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文檔簡介
1、中學常見定理的證明一、三角形1、 運 用你 所學 過 的 三 角 形全 等的 學問 去 證 明 定 理: 有兩 個角 相 等 的 三角 形是 等腰 三角 形( 用 圖形 中的 符號 表 達 已 知 、求 證, 并證 明 , 證 明對 各步 驟要 注 明 依據 )2、證 明定 理:等 腰三 角 形的 兩個 底 角相等 ( 畫出 圖形 、寫出 已知 、求證 并證 明)3、 表達 并 證明 三角形 內 角和 定 理 要 求寫 出 定 理、 已知 、求證 , 畫 出圖 形, 并寫 出 證 明過 程4、 我們 知 道, 證明三 角 形內 角 和 定理 的一 種 思 路是 力求 將三角 形的 三個 內角
2、轉化 到 同 一個 頂 點 的三 個相鄰 的角,從而 利 用 平角 定義來 得 到結論 , 你 能想 出 多 少種 不 同 的方 法呢? 同學之 間 可相 互交 流 5、 三角 形 中位 線定理 , 是我 們 非 常熟 悉的 定 理 請你 在下 面 的 橫線上 , 完整 地表達 出這 個 定 理: 依據 這個 定 理 畫出圖 形 , 寫 出已知 和求 證 , 并對 該定 理 給 出證 明6、定 理“ 直角 三 角形 斜 邊 上 的中 線等于斜 邊 的 一 半 ” 的逆 命題是,這 個 命題 正 確 嗎? 如 正確 ,請 你證 明這 個 命 題, 如 不 正確 請說明 理由7、用 所學 定理 、
3、 定義 證 明 命 題證 明: 直角 三 角形 斜邊 上 的 中線 等于 斜邊 的一 半8、 同學 們 , 這 學期我 們 學過 不 少 定理 ,你 仍 記 得 “ 在直 角三角 形 中 , 如 果一 個銳 角 等 于30 度 ,那 么它 所 對 的直 角邊 等 于 斜邊 的一半 ” ,請 你寫 出它 的逆 命 題 , 并 證 明 它的 真假解: 原命 題的 逆命 題 為:在直 角三 角形 中,假如 一條 直角 邊等 于 斜邊 的一 半,那么 這 條直 角邊所對 的角 是 30°9、利 用圖 ( 1)或 圖( 2 ) 兩 個 圖 形中 的有 關 面 積 的等 量關 系都 能證 明數
4、學中 一個 十 分 聞名 的 定 理, 這個定 理稱為, 該 定 理的 結 論 其 數學 表 達式是10、利用 圖中 圖形 的有 關面 積 的等 量 關 系都 能 證 明數 學中 一 個十 分 著 名的 定理 ,此證 明方 法就 是美 國第 二 十 任總統(tǒng) 伽 菲 爾 德最 先完成的 ,人 們?yōu)?了紀 念他 , 把 這一 證 法 稱為 “ 總統(tǒng) ” 證法 這個 定理 稱為, 該 定理 的結 論其 數 學 表達式是11 、 定理 表述 請 你根 據圖 1 中 的直角 三 角形 , 寫出 勾股定 理 內容 ; 嘗 試證 明 以 圖 1 中的 直 角 三角形 為 基礎 , 可以 構造出 以 a、 b
5、 為底 , 以 a+b 為 高的 直角 梯形 ( 如 圖 2), 請 你 利 用圖 2,驗 證 勾 股定 理定理 表述 :直 角三 角 形中 ,兩 直角 邊的 平 方和 等于 斜邊 的平 方2證明 : s 四 邊 形 abcd =s abe +s aed +s cde=ab2c2212 、如圖, abc 中, ab=ac, bad= cad, bd=c,d ad bc請你 挑選 其中 的 兩 個作 為 條 件,另 兩個 作 為結 論 ,證明 等腰 三角形 的 “ 三線 合一 ” 性 質 定 理13、課本 指出 :公認的 真 命題 稱為 公 理,除 了 公理 外,其 他的 真 命 題( 如推 論
6、、 定理 等 ) 的正 確 性 都需 要通過 推理 的 方 法證 實( 1) 敘 述 三角 形全等 的 判定 方 法 中的 推論 aas;( 2) 證 明 推論 aas要 求:敘 述推 論用 文字 表 達 ;用圖 形中 的符 號表 達 已 知、求 證,并 證明 ,證 明對 各步 驟 要 注明 依 據 14 、在數 學 課 外活 動中 ,某 學習 小組 在 爭論 “ 導學 案” 上 的 一個 作 業(yè)題 : 已 知: 如圖 , oa平分 bac, 1=2求 證: ao bc同 學甲 說: 要 作 幫助 線 ;同 學乙 說: 要 應 用角 平 分 線性 質定理 來解決 :同 學丙 說: 要 應 用等
7、 腰 三 角形 “ 三線 合一 ” 的 性質 定理 來 解 決如 果你 是這 個 學 習小 組 的 成員 , 請你 結合同 學 們的 爭論 寫 出 證明 過程 15、證明:勾股定理逆定理已知:在 abc中, ab=c,ac=b,bc=a ,如 c2 =a 2 + b 2求證: c = 90 度證明:作 rtdef,使 e=rt, de=b ,ef=a在 rt def中, df2 = ed 2 + ef2 = a 2 +b2由于 c2 =a 2 + b 2所以 df =c所以 df=ab,de=ac,ef=bc所以 rtdfeabcsss所以 c=e = rt二、四邊形(一)梯形1、 定理 證
8、明: “ 等腰 梯 形的 兩條 對 角 線相 等 ” 2、 用兩 種 方法 證明等 腰 梯形 判 定 定理 :在 同 一 底上 的兩 個角相 等的 梯形 是等 腰梯 形 ( 要求 : 畫 出圖 形, 寫 出已知 、 求證 、證 明 )3、在 梯形 abcd中 ,如 圖所 示, ad bc,點 e、f 分 別 是 ab、cd 的中點 , 連 接 ef,ef 叫 做 梯形 的 中位 線 觀 察 ef 的位 置,聯(lián) 想三 角形 的 中 位線定 理,請 你 猜 想 : ef 與 ad、 bc有 怎樣的 位 置和 數 量 關系 并證 明你 的猜想 4、采納如 圖所示 的方 法,可 以 把梯 形 abcd
9、折疊 成一 個 矩 形 efnm( 圖中ef, fn, em 為 折痕), 使得 點 a 與 b、 c 與 d 分 別 重 合于 一點 請 問, 線 段 ef 的位 置如 何確 定; 通 過這 種 圖 形變 化 , 你能 看出 哪 些定 理 或 公式 ( 至 少三 個) ? 證明 你 的所 有結論 解: 可以 看出 梯形 的 中位 線定 理、 面積 公 式、 平行 線的 性質 定理等 (二)平行四邊形1、 定理 證 明: 一組對 邊 平行 且 相 等的 四邊 形 是 平行 四邊 形2、 定理 求 證: 對角線 互 相平 分 的 四邊 形是 平 行 四邊 形3、 我們 在 幾何 的學習 中 能發(fā)
10、 現(xiàn) , 許多 圖形 的 性 質定 理與 判定定 理之 間有 著一 定的 聯(lián) 系 例如 :菱 形的性 質定 理 “ 菱形 的對 角 線 相互垂 直 ” 和菱 形的 判定 定 理 “ 對角 線 相互 垂直的 平行四 邊 形是 菱 形 ” 就 是這 樣但是 課本 中對 菱 形 的另 外 一 個性 質“ 菱 形的對 角 線平 分一 組 對 角” 卻沒有 給出 類似 的 判 定定 理 , 請你 利用如 圖所示 圖 形研 究一 下 這 個問 題 要 求: 假如 有 類 似的 判 定 定理 , 請寫 出已知 、 求證 并證 明 假如 沒有 ,請 舉出 反例 (三)圓證明:一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的
11、一半;這肯定理叫做圓周角定理;(圓周角與圓心角的關系)已知在o 中, boc與圓周角 bac同對弧 bc,求證: boc=2 bac.證明: 情形 1:如圖 1,當圓心 o在 bac的一邊上時,即a、o、b 在同始終線上時:圖 1oa、oc是半徑解: oa=oc bac=aco(等邊對等角) boc是 aoc的外角 boc=情形 2:bac+aco=2bac如圖 2, ,當圓心 o在 bac的內部時: 連接 ao,并延長 ao交o于 d圖 2oa、ob、oc是半徑解: oa=ob=oc bad=abo, cad=aco(等邊對等角) bod、 cod分別是 aob、 aoc的外角 bod=bad+abo=2bad三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和)cod=cad+aco=2cad三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和) boc=bod+cod=2bad+cad=2bac情形 3:如圖 3,當圓心 o在 bac的外部時:圖 3 連接 ao,并延長 ao交o于 d
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