(完整)人教版八年級下冊數(shù)學(xué)第16章《二次根式》講義第1講二次根式認(rèn)識、性質(zhì)

1、第1講二次根式認(rèn)識、性質(zhì)第一部分知識梳理知識點一：二次根式的概念-形如R (q之0)的式子叫做二次根式。必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以230是0為二次根式的前提條件知識點二：二次根式(屈之。)的非負性品(口之0 )表小a的算術(shù)平方根，即之0 (口之0 )。非負性：算術(shù)平方根，和絕對值、偶次方。非負性質(zhì)的解題應(yīng)用：(1)、如若石+ & = 0,則 a=0,b=0;(2)、若石+,卜0 ,則a=0,b=0；(3)、若&*吩=0 ,則 a=0,b=0o知識點三：二次根式的性質(zhì)一第二部分考點精講精練考點1、二次根式概念例 1、下列各式：1) A，2)C,3) Jx2 2,4)C,5

2、)“ 3)2,6)TTT,7)Ja2 2a 1, 其中是二次根式的是 (填序號).例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？為什么？(D 揚(2)9(4)冊(5)16a例3、在式十.x f 0 ,42, Jy 1有()A. 2個B. 3個例4、下列各式中，屬于二次根式的有收1(6), x2 2x 1y 2 ,CX xp 0 ,%, Jx2 1,x y 中，二次根式C. 4個D. 5個( )例5、若2x 1的平方根是 5,則麻7 舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、,aB、10C、.a 1D、 a2 12、在va、va吊、Tx下、也x2、73中是二次根式的個數(shù)有個3、下列各式一定是

3、二次根式的是（）A、B、3 2mC . a2 14、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 亞 披、一五、六、y （x>Q y ）.5、在 括、7?b、Vx+1、6 + x2、-73中一定是二次根式的個數(shù)有 個考點2、根式取值范圍及應(yīng)用例1、若式子7:有意義，則x的取值范圍是、x 3例2、使Sx一有意義的x的取值范圍,x 15 3x例3、當(dāng)x時，式子5TV-T有意義.xx| 4例4、在下列各式中，m的取值范圍不是全體實數(shù)的是（m 2(2 1)m 2m 2m2A. J 2） 1B.（2）1C. ,（ 2 1）例 5、若 y= . x 5+5 x +2019,則 x+y=例6、實數(shù)a,

4、 b, c,如圖所示，化簡后一I Lb | * c）2=.舉一反三：1、使代數(shù)式 2上有意義的x的取值范圍是（）x 4A、x>3B、x23C x>4D、x>3S x42、使代數(shù)式J x2 2x 1有意義的x的取值范圍是3、如果代數(shù)式m有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點 P (m, n)的位置在( ,mnA、第一象限B、第二象BMC第三象BgD、第四象限4、式子/2 x dx 2 2x有意義，x為5、x-是二次根式，則x、y應(yīng)滿足的條件是()1. yx -A. x 0且 y 0B. 0yxD. 0y6、若Jx 14一x(x y)2,則x y的值為(A. -1B. 1C. 2 D. 3

5、7、若x、y都是實數(shù)，且y=J2x 3 ,3 2x 4 ,求xy的值8、當(dāng)a取什么值時，代數(shù)式J2a 1 1取值最小，并求出這個最小值。考點3、根式的非負性及應(yīng)用例1、若J(2a 1)2 1 2a,則a的取值范圍()11-1A、a B、a C、a D、a為任忠頭數(shù)222例2、若,一 NO成立，則x滿足3 x 3 x例 3、(1)、若 a 2 Vb_3c 4 2 0,則 a b c *'x 3y x2 9x 1(2)、已知20，貝U -； =x 32y 1例4、已知： 44J2"x_y 0 ,求x y的值.例 5、(1)、若 /a1+ /b1=0,求 a2019+b2019 的

6、值.(2)、若"x y y2 4y 4 0,求 xy 的值。舉一反三:1、若Jm 3 （n 1）2 0,則m n的值為2、已知x,y為實數(shù)，且療；3 y 2 2 0,則x y的值為（）A、3B、- 3G 1D、-13、若a b 1與Ja 2b 4互為相反數(shù)，則a bba=4、已知：y J1 8x 、0x 1 L求代數(shù)式y(tǒng) 2 I- y 2的值。2, y x y x考點4、二次根式的性質(zhì)（1）例 1、已知數(shù) a, b,若 40b）2 =ba,則（）A、a>bB、a<bG a>bD> a<b例2、將值根號外的a移到根號內(nèi)，得（）例3、先化簡再求值：當(dāng)a=9時

7、，求a+曲2a a2的值,甲乙兩人的解答如下:甲的解答為：原式=a+. （1 a）2 =a+ （1 a） =1;乙的解答為：原式=a+/（1ap"=a+ （a1） =2a 1=17.兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是 例 4、若3&x&時，試化簡 | 卜2 | y（x3）2 + Jx2 10x 25 °例5、實數(shù)a, b, c,如圖所示，化簡I Lb| * c）2=.舉一反三：1、把（a1）中根號外的（a1）移入根號內(nèi)得 a 12、已知a<0,化簡二次根式"用=3、把mj 根號外的因式移到根號內(nèi)，得 m4、若 2013 a Ja 201

8、8 a,求 a 20192 的值.（提示：先由a 2019刊 判斷2019-a?的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值）5、已知a,b,c為三角形的三邊，則(a b c)2. (b c a)2. (b c a)2 =考點5、二次根式的性質(zhì)(2)例1、(1).計算：&耳;而_9 (2) .計算：375a 2j10b (3) .當(dāng) a 0, b<0 時，VOb3 例2、等式Vx?r-6 Jx(x 6)成立的條件是()A、x>0B、x>6例 3、(1) -1- ,；1-,32C 0<x<6D、x為一切實數(shù) 2 x312xy ,3 y. 3例 4、( Jx 1 ) 2 (

9、x>0例5、甲、乙兩人對題目 化簡并求值：1a1 “，一，有不同的解答:5，一1甲的解答：a12 a2 2 aa (； a)2495曬乙的解答：1. 12a2 2 1.(a1)2a aa.a誰的解答是錯誤的？為什么？舉一反三：1、若寸x3+3x =-xVx+3 ,則x的取值范圍是2 、( 1V3) 2痘(5五)43 64b25x彳彳64、 9a2' . 169y241684、2 一5 .-ab ( b請你區(qū)觀察下列各式:卜十產(chǎn)占卜盧卜卜一產(chǎn)生卜.產(chǎn)生將猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)n（n > 1）的代數(shù)式表示出來是.6、已知1<a<0,化簡,（a 1）27、已知a b3

10、,ab 12,求 bqaa、b的值.8、若a, b為實數(shù)，且b= J3 5ab2第三部分課堂小測1、判斷下列根式是否二次根式:(1) V 3(6)(4)我2、3、4、5、(7) J a2 1(8) a2 2a 1x是怎樣的實數(shù)時，下列各式有意義。(1)J2x 3 4 4x24x 1若 VX1 v;1x (x y)2 ,則 x y = 2x 1 , 、若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是什么?1 |x|,9X 2716 812x.81 1006、5322827、1、24a 3 6a 62a.9x2y28、如圖，實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡：Ta7 后 J（a b）2.-2 2 359、化簡 J4a

11、2 12a 9- J4a2-20a 25 -<a<-).22第四部分提高訓(xùn)練1、先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+J1 2a a2的值,甲乙兩人的解答如下:甲的解答為：原式=a+0(1 a) =a+ (1-a) =1；乙的解答為：原式 =a+J(1 a)2 =a+ (a-1) =2a-1=17.兩種解答中,的解答是錯誤的，錯誤的原因是2、a 2、ba b a b計算一產(chǎn) =(利用公式)a b a b分析：本例初看似乎很復(fù)雜，其實只要你掌握好了公式，問題就簡單了，因為式也成立，故有 a >0, b >0, aa 瓜 0而同時公式：ab 2 = a 2 2 ab + b 2a

12、 2- b2= a b a b ,可以幫助我們將a 2v,ab b和a b變形,所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡單。解：原式二年電十>ab=,a . b + . a b =2 . a -2 , b3、計算:(適當(dāng)配方)分析：本題主要應(yīng)該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點,. 分母含有1+J2 J3其分子必有含1+J2 J3的因式，于是可以發(fā)現(xiàn) 3+2 2 = 1J22,且J3 灰 <3 1 V2 ,通過因式分解，分子所含的1+ v'2 J3的因式就出來了。解：原式=3 2 2361.2 2.3121 %2312 .31+ 2.7 2.65、，4、計算 下(拆項變形法).56

13、 6. 7分析：本例通過分析要想到，把分子化成與分母含有相同因式的分式。通過約分化簡，如轉(zhuǎn)化成:a b 11ab 1 1再化簡，便可知其答案。ab a b解度T = <5而喬百 樂<6V6蜀=75667 56.6一756-6一75、計算1 3*'J 竺 (借用整數(shù)“1”處理)2 、36分析：本例運用很多方面的知識如：1= 33 J2 J3 J2和.a b X a b a2 b2,然后再運用乘法分配率，使分子與分母有相同因式，再約分化簡。到戶工 323232 2 3323.2.632解：原式= 、23 、62,36第五部分課而亞1、當(dāng)x時，是二次根式.2、( <16)2

14、 ; (3<2)2 ; 9ab ()2 .3、把7寫成一個數(shù)的平方得 .4、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解x2 2 .5、若<31不是二次根式，則x取值范圍是6、當(dāng)x時，無意義.7、當(dāng)x時,-有意義；在 ，x中x的取值范圍是.2 x|x| 28、當(dāng) a< 1 且 aw。時，化簡"a2 2 2al =a a9、若J|a 1 3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則a滿足的條件是()A、a 2B、a2C、a 4D、a2或 a410、已知x,y都是實數(shù),且滿足y 忑1 J1x 0.5 ,化簡匕y .y 111、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2a2 5b2 12、若山"F有意義，則x的取值范圍是1

15、3、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：y2 2V2y 2 14、 J44 1762 32 . 481534276xy 4v;32xy2 (x>0,y>0)6416、已知實數(shù)，ac在數(shù)軸上的位置如圖所示,例 2、1<X03化簡|a| J(a c)24(c a)2 后. 218、已知yjx24 V4x"2"-x,求 xjyy yx 2/rr的值2 x第1講二次根式認(rèn)識、性質(zhì)第二部分考點精講精練例 1、 1)、3)、 4)、 5)、 7)例2、(1)是(2)不是：被開方數(shù)小于0(3)(4)不是：三次根式(5)不是：被開方數(shù)小于(6)不是：被開方數(shù)小于0例3、 例4、 例5、

16、 舉一反三:1、2、4、二次根式：72、4(x>0)、>/0、- V2、Xx y (xQ4/2、 x y 一一1不是二次根式：、3/3、一 x5、考點2、例 1、X>3-4例3、例4、例5、2023例6、 舉一反三:1、2、3、4、5、6、7、8、考點3、 例1、A 例2、2 例 3、（1）例4、xx y 12,a2019+b2019=2xy例 5、（1） a(2) x舉一反三1、2、4、,代數(shù)式值=1考點4、例1、D例2、B例3、例 4、x-2 + (x 3)2 + 7x2 10x 25 2xx35x 10 x例5、C舉一反三：1、 ITOi2、 a V ab3、 J m4

17、、解：由題意得：a 2018 0, 解得：a 2018,2013 a| va 2018 a, a 2013 a 2018 a, a 2018 2013, 一 一 一 一 2 a 2018 2013 , 一 一 2 一 一 a 20132018.4、 a b c5、 5、1、（1）例2、B18(2) 30，2ab(3)bVrab例 3、（1）33y ,<3(2)2n ,52例 4、x 1a 1 或一a 1例5、1、,5x13y4、a2bVab2、3 2103、8b3a ，5、6、10、一 17、 a 0,b 02Jab 4V3一 3一，、28、a , b 15 原式=55分第三部分|課堂小

18、測|1、（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是（5）不是 ；（6）是；（7）不是；（8）是2、（1） x 3 ； （2） x ；（3） x ；（4）x為任意實數(shù)2323、21 l4、x 且 x 125、33;9V3 ;36 ;906、2 ;10 <3 ;457、6a ； 4a ；3xy8、2b9、4a 8第四部分|朧高訓(xùn)練1、4a與Jb成立,a b 2 = a 2 -2 ab + b 2 ,2、分析：本例初看似乎很復(fù)雜，其實只要你掌握好了公式，問題就簡單了，因為且分式也成立，故有a>0, b >0, "a Jb 0而同時公式:a2 - b2= a b a b ,可以幫助我們將 a 2<ab b和a b變形，所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡單。a 、b a b - a b解：原式=+= 一 a , b + a b =2 a -2 . bv a . ba ” b3、分析：本題主要應(yīng)該從已知