， e是 bc邊上的中點，f 是 ab上一點，且fb嗎？為什么？1 ab 那么 def是直角三角形4解析： 這道題把許多條件都隱匿了，乍一看有點摸不著頭腦；認(rèn)真讀題會意可以發(fā)覺規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由fb1 ab 可以設(shè) ab=4a，那么 be

9、=ce=2a,af=3 a,bf= a, 那么在 rt afd 、rt bef4和 rt cde中，分別利用勾股定理求出df,ef 和 de的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判定def是否是直 角三角形；具體解題步驟如下：解： 設(shè)正方形abcd的邊長為4a, 就 be=ce=2a,af=3a,bf=a222222在 rt cde中， de=cd+ce=4 a+ 2 a =20 a2222222222同理 ef =5a , df=25a在 def中， ef + de =5a + 20a =25a =df def是直角三角形，且def=90° .注：此題利用了四次勾股定理，是把握勾股定理

10、的必練習(xí)題；題型四 ：利用勾股定理求線段長度例題 4 如圖 4，已知長方形abcd中 ab=8cm,bc=10cm在, 邊 cd上取一點e，將 ade折疊使點d 恰好落在bc邊上的點f，求 ce的長 .解析： 解題之前先弄清晰折疊中的不變量；合理設(shè)元是關(guān)鍵；解： 依據(jù)題意得rt ade rt aef afe=90° , af=10cm, ef=de設(shè) ce=xcm，就 de=ef=cd ce=8 x222222在 rt abf中由勾股定理得：ab +bf =af，即 8 +bf =10 ， bf=6cmcf=bc bf=10 6=4cm在 rt ecf中由勾股定理可得：2222222

11、ef =ce+cf，即 8 x=x +4 6416x +x =2+16 x=3cm, 即 ce=3 cm注：此題接下來仍可以折痕的長度和求重疊部分的面積；題型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例題 5 如圖 5，王師傅想要檢測桌子的表面ad邊是否垂直與ab邊和 cd邊，他測得- 3 -ad=80cm， ab=60cm，bd=100cm， ad邊與 ab邊垂直嗎？怎樣去驗證ad邊與 cd邊是否垂直？解析： 由于實物一般比較大，長度不簡單用直尺來便利測量；我們通常截取部分長度來驗證；如圖4，矩形 abcd表示桌面外形，在ab上截取 am=12cm,在 ad上截取 an=9cm想想為什么要設(shè)為這兩個長度

12、？ ，連結(jié) mn，測量 mn的長度；222假如 mn=15,就 am+an=mn, 所以 ad邊與 ab邊垂直；222222假如 mn=a 15, 就 9 +12 =81+144=225,a 225, 即 9 +12 a ，所以 a 不是直角；例題 6 有一個傳感器掌握的燈，安裝在門上方，離地高4.5 米的墻上，任何東西只要移至 5 米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5 米的同學(xué)，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析： 第一要弄清晰人走過去，是頭先距離燈5 米仍是腳先距離燈5 米，可想而知應(yīng)當(dāng)是頭先距離燈5 米；轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示， a 點表示掌握燈，bm表示人的高度，bc mn,b

13、c an當(dāng)頭（ b 點）距離a 有 5 米時，求bc的長度；已知an=4.5 米, 所以 ac=3米，由勾股定理，可運算bc=4 米. 即使要走到離門4 米的時候燈剛好打開；題型六 ：關(guān)于翻折問題如圖，矩形紙片abcd的邊 ab=10cm，bc=6cm， e 為 bc 上一點，將矩形紙片沿ae 折疊，點b 恰好落在cd 邊上的點 g 處，求 be 的長 .變式：如圖，ad 是 abc的中線， adc=45°，把 adc 沿直線 ad 翻折，點c 落在點 c的位置， bc=4,求 bc的長 .三、勾股定理練習(xí)題（一）、挑選題1、以下各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）a： 4，5， 6b

14、： 1， 1，2c： 6， 8， 11d：5， 12， 232、在 rt abc中， c90°， a 12， b16，就 c 的長為 a： 26b： 18c ： 20 d ：213、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點p 的坐標(biāo)是 3,4，就 op的長為 a： 3 b ： 4 c ：5 d ：74、在 rt abc中， c90°， b 45° ,c 10，就 a 的長為 a： 5 b ：10c ：5、已知 rt abc中， c=90°，如 a+b=14cm， c=10cm，就 rt abc的面積是（）50d：52a 、24cm2b、36cm2c、48cm2d、60

15、cm6、如等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，就底邊上的高為（） a、6 b 、7 c 、8 d 、97、已知，如圖長方形abcd中， ab=3cm， ad=9cm，aed- 4 -cbf第 7 題將此長方形折疊，使點b 與點 d重合，折痕為ef，就 abe2222的面積為（） a 、3cm b 、4cmc 、 6cm d 、12cm8、如 abc中， ab13cm, ac15cm ，高 ad=12,就 bc的長為a 、14b、4c、14 或 4 d 、以上都不對bc9、 如圖，正方形網(wǎng)格中的abc，如小方格邊長為1，就 abc是 （）（a）直角三角形b 銳角三角形c鈍角三角形d以上答案都不

16、對a10、在一棵樹的10 米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20 米處的池塘的 a 處；另一只爬到樹頂d 后直接躍到a 處，距離以直線運算，假如兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，就這棵樹d高是（） a 、 17b、14c 、16d、 1 5b（二）、填空題1、如一個三角形的三邊滿意c2a 2b2 ，就這個三角形是；ac第 10 題圖2、木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為 60cm，對角線為100cm， 就這個桌面；（填“合格”或“不合格”） 3、直角三角形兩直角邊長分別為3 和 4，就它斜邊上的高為 ；4、如右圖所示的圖形中，全部的四邊形都是正方形，全部的三角形都是直角三角

17、形，其中最大的正方形的邊長為5，就正方形a， b， c，d 的面積的和為；5、如右圖將矩形abcd沿直線 ae折疊 , 頂點 d恰好落在bc邊上 f 處,a已知 ce=3,ab=8,就 bf= ；6、將一根長為15 的筷子置于底面直徑為5 ，高為12 的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為h ，就 h 的取值范疇是 ；b（三）、解答題de第 6 題圖fc1、已知 abc 的三邊分別為k 2 1，2k， k 2+1 （ k 1），求證： abc 是直角三角形.（ 9 分）如圖，在2、如圖，四邊形abcd中， ab 3cm， bc 4cm， cd 12cm， da13cm，0且 abc 90 ，

18、求四邊形abcd的面積；（ 2 題圖）- 5 -aad3如圖，在rt abc中， acb=90°， cdab， bc=6， ac=8，d求 ab、cd的長bce（3 題圖）bfc（ 4 題圖）4如圖，小紅用一張長方形紙片abcd進(jìn)行折紙，已知該紙片寬ab為 8cm， .長 bc.為 10cm當(dāng)小紅折疊時，頂點 d 落在 bc邊上的點f 處（折痕為ae）想一想，此時ec有多長？ .5如圖， a、 b 是筆直大路l 同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m和 500m，兩村莊之間22的距離為d 已知 d =400000m ，現(xiàn)要在大路上建一汽車?？空?，使兩村到停靠站的距離之和最??；問最小是多少？bal（5 題圖）參考答案：（一） 、a、9 、a10、d（二）、直角三角形、合格、12（三） 、提示： 證（ k 2 1）2+（2k ）2=（ k2+1）5、6、22、解：連接ac在 rt abc中， =916 =5cmabbc342 s abc=2=6cm在 acd中