高考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧和方法

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數(shù)。如： （1）)0( 12222babyax與直線相交于a、b，設(shè)弦ab 中點為m(x0,y0)，則有02020kbyax。（2）)0, 0(12222babyax與直線 l 相交于 a、b，設(shè)弦 ab中點為 m(x0,y0) 則有02020kbyax（3）y2=2px（p0）與直線 l 相交于 a、b設(shè)弦 ab中點為 m(x0,y0), 則有

2、2y0k=2p,即 y0k=p. 典型例題給定雙曲線xy2221。 過 a （2， 1） 的直線與雙曲線交于兩點p1及p2，求線段p1p2的中點 p的軌跡方程。（2）焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點p，與兩個焦點f1、f2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題設(shè) p(x,y) 為橢圓xayb22221上任一點，fc10(, )，fc20( , )為焦點，pf f12，pf f21。（1）求證離心率sinsin)sin(e；（2）求|pfpf1323的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、

3、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程，直線與 軸的交點在拋物線準(zhǔn)線的右邊。yp xpxytx210() ()（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（2）設(shè)直線與拋物線的交點為a、b，且 oa ob ，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t)的表達(dá)式。（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值

4、不等式）求最值。（1） ，可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式， 通過解不等式求出a 的范圍，即： “求范圍，找不等式 ” ?；蛘邔?a 表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對于（ 2）首先要把 nab的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值, 即：“最值問題，函數(shù)思想” 。最值問題的處理思路： 1 、建立目標(biāo)函數(shù)。 用坐標(biāo)表示距離， 用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線 y2=2px(p

5、0) ，過 m （a,0 ）且斜率為1 的直線 l 與拋物線交于不同的兩點 a、b，|ab| 2p （1）求 a 的取值范圍；（2）若線段 ab的垂直平分線交x 軸于點 n，求 nab面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 l 過原點，拋物線c 的頂點在原點，焦點在x 軸正半軸上。若點a （-1，0）和點 b（0，8）關(guān)于 l 的對稱點都在c上，求直線 l 和拋物線 c的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點q （2，0）和圓 c：x2+y2=1, 動點 m到圓 c 的切線長與 |mq|的比等于常數(shù)（0）,

6、求動點 m的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6） 存在兩點關(guān)于直線對稱問題m n q o 在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題已知橢圓c 的方程xy22431，試確定m 的取值范圍，使得對于直線yxm4，橢圓 c上有不同兩點關(guān)于直線對稱（7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用kkyyxx1212121來處理或用向量的坐標(biāo)運算來處理。典型例題已知直線l的斜率為k，且過點p(, )2 0，拋物線c yx:()241，直線l與拋物線 c有兩個不同的交點（

7、如圖） 。（1）求k的取值范圍；（2）直線l的傾斜角為何值時， a、b與拋物線 c的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設(shè)直線340 xym與圓xyxy2220相交于 p、q兩點，o為坐標(biāo)原點，若op oq，求m的值。（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求

8、”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點o，焦點在y軸上的橢圓與直線yx1相交于 p、q兩點，且op oq，|pq102，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓cxyxy122420：和cxyy22224：0 的交點，且圓心在直線l：2410 xy上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題p為橢圓22221xyab上

9、一動點， a為長軸的右端點， b為短軸的上端點，求四邊形 oapb 面積的最大值及此時點p的坐標(biāo)。（5）線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程一般地， 求直線與圓錐曲線相交的弦ab長的方法是： 把直線方程ykxb代入圓錐曲線方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的兩根設(shè)為xa，xb，判別式為，則|abkxxab12|12ak，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運算過程。例求直線xy10被橢圓xy22416所截得的線段ab的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結(jié)合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運算。例f1、f2是

10、橢圓xy222591的兩個焦點， ab是經(jīng)過f1的弦，若|ab8，求值|22bfaf 利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點 a （3，2）為定點，點 f 是拋物線yx24的焦點，點 p在拋物線y24x上移動，若| |papf取得最小值，求點p的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率tan,0,)k點到直線的距離0022axbycdab夾角公式：2121tan1kkk k（3）弦長公式直線ykxb上兩點1122(,),(,)a xyb xy間的

11、距離：2121abkxx221212(1)()4kxxx x或12211abyyk（4）兩條直線的位置關(guān)系1212llk k=-1 212121/bbkkll且2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標(biāo)準(zhǔn)方程：221(0,0)xymnmnmn且距離式方程：2222()()2xcyxcya參數(shù)方程：cos ,sinxayb(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：221(0)xym nmn距離式方程：2222|()()| 2xcyxcya(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知21ff 、是橢圓13422yx的兩個焦點，平面內(nèi)一個

12、動點m 滿足221mfmf則動點 m 的軌跡是（）a、雙曲線； b、雙曲線的一支； c、兩條射線； d、一條射線(5)、焦點三角形面積公式：122tan2f pfpb在橢圓上時， s（其中2221212121212|4,cos,|cos| |pfpfcf pfpfpfpfpfpfpf?uu u ruuu u ruuu ru uu u r）(6)、記住焦半徑公式：（1）00;xaexaey橢圓焦點在軸上時為焦點在 y軸上時為，可簡記為“左加右減，上加下減” 。（2）0|xe xa雙曲線焦點在軸上時為（3）11|,|22ppxxy拋物線焦點在軸上時為焦點在 y軸上時為(6)、橢圓和雙曲線的基本量三

13、角形你清楚嗎？第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）設(shè)11, yxa、22,yxb，bam,為橢圓13422yx的弦ab中點則有1342121yx，1342222yx；兩式相減得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxabk=ba432、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程， 并且與曲線的方程聯(lián)立， 消去一個未知數(shù)， 得到一個二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點1122(,),(,)a xyb xy， 將這兩點代入曲線方程得到12 兩個式子，然后1-2 ，整體消元

14、 ，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點a、b、f 共線解決之。若有向量的關(guān)系， 則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系， 根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為ykxb，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形 abc 的三個頂點均在橢圓805422yx上，且點 a 是橢圓短軸的一個端點（點a 在 y 軸正半軸上） . （1）若三角形 abc 的重心是橢圓的右焦點，試求直線bc 的方程; （2）若角 a 為090，ad 垂直 bc于 d，試求點 d 的軌跡方程 . 分析：第一問抓住“重心” ，利用點差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點弦bc 的斜率，從而寫出直線bc 的方程

15、。第二問抓住角a 為090可得出 abac，從而得016)(14212121yyyyxx， 然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點d 的軌跡方程；解： （1）設(shè) b （1x,1y） ,c(2x,2y),bc中點為(00, yx),f(2,0) 則有11620,1162022222121yxyx兩式作差有016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyx(1) f(2,0)為三角形重心，所以由2321xx，得30 x，由03421yy得20y，代入（ 1）得56k直線 bc 的方程為02856yx2)由 abac 得016)(14212121yyyyxx（2）設(shè)直線 bc 方程為805

16、4,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk2215410kkbxx，222154805kbxx2222122154804,548kkbyykkyy代入（ 2）式得0541632922kbb，解得)(4 舍b或94b直線過定點（ 0，)94，設(shè) d（x,y） ，則1494xyxy，即016329922yxy所以所求點 d 的軌跡方程是)4()920()916(222yyx。4、設(shè)而不求法例 2、 如圖，已知梯形 abcd 中cdab2， 點 e 分有向線段ac所成的比為， 雙曲線過 c、 d、 e 三點，且以 a、 b 為焦點當(dāng)4332時，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析

17、：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系xoy，如圖，若設(shè) chc,2，代入12222byax，求得hl，進(jìn)而求得,eexyll再代入12222byax，建立目標(biāo)函數(shù)( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e，此運算量可見是難上加難 .我們對h可采取設(shè)而不求的解題策略, 建立目標(biāo)函數(shù)( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e,化繁為簡 . 解法一：如圖，以ab 為垂直平分線為y軸，直線 ab 為x軸，建立直角坐標(biāo)系xoy，則 cdy軸因為雙曲線經(jīng)過點c、d，且以 a、b 為焦點，由雙曲線

18、的對稱性知c、d 關(guān)于y軸對稱依題意，記 a0, c，chc,2，e00, yx，其中|21abc為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點坐標(biāo)公式得122120cccx，10hy設(shè)雙曲線的方程為12222byax，則離心率ace由點 c、e 在雙曲線上，將點c、e 的坐標(biāo)和ace代入雙曲線方程得14222bhe，11124222bhe由式得14222ebh，將式代入式，整理得214442e，故1312e由題設(shè)4332得，43231322e解得107e所以雙曲線的離心率的取值范圍為10,7分析：考慮,aeac為焦半徑 ,可用焦半徑公式 , ,aeac用,e c的橫坐標(biāo)表示，回避h的計算 , 達(dá)

19、到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一，,ecaeaexacaex，22121ecccx，又1aeac，代入整理1312e，由題設(shè)4332得，43231322e解得107e所以雙曲線的離心率的取值范圍為10,75、判別式法例 3 已知雙曲線122:22xyc，直線l過點0 ,2a，斜率為k，當(dāng)10k時，雙曲線的上支上有且僅有一點b 到直線l的距離為2，試求k的值及此時點 b的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點b 作與l平行的直線，必與雙曲線c 相切. 而相切的代數(shù)

20、表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0. 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：10)2(:kxkyl解題過程略 . 分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點 b 到直線l的距離為2” ， 相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：簡解：設(shè)點)2,(2xxm為雙曲線 c上支上任一點，則點m 到直線l的距離為：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0直線l在l的上方且到直線l的距離為2轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程10212222kkkxkx有唯一于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程 . 由于10k，所以kxxx22，從而有于是關(guān)于x

21、的方程由10k可知：方 程022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的二 根 同 正， 故02) 1(22kxkk恒成立，于是等價于022)1(22) 1(22122222kkxkkkxk. 由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得552k. 點評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 . 例 4 已知橢圓 c:xy2228和點 p（4，1） ，過 p 作直線交橢圓于a、b 兩點，在線段 ab 上取點 q，使appbaqqb，求動點 q 的軌跡所在曲線的方程 . 分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從何入手

22、。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的 . 由于點),(yxq的變化是由直線 ab 的變化引起的， 自然可選擇直線ab 的斜率k作為參數(shù)，如何將yx,與k聯(lián)系起來？一方面利用點q 在直線 ab 上；另一方面就是運用題目條件：appbaqqb來轉(zhuǎn)化 .由 a、b、p、q 四點共線，不難得到)(82)(4bababaxxxxxxx，要建立x與k的關(guān)系，只需將直線ab 的方程代入橢圓c 的方程，利用韋達(dá)定理即可. 通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù)

23、. 在得到kfx之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于yx,的方程（不含k） ，則可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。簡解：設(shè)),(),(,2211yxqyxbyxa，則由qbaqpbap可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx（1）設(shè)直線 ab 的方程為：1)4(xky，代入橢圓 c的方程，消去y得出關(guān)于x 的一元二次方程：08)41 (2)41(412222kxkkxk（2）.128)41(2,12) 14(42221221kkxxkkkxx代入（1） ，化簡得：.234k

24、kx(3) 與1)4(xky聯(lián)立，消去k得：.0)4(42xyx在（2）中，由02464642kk，解得41024102k，結(jié)合（ 3）可求得.910216910216x故知點 q 的軌跡方程為：042yx（910216910216x）. 點評：由方程組實施消元 ，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 . 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點 q滿足直線 ab的方程：y = k (x4)+1 ，消去參數(shù)點 q的軌跡方

25、6、求根公式法例 5 設(shè)直線l過點 p （0，3） ，和橢圓xy22941順次交于 a、b 兩點，試求appb的取值范圍 . 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：appb=baxx， 但從此后卻一籌莫展 , 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系. 分析 1:從第一條想法入手，appb=baxx已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量baxx ,，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3 個變量直線ab的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為

26、如何將baxx ,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 . 簡解 1：當(dāng)直線l垂直于 x 軸時，可求得51pbap; 當(dāng)l與 x 軸不垂直時，設(shè))(,2211yxbyxa，直線l的方程為：3kxy，代入橢圓方程，消去y得045544922kxxk解之得.4959627222,1kkkx因為橢圓關(guān)于 y 軸對稱，點 p 在 y 軸上，所以只需考慮0k的情形 . 當(dāng)0k時，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以21xxpbap=5929592922kkkk=59291812kkk=25929181k.

27、 由049180)54(22kk, 解得952k，所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3 代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xa= f（k） ，xb = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式ap/pb = （xa / 由判別式得出k的取值范圍所以51592918112k，綜上511pbap. 分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來 . 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于21xxpbap不是關(guān)于

28、21,xx的對稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了， 即我們可以構(gòu)造關(guān)于21, xx的對稱關(guān)系式 . 簡解 2：設(shè)直線l的方程為：3kxy，代入橢圓方程，消去y得045544922kxxk（*）則.4945,4954221221kxxkkxx令21xx，則，.20453242122kk在（*）中，由判別式,0可得952k，從 而 有5362045324422kk， 所 以536214， 解 得551. 結(jié)合10得151. 綜上，511pbap. 點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法， 均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的

29、角把直線l的方程y = kx+3 代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xa+ xb = f（k） ，xa xb = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理ap/pb = （xa / xb）由判別式得出k的取值范圍度入手，給出又一優(yōu)美解法. 解題猶如打仗， 不能只是忙于沖鋒陷陣， 一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里. 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)， 選擇

30、恰當(dāng)?shù)慕忸}方法， 達(dá)到解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中， 必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例 6 橢圓長軸端點為ba,，o為橢圓中心，f為橢圓的右焦點，且1fbaf，1of（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點為m，直線l交橢圓于qp,兩點，問：是否存在直線l，使點f恰為pqm的垂心？若存在，求出直線l的方程 ;若不存在，請說明理由。思維流程：（）（）消元解題過程：寫出橢圓方由1affb?uuu ruu u r，()()1ac ac，1c由 f 為pqm的重兩 根

31、之得出關(guān)于解出 m （）如圖建系，設(shè)橢圓方程為22221(0)xyabab,則1c又1fbaf即22() ()1acacac，22a故橢圓方程為2212xy（）假設(shè)存在直線l交橢圓于qp,兩點，且f恰為pqm的垂心，則設(shè)1122(,),(,)p x yq xy，(0,1),(1,0)mf，故1pqk，于是設(shè)直線l為yxm，由2222yxmxy得，2234220 xmxm12210(1)(1)mp fqx xyyuuu r uuu r又(1,2)iiyxm i得1221(1)()(1)0 x xxm xm即212122()(1)0 x xxxmmm由韋達(dá)定理得解得43m或1m（舍）經(jīng)檢驗43m符

32、合條件點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例 7、已知橢圓e的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過( 2,0)a、(2,0)b、31,2c三點（）求橢圓e的方程：（）若點d為橢圓e上不同于a、b的任意一點，( 1,0),(1,0)fh， 當(dāng)dfh內(nèi)切圓的面積最大時，求dfh內(nèi)心的坐標(biāo)；思維流程：（）（）由橢圓經(jīng)過a、b、c設(shè)方程為122nymx得 到nm,的 方解出nm,由dfh內(nèi) 切 圓 面 積轉(zhuǎn)化為dfh面積最轉(zhuǎn)化為點d的縱坐標(biāo)的絕對值最d為 橢 圓 短 軸解題過程：（）設(shè)橢圓方程為122nymx0,0 nm，將( 2,0)a、(2,0)b、3(1,

33、)2c代入橢圓e的方程，得41,914mmn解得11,43mn.橢圓e的方程22143xy（）| 2fh，設(shè)dfh邊上的高為hhsdfh221當(dāng)點d在橢圓的上頂點時，h最大為3，所以dfhs的最大值為3設(shè)dfh的內(nèi)切圓的半徑為r， 因為dfh的周長為定值 6 所以，621rsdfh所以r的最大值為33所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為3(0,)3. 點石成金：的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的周長rs21例 8、已知定點)01(，c及橢圓5322yx，過點c的動直線與橢圓相交于ab，兩點. （）若線段ab中點的橫坐標(biāo)是12，求直線ab的方程；（）在x軸上是否存在點m，使mbma為常數(shù)？若存在，求出點m的坐標(biāo)；若不存在，請

34、說明理由. 思維流程：（）解：依題意，直線ab的斜率存在，設(shè)直線ab的方程為(1)yk x，將(1)yk x代入5322yx， 消去y整理得2222(31)6350.kxk xk設(shè)1122()()a xyb xy，則4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31kkkkxxk，由線段ab中點的橫坐標(biāo)是12，得2122312312xxkk，解得33k，符合得出d點坐標(biāo)為33, 0題意。所以直線ab的方程為310 xy，或310 xy. （）解：假設(shè)在x軸上存在點(,0)m m，使mbma為常數(shù). 當(dāng)直線ab與x軸不垂直時，由（）知22121222635. (3)3131kkxx

35、x xkk，所以212121212()()()()(1)(1)ma mbxm xmy yxm xmkxxuu u r uuu r22221212(1)()().kx xkmxxkm將(3)代 入 ， 整 理 得222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkma mbmmkkuu u r u uu r2216142.33(31)mmmk注意到mbma是與k無關(guān)的常數(shù)， 從而有761403mm， 此時4.9ma mbuu u r u uu r 當(dāng)直線ab與x軸垂直時，此時點ab，的坐標(biāo)分別為221133，、，當(dāng)73m時， 亦有4.9ma mbuuu r uuu r綜上，在x軸上

36、存在定點703m，使mbma為常數(shù) . 點石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkma mbmmkkuu u r u uu r例 9、已知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，長軸長是短軸長的2 倍且經(jīng)過點 m（2，1） ，平行于 om 的直線l在 y 軸上的截距為 m（m0） ，l交橢圓于a、b 兩個不同點。（）求橢圓的方程；（）求 m 的取值范圍；（）求證直線 ma、mb 與 x 軸始終圍成一個等腰三角形. 思維流程：解： （1）設(shè)橢圓方程為)0(12222babyax則2811422222bababa解得橢圓方程為12822yx（）直線l平行于 om，且在

37、y 軸上的截距為 m 又 kom=21mxyl21的方程為：由0422128212222mmxxyxmxy直線 l 與橢圓交于 a、b 兩個不同點，0, 22, 0)42(4)2(22mmmm且解得（）設(shè)直線 ma、mb 的斜率分別為 k1，k2，只需證明 k1+k2=0 即可設(shè)42,2),(),(221212211mxxmxxyxbyxa且則21,21222111xykxyk由可得042222mmxx而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk故直線 ma、mb 與 x 軸始終圍成一個等腰三角形. 點石成金：直線ma、mb 與 x 軸始終圍成

38、一個等腰三角形021kk例 10、已知雙曲線12222byax的離心率332e，過),0(),0,(bbaa的直線到原點的距離是.23（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線)0(5 kkxy交雙曲線于不同的點c，d 且c，d都在以b為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解 ： （ 1 ）,332ac原 點 到 直 線ab：1byax的 距 離.3,1.2322abcabbaabd. 故所求雙曲線方程為.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk. 設(shè)cdyxdyxc),(),(2211的中點是),(00yxe，則即7,0,03153115222kkk

39、kkkk又故所求k=7. 點石成金 : c，d都在以b為圓心的圓上bc=bdbecd; 例 11、已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓c上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為 1（）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii ）若直線:ly=kx+m與橢圓c相交于a、b兩點（a、b不是左右頂點），且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)思維流程：解： （）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0)xyabab，由已知得：31acac，222213acbac，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22143xy（ii）設(shè)1122()()a xyb xy，聯(lián)立221.43ykxmxy，得222(

40、34)84(3)0kxmkxm，則又22221212121223(4)()()()34mky ykxm kxmk x xmk xxmk因為以ab為直徑的圓過橢圓的右頂點(2 0)d，1adbdkk，即1222211xyxy. 1212122()40y yx xxx2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk2271640mmkk解得：12227kmkm，且均滿足22340km當(dāng)12mk時，l的方程(2)yk x，直線過點(2 0)，與已知矛盾；當(dāng)227km時，l的方程為27ykx，直線過定點207，所以，直線l過定點，定點坐標(biāo)為207，點石成金：以ab為直徑的圓過橢圓c的右

41、頂點cacb; 例 12、 已知雙曲線)0, 0( 12222babyax的左右兩個焦點分別為21ff 、,點 p在雙曲線右支上 . （）若當(dāng)點 p的坐標(biāo)為)516,5413(時,21pfpf,求雙曲線的方程；（）若|3|21pfpf,求雙曲線離心率e的最值 ,并寫出此時雙曲線的漸進(jìn)線方程. 思維流程：解： （）(法一)由題意知 ,1pf)516,5413( c, 2pf)516,5413(c, 21pfpf,021pfpf)5413( c0)516()5413(2c（1 分）解得5,252cc. 由雙曲線定義得 : ,2|21apfpf2222)516()54135()516()54135(

42、2a6)341()341(22,4,3 ba所求雙曲線的方程為 : 116922yx(法二) 因21pfpf,由斜率之積為1,可得解 . （）設(shè)2211| ,|rpfrpf, ( 法一) 設(shè)p的坐標(biāo)為),(yx, 由焦半徑公式得aexexarexaexar|,|21,caxaexexarr2212),(3,3,2,2acaaxca2，e的最大值為 2,無最小值 . 此時31,2222eaacabac, 此時雙曲線的漸進(jìn)線方程為xy3(法二)設(shè)21pff,0(. (1)當(dāng)時, 22121423,2rcrrcrr，且, 22122rrra此時2242222rrace. (2)當(dāng)），（0,由余弦定理

43、得 : cos610cos2222222122212rrrrrrc）（2cos6102cos6102222rrace, ) 1, 1(cos,)2, 1(e,綜上,e的最大值為 2,但e無最小值 . (以下法一 ) 附：1. 圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義 中要 重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中 ，與兩個定點 f1，f2的距離的和等于常數(shù)2a，且此 常數(shù)2a一定要大于21ff，當(dāng)常數(shù)等于21ff時，軌跡是線段 f1f2，當(dāng)常數(shù)小于21ff時，無軌跡； 雙曲線中 ，與兩定點f1，f2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于 |f1f2| ，定義中的 “絕對值” 與2a|f1f2

44、| 不可忽視 。若2a|f1f2| ，則軌跡是以f1，f2為端點的兩條射線，若2a|f1f2| ，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如 （1）已知定點)0, 3(),0, 3(21ff，在滿足下列條件的平面上動點p的軌跡中是橢圓的是a 421pfpf b621pfpf c1021pfpfd122221pfpf（答： c） ；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲線是 _（答：雙曲線的左支）（2） 第二定義 中要 注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線， 且 “點點距為分子、點線距為分母 ” ，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與

45、此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化 。如已知點)0,22(q及拋物線42xy上一動點p（x,y ）, 則 y+|pq| 的最小值是_（答： 2）2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程） ：（1）橢圓 ：焦點在x軸上時12222byax（0ab）cossinxayb（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在y軸上時2222bxay1（0ab） 。方程22axbyc表示橢圓的充要條件是什么？（abc 0，且 a，b，c同號， ab） 。如（ 1） 已知方程12322kykx表示橢圓，則k的取值范圍為_（答：11( 3,)(,2

46、)22u） ；（2）若ryx,，且62322yx，則yx的最大值是 _，22yx的最小值是_（答：5, 2）（ 2） 雙 曲 線 ： 焦點 在x軸 上 ：2222byax =1 ， 焦 點 在y軸 上 ：2222bxay 1（0,0ab） 。方程22axbyc表示雙曲線的充要條件是什么？（abc 0，且 a，b異號） 。如（ 1）雙曲線的離心率等于25，且與橢圓14922yx有公共焦點，則該雙曲線的方程 _（答：2214xy） ；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點o，焦點1f、2f在坐標(biāo)軸上，離心率2e的雙曲線c過點)10, 4(p，則 c的方程為 _（答：226xy）（3）拋物線 ：開口向右時22(0)

47、ypx p，開口向左時22(0)ypx p，開口向上時22(0)xpy p，開口向下時22(0)xpy p。3. 圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓 ：由x2,y2分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程12122mymx表示焦點在y 軸上的橢圓，則m 的取值范圍是 _（答：)23, 1() 1,(）（2）雙曲線 ：由x2,y2項系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線 ：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒 ： （1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點f1，f2的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決

48、定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù),a b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件； 在求解拋物線問題時， 首先要判斷開口方向；（2） 在橢圓中，a最大，222abc，在雙曲線中，c最大，222cab。4. 圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以12222byax（0ab）為例） ：范圍 ：,axabyb；焦點 ：兩個焦點(,0)c； 對稱性 ：兩條對稱軸0,0 xy，一個對稱中心（0,0 ） ，四個頂點(,0),(0,)ab， 其中長軸長為2a， 短軸長為 2b； 準(zhǔn)線 ： 兩條準(zhǔn)線2axc；離心率 ：cea，橢圓01e，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。如（ 1

49、）若橢圓1522myx的離心率510e，則m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1 時，則橢圓長軸的最小值為_（答：22）（2）雙曲線 （以22221xyab（0,0ab）為例） ：范圍 ：xa或,xa yr；焦點 ：兩個焦點(,0)c；對稱性 ：兩條對稱軸0,0 xy，一個對稱中心（ 0,0 ） ，兩個頂點(,0)a，其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為22,0 xyk k；準(zhǔn)線 ：兩條準(zhǔn)線2axc；離心率：cea，雙曲線1e，等軸雙曲線2e，e越小，開口越小，e越大，開口越大；

50、兩條漸近線 ：byxa。如 （1） 雙曲線的漸近線方程是023yx，則該雙曲線的離心率等于_ （答：132或133） ；（2）雙曲線221axby的離心率為5，則:a b= （答： 4 或14） ；（3）設(shè)雙曲線12222byax（a0,b0）中，離心率e2,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：,32） ；（3）拋物線 （以22(0)ypx p為例） ： 范圍 ：0,xyr；焦點：一個焦點(,0)2p，其中p的幾何意義是：焦點到準(zhǔn)線的距離；對稱性 ：一條對稱軸0y，沒有對稱中心， 只有一個頂點 （0,0 ） ；準(zhǔn)線 ：一條準(zhǔn)線2px； 離心率 ：cea，拋物線1e。如設(shè)raa,0，則拋物線

51、24axy的焦點坐標(biāo)為 _（答：)161,0(a） ；5、點00(,)p xy和橢圓12222byax（0ab）的關(guān)系 ： （1）點00(,)p xy在橢圓外2200221xyab； （2）點00(,)p xy在橢圓上220220byax1； （3）點00(,)p xy在橢圓內(nèi)2200221xyab6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交 ：0直線與橢圓相交；0直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時

52、，直線與拋物線相交且只有一個交點，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y2=6 的右支有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是 _（答： (-315,-1) ） ；（2） 直線 ykx1=0 與橢圓2215xym恒有公共點， 則 m的取值范圍是 _（答： 1 ，5）（ 5，+） ） ；（3）過雙曲線12122yx的右焦點直線交雙曲線于a、b兩點，若 ab 4，則這樣的直線有 _條（答： 3） ；（2）相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；（3）相離 ：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。

53、特別提醒 ： （1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時, 直線與雙曲線相交, 但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交, 也只有一個交點； （2）過雙曲線2222byax1 外一點00(,)p xy的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：p 點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；p 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； p在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近

54、線平行的直線，一條是切線； p 為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（ 1）過點)4 ,2(作直線與拋物線xy82只有一個公共點，這樣的直線有_（答： 2） ； （2）過點 (0,2) 與雙曲線116922yx有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為 _（答：44 5,33） ；（3）過雙曲線1222yx的右焦點作直線l交雙曲線于 a、b兩點，若ab4，則滿足條件的直線l有_條（答： 3） ；（4）對于拋物線c：xy42，我們稱滿足0204xy的點),(00yxm在拋物線的內(nèi)部，若點),(00yxm在拋物線

55、的內(nèi)部，則直線l：)(200 xxyy與拋物線c 的位置關(guān)系是_（答：相離）；（5）過拋物線xy42的焦點f作一直線交拋物線于p、q兩點，若線段 pf與 fq的長分別是p、q，則qp11_（答： 1） ；（6）設(shè)雙曲線191622yx的右焦點為f，右準(zhǔn)線為l，設(shè)某直線m交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于rqp,，則pfr和qfr的大小關(guān)系為 _(填大于、小于或等于 ) （答：等于）；（7）求橢圓284722yx上的點到直線01623yx的最短距離（答：8 1313） ；（8）直線1axy與雙曲線1322yx交于a、b兩點。當(dāng)a為何值時，a、b分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)a為何值時，以ab 為直徑的圓過坐

56、標(biāo)原點？（答：3,3；1a） ；7、焦半徑 （圓錐曲線上的點p到焦點 f的距離） 的計算方法 ：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑red，其中d表示 p到與 f所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（ 1）已知橢圓1162522yx上一點 p到橢圓左焦點的距離為3，則點 p到右準(zhǔn)線的距離為 _（答：353） ；（2）已知拋物線方程為xy82，若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（3）若該拋物線上的點m到焦點的距離是4，則點m的坐標(biāo)為 _（答：7,(2,4)） ；（4）點 p 在橢圓192522yx上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點 p的橫坐標(biāo)為

57、_（答：2512） ；（5）拋物線xy22上的兩點 a、 b到焦點的距離和是5， 則線段 ab的中點到y(tǒng)軸的距離為 _（答： 2） ；（ 6） 橢圓13422yx內(nèi)有一點)1, 1(p，f 為右焦點，在橢圓上有一點m ，使mfmp2之值最小，則點m的坐標(biāo)為 _（答：)1,362(） ；8、焦點三角形 （橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題 ：常利用第一定義和正弦、 余弦定理求解。 設(shè)橢圓或雙曲線上的一點00(,)p xy到兩焦點12,f f的距離分別為12,r r，焦點12f pf的面積為s，則在橢圓12222byax中，) 12arccos(212rrb， 且當(dāng)12rr即p為 短

58、 軸端 點 時，最 大 為max222arccosacb；20tan|2sbc y，當(dāng)0|yb即p為短軸端點時，m axs的最大值為 bc；對于雙曲線22221xyab的 焦 點 三 角 形 有 ： 21221arccosrrb； 2cotsin21221brrs。如（1）短軸長為5，離心率32e的橢圓的兩焦點為1f、2f，過1f作直線交橢圓于 a、b兩點，則2abf的周長為 _（答： 6） ；（2）設(shè) p 是等軸雙曲線)0(222aayx右支上一點， f1、f2是左右焦點，若0212ffpf，|pf1|=6 ，則該雙曲線的方程為（答：224xy） ；（3）橢圓22194xy的焦點為 f1、f

59、2，點 p為橢圓上的動點， 當(dāng)pf2pf1 0 時，點 p的橫坐標(biāo)的取值范圍是（答：3 5 3 5(,)55） ；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率 e26，f1、f2是它的左右焦點，若過f1的直線與雙曲線的左支交于a、 b 兩點，且ab是2af與2bf等差中項，則ab_（答：8 2） ；（5）已知雙曲線的離心率為2，f1、f2是左右焦點， p 為雙曲線上一點，且6021pff，31221fpfs求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：221412xy） ；9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)： （1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè) ab為焦點弦， m 為準(zhǔn)線與 x 軸的交點， 則 amf

60、 bmf ； （3）設(shè) ab為焦點弦， a、b在準(zhǔn)線上的射影分別為a1，b1，若 p為 a1b1的中點，則 pa pb； （4）若 ao的延長線交準(zhǔn)線于c，則 bc平行于 x 軸，反之，若過b 點平行于 x軸的直線交準(zhǔn)線于c點，則 a，o，c三點共線。10、弦長公式 ：若直線ykxb與圓錐曲線相交于兩點a、b，且12,x x分別為 a、b 的橫坐標(biāo)，則ab2121kxx，若12,yy分別為a、 b 的縱坐標(biāo)，則ab21211yyk，若弦 ab所在直線方程設(shè)為xkyb，則ab2121kyy。特別地，焦點弦（過焦點的弦） ：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和