多元函數(shù)積分學(xué)習題舉例

1、多元函數(shù)積分學(xué) 習題舉例目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算計算,dDyx其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2例例2. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域

2、由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為視為Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , 則則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目錄 上頁

3、 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積的直交圓柱面所圍的體積.解解: 設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性利用對稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解

4、解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DO2 cosra xyza2O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 1,:,22zyxzdxdydz解一解一之間之間介于介于1, 0 zz zyxzD 22: )( 10)(zDdxdydzdxdydz 102 zdz先重后單先重后單目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Drdrrddxdyyx20102222)1(4)1( 解二解二 先單后重先單后重將將 投影到投影到 xoy 面得面得D 122 yx221Dxydxdydzdz dxd

5、y 例例6 1,:,22zyxzdxdydz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 OOxyz例例7. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中 由拋物面42zvdddd原式 =目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzO例例8. 計算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R4

6、0dsin20d4Rr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 設(shè), 1:222zyx計算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中 為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztayta

7、x線目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. 計算,d2sx其中 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxD例例12. 計算曲面積分,dzS其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da222212ln()20ahaar haaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO目錄 上頁

8、 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS04lnhaa則hhxzyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. 解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 zyx111O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17例例141422(1)dd ,:cos ,sin ,(02 )CIyxxy

9、C xat yatt 求223(2)6d10d ,:(1,1)(2,8)CIx y xxyyC yx求其中從到的一段解解22(1)ddCIyxxy求2023330sincosdattt 022(2)6d10dCIx y xxyy求212591630dxxx261013xx61023 24 2222sin(sin )cos( cos ) datatat att23626() 10 ()(3) dxxx xxxoxy1 23132目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz例例15. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計算zyy

10、xIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例16. 計算曲面積分,ddyxzyx其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2d

11、dyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例17. 計算,dde2Dyyx其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解解: 令, 則2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例18. 計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當 yx

12、22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時當D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yA xL例例19. 計算計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 為上半為上

13、半24xxy從從 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AOD它與它與L 所圍所圍原式原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周圓周區(qū)域為區(qū)域為D , 則則O6483目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例20. 驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd02221+C2x y )0 , 0(),(yx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例21. 利用斯托克斯公式計算積分zyyxxzddd其中 為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標面所截三角形的整解解: 記三角形域為 , 取上側(cè),則個邊界, 方向如圖所示. zyy