（人教B版必修5）2.3.1等比數(shù)列學(xué)案（含答案）

1、§2.3等比數(shù)列23.1等比數(shù)列自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理1如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的_都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的_，通常用字母q表示(q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：_.3等比中項(xiàng)的定義如果x、G、y成等比數(shù)列，那么G叫做x與y的_，且G2_.4對(duì)于正整數(shù)m，n，p，q，若mnpq，則等比數(shù)列中am，an，ap，aq的關(guān)系是_5證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列最基本的方法是定義，即_(用數(shù)學(xué)式子表示) 自主探究首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列在各條件下的單調(diào)性如下表：a1a1>0a1<0q范圍0<q<1q1q>10<

2、;q<1q1q>1an的單調(diào)性對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例1已知an為等比數(shù)列，a32，a2a4，求an的通項(xiàng)公式總結(jié)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1qn1中有四個(gè)量a1，q，n，an.已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)，簡(jiǎn)稱“知三求一”變式訓(xùn)練1已知等比數(shù)列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.1 / 7知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2已知an為等比數(shù)列(1)若an>0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an>0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值總結(jié)在等比數(shù)列an中，若mnpq，則amanapaq，利用這一性質(zhì)可以化繁為

3、簡(jiǎn)變式訓(xùn)練2設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q2，且a1·a2·a3··a30215，求a2·a5·a8··a29的值知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的判斷與證明例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn(an1) (nN*)(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列總結(jié)利用等比數(shù)列的定義q (q0)是判定一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列的基本方法變式訓(xùn)練3設(shè)Sn為數(shù)列an前n項(xiàng)和，Snkn2n，nN*，其中k是常數(shù)(1)求a1及an；(2)若對(duì)于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，求k的值1等比數(shù)列的判斷或證明(1)利用定

4、義：q (與n無(wú)關(guān)的常數(shù))(2)利用等比中項(xiàng)：aanan2 (nN*)2如果證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過(guò)具有三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列來(lái)證明，即存在an0，an01，an02，使a2n01an0·an02，也可以用反證法3等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1qn1共涉及an，a1，q，n四個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè). 課時(shí)作業(yè)一、選擇題1如果1，a，b，c，9成等比數(shù)列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac92在等比數(shù)列an中，an>0，且a21a1，a49a3，則a4a5的值為()A16 B27 C36 D813在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a4

5、a5a63，log3a1log3a2log3a8log3a9的值為()A. B. C2 D34一個(gè)數(shù)分別加上20,50,100后得到的三數(shù)成等比數(shù)列，其公比為()A. B. C. D.5已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a2為()A2 B3 C2 D3二、填空題6在等比數(shù)列an中，a11，a516，則a3_.7首項(xiàng)為3的等比數(shù)列的第n項(xiàng)是48，第2n3項(xiàng)是192，則n_.8一個(gè)直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是_三、解答題9等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，a2a542，求a5，a7的等比中項(xiàng)23.1等比數(shù)列知識(shí)梳理12比公比2ana1qn13等比中項(xiàng)x

6、y4am·anap·aq5.q, (nN*)自主探究遞減常數(shù)列遞增遞增常數(shù)列遞減對(duì)點(diǎn)講練例1解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q0.a2，a4a3q2q，2q.解得q1，q23.當(dāng)q時(shí)，a118，an18×n12×33n.當(dāng)q3時(shí)，a1，an×3n12×3n3.綜上，當(dāng)q時(shí)，an2×33n；當(dāng)q3時(shí)，an2×3n3.變式訓(xùn)練1解由等比數(shù)列的定義知a2a1q，a3a1q2代入已知得，將a1代入得2q25q20，解得q2或q.由得或當(dāng)a11，q2時(shí)，an2n1；當(dāng)a14，q時(shí)，an23n.例2解(1)a2a42a3a5a4

7、a6a2a3a5a(a3a5)225，an>0，a3a5>0，a3a55.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79.a1a2a9a10(a5a6)595.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log3955log3910.變式訓(xùn)練2解a1·a2·a3··a30(a1a30)·(a2a29)··(a15·a16)(a1a30)15215，a1a302.a2·a5·a8··a29(a2a29)·(a5

8、a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)(a2a29)5(a1a30)52532.例3(1)解由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)證明當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(an1)(an11)，得，又，所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列變式訓(xùn)練3解(1)由Snkn2n，得a1S1k1，anSnSn12knk1(n2)a1k1也滿足上式，所以an2knk1，nN*.(2)由am，a2m，a4m成等比數(shù)列，得(4mkk1)2(2kmk1)(8kmk1)，將上式化簡(jiǎn)，得2km(k1)0，因?yàn)閙N*，所以

9、m0，故k0或k1.課時(shí)作業(yè)1Bb2(1)×(9)9且b與首項(xiàng)1同號(hào)，b3，且a，c必同號(hào)2B由已知a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍)，a4a5(a3a4)q27.3Aa4a6a，a4a5a6a3，得a53.a1a9a2a8a，log3a1log3a2log3a8log3a9log3(a1a2a8a9)log3alog33.4A設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則(50x)2(20x)·(100x)，解得x25，這三個(gè)數(shù)為45,75,125，公比q為.5D因?yàn)閍1，a2，a5成等比數(shù)列，所以aa1·a5，即a(a22)·(a26)解得a23.64解析q416，q24，a3a1q24.75解析設(shè)公比為q，則q24，得q±2.由(±2)n11