屆江蘇啟東中學(xué)高三年級(jí)第一次模擬考試_數(shù)學(xué)

1、2021屆江蘇啟東中學(xué)高三年級(jí)第一次模擬考試一、填空題 ： 本大題共14 小題，每道題5 分，計(jì) 70 分.1設(shè)集合 m答案： 12,0, x，集合 n0,1，如 nm ，就 x.2如復(fù)數(shù) z答案： 1ai （其中 i 為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，就實(shí)數(shù)a.i3在一次射箭競(jìng)賽中，某運(yùn)動(dòng)員5 次射箭的環(huán)數(shù)依次是9,10,9,7,10 ，就該組數(shù)據(jù)的方差是.6答案：54甲、乙兩位同學(xué)下棋，如甲獲勝的概率為0.2 ，甲、乙下和棋的概率為0.5 ，就乙獲勝的概率為.答案： 0.3解讀：為了表達(dá)新的考試說(shuō)明，此題挑選了互斥大事，選材于課本中的習(xí)題；5如雙曲線x2y2a 2 a0 的右焦點(diǎn)與拋物線y24

2、 x 的焦點(diǎn)重合，就a.2答案：26運(yùn)行如下列圖的程序后，輸出的結(jié)果為.答案： 42解讀：此題的答案簡(jiǎn)單錯(cuò)為22 ；i 1 s0whilei 8 i i + 3s 2i + s2 xy07如變量 x, y 滿意x2 y30 ，就 2x y 的最大值為.endwhileprints第 6 題圖x0答案： 88如一個(gè)圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積是底面積的2 倍，就該圓錐的體積為.3答案：39如函數(shù)f xsinx0 圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖象關(guān)62于點(diǎn) x0 ,0成中心對(duì)稱，x00, ，就 x02.5答案：12· 1·10如實(shí)數(shù)x, y 滿意 xy0 ，且lo

3、g 2 xlog 2 y1 ，就 xy 2的最小值為.2xy答 案 ： 4 11設(shè)向量 asin 2,cos ， bcos,1 ，就“a/b ”是“tan1”成立的條件2選填“充分不必要” 、“必要不充分” 、“充要”、“既不充分也不必要” .答案：必要不充分12在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè)直線yx2 與圓 x2y2r 2 r0 交于a, b 兩點(diǎn)， o 為坐uuur5 uuur3 uuur標(biāo)原點(diǎn)，如圓上一點(diǎn)c 滿意答案：10ocoaob 44，就 r.13 已 知f x是 定 義 在 2,2上 的 奇 函 數(shù) ， 當(dāng)x0,2 時(shí) ，f x2 x1 ， 函 數(shù)2g xx2xm . 假如對(duì)于x

4、2, 2 ，x2, 2 ，使得 g x f x ，就實(shí)數(shù) m 的1221取值范疇是.答案： 5,214已知數(shù)列a滿意 a1 ， aa ， | aa|2n nn * ，如數(shù)列a單調(diào)遞減，n121n 1n2 n 1數(shù)列a2 n單調(diào)遞增，就數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.答案：2 n31（ 說(shuō)明：本答案也可以寫(xiě)成,n321 ,3n為奇數(shù)）n為偶數(shù)二、解答題：15 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，設(shè)銳角的始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)p x1 , y1 ，將射線op 繞坐標(biāo)原點(diǎn)o 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)2q x2 ,y2 .記f y1y2 .（ 1）求函數(shù)f 的值域；y（ 2）設(shè)

5、abc 的角a, b, c 所對(duì)的邊分別為a ,b, c ，q如 f c 2 ，且 a2 ， c1，求 b .pox解：（ 1 ）由題意，得y1sin, y2sincos 2，4 分所 以 f sincos2 sin ，6 分4第 15 題圖由于0, ，所以2, 3444 ，故f 1,2 .8· 2·分（ 2 ）由于分f c2 sin 4c 2 ，又 c0, ，所以 c2，104在abc 中，由余弦定理得c2a2b 22ab cos c ，即 12b2222 b ，2解得 b分1.14（說(shuō)明：第（2 ）小題用正弦定理處理的，類似給分） 16 本小題滿分14 分d1c1如圖，

6、在正方體abcda1b1c1d1 中，o, e 分別為b1 d , ab 的中點(diǎn) .o（ 1）求證：oe / 平面bcc1b1 ；a1b1（ 2）求證：平面b1dc平面b1de .證明（ 1 ）：連接 bc1 ，設(shè)bc1 ib1cf ，連接 of ，2 分dc1由于 o， f 分別是b1d 與 b1c 的中點(diǎn)，所以of / dc ，且ofdc ，2aeb又 e 為 ab 中點(diǎn)，所以eb / dc ，且eb1 dc ，2第 16 題圖d1c1從而 of/ eb, ofeb ，即四邊形oebf是平行四邊形，b 1所以 oe / bf ，6 分a1又 oe面 bcc1b1 ， bf面 bcc1 b1

7、 ，of所以 oe / 面bcc1 b1 .8 分dc（ 2 ）由于 dc面 bcc1b1 ，bc1面 bcc1b1 ，所以 bc1dc ，10 分aeb又 bc1b1c ，且dc , b1c面 b1dc ， dc ib1cc ，d 1c1所以 bc1面 b1 dc ，12 分而 bc1 / oe ，所以 oe面b1dc ，又 oe面 b1de ，a1b 1y所以面b1 dc面 b1 de .14 分bx2y 217 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，橢圓c :1ab0 的右dlca2b 2·準(zhǔn)線方程為x4 ，右頂點(diǎn)為a ，上頂點(diǎn)為b ，右焦點(diǎn)為f ，斜率為 225ofaxae pb的直線

8、 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a ，且點(diǎn) f 到直線 l 的距離為.5（ 1）求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）將直線 l 繞點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)，它與橢圓c 相交于另一點(diǎn)p ，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線l 的斜率 .b, f , p第 16 題圖第 17 題圖解：（ 1）由題意知，直線l 的方程為y分2 xa ，即 2 xy2 a0 ，2· 3·右焦點(diǎn) f 到直線 l 的距離為分2c2a 5a225 ，ac5a21，4又橢圓 c 的右準(zhǔn)線為xx24 ，即cy24 ，所以c，將此代入上式解得a 42, c1 ，b23 ，橢圓 c 的方程為1 ； 436 分（ 2 ）由（ 1 ）知8 分b 0,3， f

9、 1,0，直線 bf 的方程為y3 x1 ，聯(lián)立方程組y3 xx2y281) x5，解得x0或（舍），即p 8 ,33 ，12 分431y33y3555直線 l 的斜率 k14 分其他方法：033 533 .2825方法二 : 由（ 1 ）知b0,3， f 1,0 ，直線 bf 的方程為y3 x1) ，由題a2,0 ，明顯直線l 的斜率存在，設(shè)直線l 的方程為yk x2) ，聯(lián)立方程組y3 x1，解得x2k k33，代入橢圓解得：k33 或 k3，又由題意知，ykxy3k20 得 k0 或y3k22k3k3k3 ，所以 k33 .2方法三：由題a2,0，明顯直線l 的斜率存在，設(shè)直線l 的方程

10、為ykx2 ，聯(lián)立方程組yk x22xy432，得4k213 x216k 2x16k 2120 ，x axp16k 2，4k 23所以 xp16k 24k 2328k 24 k26, yp312k，當(dāng)4k 23b, f , p 三點(diǎn)共線時(shí)有，k bpk bf ，· 4·12k3即8k26，解得 k或 k12，又由題意知，y234k234k 2333333k0 得 k0或kk3 ，所以 k33 .218 某地?cái)M仿照?qǐng)D甲建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲y線 ab 是以點(diǎn) e 為圓心的圓的一部分，其b中 e0, t （ 0t25 ，單位：米） ；曲線cb

11、c 是拋物線yax 250a0 的一·e部分； cdad ，且 cd 恰好等于圓e 的f aodx半徑 . 假定擬建體育館的高ob50米.（ 1）如要求 cd30 米， ad245 米，第 18 題-甲第 18 題- 乙求 t 與 a 的值；（ 2）如要求體育館側(cè)面的最大寬度df 不超過(guò) 75米，求 a 的取值范疇； 1（ 3）如a，求 ad 的最大值 .251（參考公式：如f xax ，就f x）2ax解：（ 1）由于 cd分50t30 ，解得 t20.2此時(shí)圓e : x2 y202302 ，令 y0 ，得 ao105 ，所以 odadao中，解得 a1 .494 分2451051

12、45，將點(diǎn)c 145,30 代入2yax250a0t（ 2 ）由于圓 e 的半徑為 50t ，所以 cdt50t ，在yax50 中令 y50t ， 得 od，a就由題意知fd分50t75 對(duì) ta0,25恒成立，8所以1t25at1恒成立，而當(dāng)1t25 ，即 tt25 時(shí)，t25取最小值10 ，t故a10 分10 ，解得a.100· 5·1222（ 3 ） 當(dāng)a時(shí) ， od 255t ， 又 圓 e 的 方 程 為 x yt50t ， 令 y0 ， 得x1025t ，所以 ao1025t ，從而12 分adf t1025t5t 0t25 ，又由于f t 521 525t2

13、t ，令f t0 ，得 t5 ，14 分25tt25tt當(dāng) t0,5 時(shí) ， ft0 ，f t 單調(diào)遞增；當(dāng)t5,25 時(shí)，f t0 ，f t 單調(diào)遞減，從而當(dāng) t5時(shí)，f t 取最大值為255 .答：當(dāng) t16 分5 米時(shí)， ad 的最大值為255 米.（說(shuō)明：此題仍可以運(yùn)用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分）19 設(shè)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n 項(xiàng)和為sn ，如a1a564 ， s5s348 .（ 1 ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（ 2 ）對(duì)于正整數(shù)k, m, l （ kml ），求證：“ mk1且 lk3 ”是“ 5ak , am, al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成

14、立的充要條件；（ 3）設(shè)數(shù)列bn滿意：對(duì)任意的正整數(shù)n ，都有a1bna2bn 1a3bn 2lanb13 2n 1范疇 .4 n6 ，且集合mn | bn an, nn *2中有且僅有3 個(gè)元素， 試求的取值解：（ 1 ） q 數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1a5a364 ，a38 ，又q s5s3分48 ，a4a58q 28q48 ，q2 ，an8 2n 32n ；4（ 2 ）（）必要性：設(shè)5ak , am , al這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列， 如 2 5akamal，就 102k2m2l ，102 m k2l k ，52m k 12l k 1 ，2m k 11,2l k 14

15、6 分mk1.lk3如 2am5akal ，就 22m5 2k2l ，2m 1 k2l k5 ，左邊為偶數(shù)，等式不成立，如 2al5akam ，同理也不成立，綜合， 得 mk分1,lk3 ，所以必要性成立.8（）充分性：設(shè)mk1， lk3 ，就 5ak , am , al列，這三項(xiàng)為5ak , ak1 , ak3 ，即 5ak , 2ak ,8 ak ，調(diào)整次序后易知2ak ,5 ak ,8 ak 成等差數(shù)所以充分性也成立.· 6·綜合（）（），原命題成立 .10分（ 3 ）由于a ba ba bla b3 2 n 14n6 ，1 n2 n 13 n 2n 1123nn 1

16、n31即 2 bn2 bn 12 bn 2l2 b13 24 n6 ，（ * ）當(dāng) n2 時(shí)，21b22 b23bl2 n 1 b3 2n4n2 ，（ * ）n1n2就（ * ）式兩邊同乘以2 ，得22 b23 b24 4 bl2n b3 2n 18n4 ，（ * ）nnn1123（ * ）（ * ），得 2bn4 n2 ，即 bn2n1n2 ，又當(dāng) n14 分1 時(shí)，2b13 2 2102 ，即 b11 ，適合 bn2 n1n2 ，bn2n1 .bn2 n1bnbn 12 n12n352nnna2n，anan 122n 12n，bnan2 時(shí)，nbn 1an 10 ，即 b2b1 ；a2a1

17、bnan3 時(shí)，nbn 1an 10 ，此時(shí)bn單調(diào)遞減，anb1又a116 分1 b2，2 a23 b3，4 a35 b4，8a4771，.1616220 已知函數(shù)f xex ，g xmxn .（ 1）設(shè)h xf xg x . 如函數(shù)h x 在 x0 處的切線過(guò)點(diǎn)1,0 ，求 mn 的值； 當(dāng) n0 時(shí)，如函數(shù)1h x 在 1, 上沒(méi)有零點(diǎn)，求m 的取值范疇；nx（ 2）設(shè)函數(shù)r xf xg x，且 n4mm0 ，求證：當(dāng)x0 時(shí)，r x1 .解：（ 1 ）由題意，得h xf xg xexmxnexm ，所以函數(shù)2 分h x 在 x0 處的切線斜率k1 m ，又 h01n ，所以函數(shù)h x

18、在 x0 處的切線方程y1n1m x ，將點(diǎn) 1,0 代入，得 mn2 .4 分xxx1（ 2 ）方法一：當(dāng)n10 ，可得xh xemxem ，由于 x1 ，所以 e，e當(dāng) m時(shí)， h xe1em0 ，函數(shù)h x1在 1, 上單調(diào)遞增，而11h01 ，所以只需6 分h11m0 ，解得 mex，從而m.eee當(dāng) m時(shí)，由eh xem0 ，解得 xln m1, ，· 7·當(dāng) x遞增 .1,lnm 時(shí)，h x0 ， hx單調(diào)遞減；當(dāng)xlnm, 時(shí)，h x0 ，h x 單調(diào)所以函數(shù)h x 在 1, 上有最小值為h ln mmm ln m ，令 mm ln m0 ，解得 me ，所以

19、 1me .e綜上所述，m10 分方法二：當(dāng)n1 , e .e0 ， exmx當(dāng) x0 時(shí)，明顯不成立；exexex xexexx1當(dāng) x1 且 xex0 時(shí)， m，令 yx，就 yxx2x2ex，當(dāng)1x0 時(shí)，y0 ，函數(shù) yex單調(diào)遞減，0xx11時(shí)， y0 ，函數(shù) y單調(diào)遞減，當(dāng)xx11時(shí)， y0 ，函數(shù) y單調(diào)遞增，又xy x1e ， y x 1e ，由題意知m,e .e（ 3 ）由題意，r x1nxxnx1m1 4xex4，f x14 xg xexnxmx而 r xxe1 等價(jià)于x4e 3 x4x40 ，令 f xex 3x4x4 ，12 分就 f 00 ，且f xex 3x11 ，

20、 f00 ，令 g xf x ，就g xex 3 x2 ，因 x0 ， 所以 g x0 ，14 分所以導(dǎo)數(shù)f x 在 0, 上單調(diào)遞增，于是f xf 00 ，從而函數(shù)16 分f x 在 0, 上單調(diào)遞增，即f xf 00 .附加題答案21.a 、（選修 4 1：幾何證明選講）c如圖，已知點(diǎn)p 為 rtabc 的斜邊 ab 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且pc 與rtabc 的外接圓相切，過(guò)點(diǎn)c 作 ab 的垂線，垂足為d ，如apa18 ， pc6 ，求線段 cd 的長(zhǎng) .dbp解：由切割線定理，得pc 2papb ，解得 pb2 ，所以 ab16 ，即 rtabc 的外接圓半徑r8 ，5 分記 rtabc

21、 外接圓的圓心為o ，連 oc ，就 ocpc ，第 21-a題圖· 8·10 分在 rtpoc 中，由面積法得ocpcpo cd ，解得cd24 .5b 、（選修 4 2：矩陣與變換）求直線 xy10 在矩陣 m2222的變換下所得曲線的方程.2222解：設(shè)p x, y 是所求曲線上的任一點(diǎn)，它在已知直線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為q x ,y ，22xyx就2222xyy225 分x，解得y2 xy2，2 yx2代入 xy10 中，得22xy yx10 ， 22化簡(jiǎn)可得所求曲線方程為x2 .10 分2c 、（選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，求圓2cos的圓心到直線2sin

22、1的距離 .3解：將圓2cos化為一般方程為x24 分y 22 x0 ，圓心為 1,0 ，又 2sin1 ，即 32 1 sin3 cos1 ，22所以直線的一般方程為3xy8 分10 ，3110 分故所求的圓心到直線的距離d.2d 、解不等式x1x24.3解：當(dāng) x1時(shí)，不等式化為3 分x12x4 ，解得x1 ；2當(dāng)1x2 時(shí)，不等式化為x12x6 分4 ，解得1x2 ；5當(dāng) x2 時(shí)， 不等式化為x1x24 ，解得 2x；2· 9·9 分所以原不等式的解集為3 , 5 .2210 分22 （本小題滿分10 分）如圖，在直三棱柱abca1b1c1 中， abac ， ab

23、3， ac4 ，a1c1動(dòng)點(diǎn) p 滿意uuuruuuurcpcc1 0 ，當(dāng)1時(shí)， ab12bp .b 1p（ 1）求棱cc1 的長(zhǎng)；（ 2）如二面角b1abp 的大小為ac，求的值 .3解：（ 1 ）以點(diǎn) a 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立空間直角坐標(biāo)系，ab, ac ,aa1 分別為x, y, z 軸，b第 22 題圖設(shè) cc1uuurm ，就b1 3,0, muuur， b3,0,0， p 0,4,uuurm ，所以 ab13,0, m ， pb3,4,m ， ab3,0,0 ，2 分1uuuruuur 1當(dāng)時(shí)，有2ab1pb3,0, m3,4,m02解得32 .m32，即棱urcc14 分的長(zhǎng)為（ 2 ）設(shè)平面 pab 的一個(gè)法向量為uuur uurn1 x, y, z ，ab n103 x0x0就由uu