第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

1、概率論課程教案第三章 多維隨機(jī)變量及其分布教學(xué)目的與教學(xué)要求：掌握多維隨機(jī)變量的概念及其聯(lián)合分布；理解幾種常見的多維分布；掌握邊際分布；理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念；掌握隨機(jī)變量的獨(dú)立性的判定方法；會(huì)求多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布；掌握多維隨機(jī)變量的特征數(shù)；理解條件分布與條件期望。教學(xué)重點(diǎn)：多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布的求法。教學(xué)措施：理論部分的教學(xué)多采用講授法，注意思想方法的訓(xùn)練，計(jì)算類問題采用習(xí)題與討論的方法進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)時(shí)數(shù)：20學(xué)時(shí)教學(xué)過程：在許多隨機(jī)試驗(yàn)中，需要考慮的指標(biāo)不止一個(gè)，有時(shí)要用多

2、個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量來描述。§3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布§3.1.1 多維隨機(jī)變量定義3.1.1 若、是定義在同一個(gè)樣本空間上的個(gè)隨機(jī)變量，則稱為維隨機(jī)變量或維隨機(jī)向量。§3.1.2 聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.2 對任意的個(gè)實(shí)數(shù)、，個(gè)事件、同時(shí)發(fā)生的概率稱為維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。以下主要討論二維隨機(jī)變量，二維以上的情況可類似進(jìn)行。二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。若把二維隨機(jī)變量看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)在處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落入點(diǎn)該左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。定理3.1.1 任一二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)必具有如下性質(zhì)：(1) 單調(diào)性：

3、分別對或是單調(diào)不減函數(shù)，即對任意固定的，當(dāng)時(shí)，；對任意固定的，當(dāng)時(shí)，；(2) 有界性：對任意的和，有，且對任意固定的，有；對任意固定的，有；。(3) 右連續(xù)性：關(guān)于或右連續(xù)，即、；(4) 非負(fù)性：對于任意、，有任意一個(gè)具有上述四條性質(zhì)的二元函數(shù)一定是某個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。§3.1.3 聯(lián)合分布列定義3.1.3 若二維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)對，則稱為二維離散隨機(jī)變量，稱 稱為的聯(lián)合分布列或分布列。二維離散隨機(jī)變量的分布列也可用表格形式表示：聯(lián)合分布列的性質(zhì)：(1) 非負(fù)性：；(2) 正則性：。確定聯(lián)合分布列的方法：(1) 確定隨機(jī)變量的所有取值數(shù)對；(2) 計(jì)算取每個(gè)數(shù)

4、對的概率；(3) 列出表格。例3.1.1 設(shè)，令、，試求的聯(lián)合分布列？解：由題意知：的可能取值數(shù)對及相應(yīng)的概率如下：于是的聯(lián)合分布列為0100.04550.2719100.6826§3.1.4 聯(lián)合密度函數(shù)定義3.1.4 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為。若存在非負(fù)可積函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，有則稱為二維連續(xù)隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度。若在點(diǎn)處連續(xù)，則事實(shí)上，由定義知。聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)：(1) 非負(fù)性：；(2) 正則性：。凡滿足性質(zhì)(1)、(2)的任意一個(gè)二元函數(shù)，必可作為某個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)。設(shè)為平面上的一個(gè)區(qū)域，則有例3.1.2 設(shè)二維隨

5、機(jī)變量的密度函數(shù)為(1) 確定常數(shù)；(2) 求；(3) 求分布函數(shù)？解：(1) 利用密度函數(shù)的性質(zhì)可得：；(2) ；(3) 由得當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)或時(shí)，有所以。§3.1.5 常用多維分布一、多項(xiàng)分布進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果：、，且每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，記為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則取值的概率，即出現(xiàn)次、出現(xiàn)次、出現(xiàn)次的概率為其中，這個(gè)聯(lián)合分布列稱為項(xiàng)分布，又稱為多項(xiàng)分布，記為。二、多維超幾何分布多維超幾何分布的描述：袋中有只球，其中有只號球，從中任意取出只，若記為取出的只球中號球的個(gè)數(shù)，則其中。三、多維均勻分布定義 設(shè)為中的一個(gè)有界區(qū)域，其度量為，若多維隨機(jī)變量的

6、聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從上的多維均勻分布，記為。四、二維正態(tài)分布定義 若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為其中，參數(shù)、，則稱服從二維正態(tài)分布，記為。以后將指出：、分別是與的均值，、分別是與的方差，是與的相關(guān)系數(shù)。的圖形如下：§3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性問題：已知二維隨機(jī)變量的分布，如何求出和各自的分布？§3.2.1 邊際分布函數(shù)若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則的邊際分布函數(shù)為；的邊際分布函數(shù)為。用類似的方法可得到多維隨機(jī)變量的邊際分布函數(shù)。例3.2.1 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為這個(gè)分布被稱為二維指數(shù)分布，求其邊際分布？解：由題意知：。注：與的邊際分布都是一維指數(shù)分布

7、，且與參數(shù)無關(guān)。不同的對應(yīng)不同的二維指數(shù)分布，但它們的兩個(gè)邊際分布不變，這說明邊際分布不能唯一確定聯(lián)合分布。§3.2.2 邊際分布列二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為 則的邊際分布列為 ；的邊際分布列為 。也可用表格形式表示：§3.2.3 邊際密度函數(shù)若二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，則的邊際密度函數(shù)為；的邊際密度函數(shù)為。注意：由聯(lián)合分布可以求出邊際分布，但由邊際分布一般無法求出聯(lián)合分布，所以聯(lián)合分布包含更多的信息例3.2.2 設(shè)，求關(guān)于和的邊際密度函數(shù)？解：令，于是同理可得即：、。本例說明：(1) 若，則、；(2) 和邊際分布都與參數(shù)無關(guān)，這說明不同，得到的二維正態(tài)分布也不

8、同，但其邊際分布是相同的。這再次說明聯(lián)合分布不能由邊際分布唯一確定。即使和都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也可能不是服從正態(tài)分布的。下面的例題就說明了這種情況。例3.2.3 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為試求和邊際密度函數(shù)和？解：由于為奇函數(shù)，所以同理可得即和，但卻不是服從二維正態(tài)分布的。注：二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布。§3.2.4 隨機(jī)變量間的獨(dú)立性定義3.2.1 設(shè)維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，為的邊際分布函數(shù)。若對任意個(gè)實(shí)數(shù)、，有則稱、相互獨(dú)立。在離散隨機(jī)變量場合，若對任意個(gè)取值、，有則稱、相互獨(dú)立。在連續(xù)隨機(jī)變量場合，若對任意個(gè)取值、，有則稱、相互獨(dú)立。注意：(1)

9、 與相互獨(dú)立的本質(zhì)是：對任意實(shí)數(shù)、，有；(2) 若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立。例3.2.4 設(shè)的聯(lián)合分布列為：0100.30.410.20.1問與是否獨(dú)立？解：與的邊際分布列分別為：010.70.3010.50.5因?yàn)樗耘c不獨(dú)立。例3.2.5 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為問與是否相互獨(dú)立？解：為判斷與是否相互獨(dú)立，只需看邊際密度函數(shù)的乘積是否等于聯(lián)合密度函數(shù)，為此先求邊際密度函數(shù)。當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是由此得，所以與不獨(dú)立。注意：(1) 若服從矩形上的均勻分布，則與相互獨(dú)立；(2) 若服從單位圓上的均勻分布，則與不獨(dú)立；(3) 在聯(lián)合密度函數(shù)的表達(dá)式中，若的取值與的取值有關(guān)系

10、，則與不獨(dú)立；(4) 若聯(lián)合密度函數(shù)可分離變量，即，與相互獨(dú)立；(5) 若，則與相互獨(dú)立的充要條件是。§3.3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量的分布，如何求出的分布？§3.3.1 多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為維離散隨機(jī)變量，則是、的函數(shù)，其是一維離散隨機(jī)變量。多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法：(1) 對的各種可能取值對，求出相應(yīng)的取值；(2) 對的相同的取值，合并其對應(yīng)的概率。例3.3.1 設(shè)、，且與相互獨(dú)立，試證：。證明：由題意知：的所有可能取值為0、1、2、，而故。結(jié)論 若、，且與相互獨(dú)立，則。§3.3.2 最大值與最小值的分布求最大值與最小值

11、分布的一般思路如下：例3.3.2（最大值分布）設(shè)是個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，試求的分布？解：的分布函數(shù)為：。例3.3.3（最小值分布）設(shè)是個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，試求的分布？解：的分布函數(shù)為：。§3.3.3 連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1 設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為、，則的密度函數(shù)為或證明：的分布函數(shù)為其中區(qū)域如圖所示。于是的密度函數(shù)同理可得：上式又稱為和的卷積。本定理的結(jié)果就是連續(xù)場合下的卷積公式。若同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性。例3.3.4 設(shè)、，且相互獨(dú)立，試求的密度函數(shù)？解：的密度函數(shù)即服從正態(tài)分布。結(jié)論 若、，且相互獨(dú)立，

12、則。結(jié)論 若，且相互獨(dú)立，則其中、是不全為零的實(shí)數(shù)。結(jié)論 若、，且相互獨(dú)立，則。結(jié)論 若，且相互獨(dú)立，則。§3.3.4 變量變換法一、變量變換法設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一的反函數(shù)，其變換的雅可比行列式若，則的聯(lián)合密度函數(shù)為。這個(gè)方法實(shí)際上就是二重積分的變量變換法，其證明可參閱數(shù)學(xué)分析教科書。二、增補(bǔ)變量法增補(bǔ)變量法實(shí)質(zhì)上是變換法的一種應(yīng)用：為了求出二維連續(xù)隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)，增補(bǔ)一個(gè)新的隨機(jī)變量，一般令或。先用變換法求出的聯(lián)合密度函數(shù)，再對關(guān)于積分，從而得出關(guān)于的邊際密度函數(shù)。例3.3.5（積的公式）設(shè)與相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為和，則的密度函數(shù)為。證明：

13、令，則的反函數(shù)為，雅可比行列式為從而的聯(lián)合密度函數(shù)為。例3.3.6（商的公式）設(shè)與相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為和，則的密度函數(shù)為。證明：令，則的反函數(shù)為，雅可比行列式為從而的聯(lián)合密度函數(shù)為。§3.4 多維隨機(jī)變量的特征數(shù)§3.4.1 多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.1 若二維隨機(jī)變量的分布用聯(lián)合分布列或聯(lián)合密度函數(shù)表示，則的數(shù)學(xué)期望為。這里所涉及的數(shù)學(xué)期望都假設(shè)存在。例3.4.1 設(shè)國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量（單位：噸），且。若售出這種商品1噸，可賺3萬元，但銷售不出去，則每噸需付倉庫保管費(fèi)1萬元，問每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸該商品才可得到最大利益？解：設(shè)

14、每年應(yīng)準(zhǔn)備噸該種商品，則收益當(dāng)時(shí)，取到最大值，因而，每年應(yīng)準(zhǔn)備3500噸該商品。§3.4.2 數(shù)學(xué)期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)3.4.1 設(shè)是二維隨機(jī)變量，則有。注：。性質(zhì)3.4.2 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則有。注：若、相互獨(dú)立，則有。性質(zhì)3.4.3 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則有。注：若、相互獨(dú)立，則有。例3.4.2 已知隨機(jī)變量、相互獨(dú)立，且、，求的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差？解：由題意得。§3.4.3 協(xié)方差定義3.4.1 設(shè)是二維隨機(jī)變量，若存在，則稱此數(shù)學(xué)期望為與的協(xié)方差，或稱為與的相關(guān)（中心）矩，記為。特別有。注：當(dāng)時(shí)，稱與正相關(guān)，這時(shí)與同時(shí)增加或同時(shí)減少；當(dāng)時(shí)，稱與負(fù)相關(guān)

15、；當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān)。協(xié)方差的性質(zhì)：性質(zhì)3.4.4 。性質(zhì)3.4.5 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則，反之不然。注：不相關(guān)是比獨(dú)立更弱的一個(gè)新概念。性質(zhì)3.4.6 對任意二維隨機(jī)變量，有。注：該性質(zhì)可以推廣到更多個(gè)隨機(jī)變量場合，即對任意個(gè)隨機(jī)變量、，有。性質(zhì)3.4.7 協(xié)方差的計(jì)算與、的次序無關(guān)，即：。性質(zhì)3.4.8 任意隨機(jī)變量與常數(shù)的協(xié)方差為零，即。性質(zhì)3.4.9 對任意常數(shù)、，有。性質(zhì)3.4.10 設(shè)、是任意三個(gè)隨機(jī)變量，則。例3.4.3 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為試求？解：由題意知：。§3.4.4 相關(guān)系數(shù)定義3.4.2 設(shè)是二維隨機(jī)變量，且、，則稱為與的（線性）相關(guān)系數(shù)。注：(

16、1) 與同符號，故從的取值也可反應(yīng)出與的正相關(guān)，負(fù)相關(guān)和不相關(guān)；(2) 相關(guān)系數(shù)的另一個(gè)解釋是：它是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化變量的協(xié)方差。若記與的數(shù)學(xué)期望分別為、，其標(biāo)準(zhǔn)化變量為、則有。結(jié)論 若，則相關(guān)系數(shù)為。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：引理3.4.1（施瓦茨不等式）對任意二維隨機(jī)變量，若與的方差都存在，則有。性質(zhì)3.4.11 。性質(zhì)3.4.12 的充要條件是與之間幾乎處處有線性關(guān)系，即存在與，使得，其中當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)有。證明：充分性：若存在與，使得，則；必要性：由于當(dāng)時(shí)，有即：與之間幾乎處處有線性關(guān)系；當(dāng)時(shí)，同理可證。注：(1) 若，稱與不相關(guān)。不相關(guān)是指與之間沒有線性關(guān)系，但與之間可能有其他的關(guān)系，如平方關(guān)系、對數(shù)

17、關(guān)系等；(2) 若，則稱與完全正相關(guān)；若，則稱與完全負(fù)相關(guān)。例3.4.4 若，且，討論與是否相關(guān)？解：由及的密度函數(shù)為偶函數(shù)可得所以，與不相關(guān)。此例說明與不相關(guān)，但與也不獨(dú)立。性質(zhì)3.4.13 若，則與不相關(guān)與獨(dú)立。§3.4.5 隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣定義3.4.3 設(shè)是一維隨機(jī)向量，若它的每個(gè)分量的數(shù)學(xué)期望都存在，則稱為維隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望向量，簡稱為的數(shù)學(xué)期望，稱為該隨機(jī)向量的方差協(xié)方差陣，簡稱協(xié)方差陣，記為，稱為該隨機(jī)向量的相關(guān)矩陣，記為。協(xié)方差陣的性質(zhì)：定理3.4.2 維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣是一個(gè)對稱的非負(fù)定矩陣。§3.5 條件分布與條件期望§3.5.1 條件分布一、離散隨機(jī)變量的條件分布設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為 定義3.5.1 對一切使的，稱 為給定條件下的的條件分布列；對一切使的，稱 為給定條件下的的條件分布列。定義3.5.2 給定條件下的條件分布函數(shù)為；給定條件下的條件分布函數(shù)為。例3.5.1 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且、，在已知的條件下求的條件分布？解：由泊松分布的可加性知：，于是即。二、連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，邊際密度函數(shù)為和。定義3.5.3 對一切使的，給定條件下的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)分別為；對一切使的，給定條件下的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)分別為。三、