初三數(shù)學(xué)巧解代數(shù)問題指導(dǎo)

1、初三數(shù)學(xué)巧解代數(shù)問題三角變換在數(shù)學(xué)中屬于工貝性的內(nèi)容，通過三角代換把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，不僅 可使題中各最之間的關(guān)系變得肓接明了、結(jié)構(gòu)特征顯現(xiàn)，而且代數(shù)屮原來繁瑣、復(fù)雜的運(yùn)算 變成了簡單、靈活多變的三角運(yùn)算，因此在解代數(shù)問題時，要關(guān)于捕捉已知條件或結(jié)論中體 現(xiàn)出的三角函數(shù)的各種信息，選収適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q，從而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題。1.捕捉“兀2+,2 的信息例1.解不等式j(luò)匸；一丄。2分析：由于（vtr+ju + l廠=4,于是令 v3 - x = 2sin 0, jx + 1 = 2coso 0 g 0,712,則原不等式化為2sin& 2cos&>£,

2、所以：2sin > 2cos +丄.2 2rh&0,知可知2cos+丄>0.式(*)兩邊平方并整理得32cos? 0 + 8cos& _ 2 215<0,解得oscos&v 血。由x = 4cos2-lnj得，1 v 兀 故原不等 8 8式的解集是1- vnl 0例2.給定正整數(shù)n和正數(shù)m,對于滿足條件+ a2+ <m的所有等差數(shù)列 av a2,勺, ，試求s = a”+i+%+2 +勺”+1的最大值。分析：由 +色/匕加，可設(shè)ax - rcos, = rsin0f 0 < r < vm ，則由 弘嚴(yán)5+加，得d/te.于是s = q

3、”+ +an+2 + +6/2+1="；1 (2% + 3nd)w + l)(“os& +也皿二皿)4二呼£(3sin0-coso) =(zt + l)vtor sin(0 - (p).其屮 sin (p = j , cos 6? = 2v10vlo當(dāng)il僅當(dāng)sin(&-爐)=1,且r = 4m時等式成立。這時sin"=cos0=-9"sjnax =二2皿2.捕捉“1x15 1或j1-/ ”的信息例 3設(shè)0<lxl<h n>2, n en 求證：(l-x)n+(l + x)n <2n. _ x i + x(分析：由

4、于<1且+“可設(shè)"20,珂0,71且吩,(1_兀)”+(1+創(chuàng)= (2sii?0)" 4-(2cos2 oy=2/?(sin2 ey + (cos2 3y< 2氣sil? 0 + cos2 &) = t.例 4.己知 a、b 為非負(fù)數(shù)，且 ji" .ji =ab,求證 a-b2 +b-a2 =1.分 析：jl a，、jl-b，有意義,暗示lals 1, ibls 1, 故 nj 設(shè) a = sin a ,ttb = sin0, o、0,。由已知條件可得，亠7tcos6/cos/? = sinqsin" 即cos(-0) = 0,所以&

5、amp; + 0 = ,-b2 +h-a2 = sin a cos p + cos a sin i - sin(<z + 0) = 1.3.捕捉“”的信息例5.數(shù)列%滿足a() = + ,nne),求證仏是單調(diào)數(shù)列。分析：由于匕=與余弦函數(shù)的半角公式的結(jié)構(gòu)完全一致,因為a”所以=ea. = cos,4e=cost口0< ecos> cos2” "0 0 尹cos> cos > cos&.42故可設(shè)a0 =cos = -, &0,3 即a。<a <a2 < - <an_x <an o故數(shù)列a“是單調(diào)數(shù)列。4.捕

6、捉“ 7x2±l ”的信息例6.解不等式,x *上茸> ov1 + x2 + 兀-分析：考慮到關(guān)鍵是去根號,聯(lián)想到公式l + tan2=sec2,設(shè)x 二 tan",（一守，彳），則原不等式可化為sin& + cos2&0即（2sin&+l）（sin01） <0,解得一丄 vsin&vl,所以一 < 0 < 2 6 2原不等式的解為o35.捕捉“上蘭上”的信息 + xy例7.數(shù)列a“中，a = v3, an =上巴二> 2）,求a“。1-礙-】分析：由色二上匕d聯(lián)想到1一礙-1(7v1 + tan(7tan &a

7、mp; + =v 4 丿 1 - tan crjrit由此可令 = tana, h<a < ,貝lj221 + d 1 + tana(兀、a2 = ta叫+ a ,l-al1 - tan av 4丿5)1 + a,5 l-tz21 + tan + a _14丿711 - tan + o丿= tan(2 矜an = tan (/? - 1) + a證明略。故所求通項公式為、兀 7ta” = tan (n - 1)+ ”432 yj r &捕捉和刁”的信息例&解方程組（1 一兀r）忑+ = 2兀 r 伙=1, 2,，n, nkxn+l = xx o分析：若把原式變形為兀

8、+=二可，則可發(fā)現(xiàn)它與正切函數(shù)的倍角公式結(jié)構(gòu)一致,1-x/因此可令右牡匕，-）兀22tan1-tan2 0tan 2xk = tan2a 1 (z: = l 2,，n, n + 1)因為兀+ = x,所以 tm2n0= tan6, 2" 0 = m兀 + &(jn ez), 0 = 一 (m ez).2 1于是原方程組的解為=tan2kl m7r2" 1(mw乙2,，n +1).例 9.求 f(x)=1 + x -1 + 2x + x4的值域。分析：將/(q的表達(dá)式裂項變形得,l-2x2 +x4p/(x) = +.1 + 2, +十 1 + 2, +-x21 + x

9、2 j由此聯(lián)想到力能公式，由xg/?,(7ia7i< < ,l222丿ax = tan 2貝uy = sincr + cos2 a 1 sin a 4")1716 當(dāng)sina = -l, b|jx = -1 時r ymin = - y oj當(dāng)six冷，即x4土后時，y丿max故/co的值域是丄，11ll 216j7.捕捉“兀+ y + z二xyz ”的信息例1().已知兀、y、z w r,求證:兀y . y z . z x (x - y)(y - z)(z- x)1 + xy 1 + yz 1 + xz(1 + xy)( + yz)(l + xz)分析：由等式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到

10、aabc中有tan a + tan b 4- tan c = tan a tan b tan c。由此可設(shè) x = tan a, y = tan卩、z = tan/ ,則=tan(a 一 0), =tan(y?- /),1 + xy1 + yz7 y=tan(/ 一 a).1 + xz由于(& 一 0) + (0- y) + (廠 一 a) = 0,所以 tan(6r 一 0) + tan(/?-/) + tan(/ 一 a)=tan(a 一 0) tan(/?- /) tan(/ 一 a)原式成立。8.捕捉“/_滬=”的信息例11.已知x2-y2 =4,求丄上的取值范圍。對 x分析：由己知條件x2 -y2 =4聯(lián)想到公式1 + tan2 a