第2章2.22.2.2事件的相互獨(dú)立性

1、222事件的相互獨(dú)立性學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1在具體情境中，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念.(難點(diǎn))2. 能利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式解決 一些簡單的實(shí)際問題.(重點(diǎn))3. 綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立事件 的乘法公式解決一些問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))一1.通過學(xué)習(xí)事件相互 獨(dú)立的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué) 抽象的素養(yǎng).2借助相互獨(dú)立事件 的乘法公式解題，提升 數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)1匚i新知初探11 相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)定義：設(shè)A, B為兩個事件，如果P(AB)= P(A)P(B)，那么稱事件A與事 件B相互獨(dú)立.(2) 性質(zhì)：如果A與B相互獨(dú)立，那么A與B , A與B, A與"B也都相 互獨(dú)立.

2、如果A與B相互獨(dú)立，那么 P(B|A)= PXB) , P(A|B) = P(A).思考：互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別是什么？提示相互獨(dú)立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨(dú)立事件A，B同時發(fā)互斥事件A，B中有一個發(fā)生，表示生，記作：AB記作：AU B(或A+ B)計(jì)算公式P(AB) = P(A)P(B)P(AU B) = P(A) + P(B)2. n個事件相互獨(dú)立對于n個事件Ai, A2,，An,如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事 件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件Ai，A2，An相互獨(dú)立.3. 獨(dú)立事件的概率公式若事件

3、A，B相互獨(dú)立，則P(AB)= P(A)P(B);(2) 若事件 Ai,A2,，An相互獨(dú)立，則 P(AiA2An) = P(Ai)X P(A2)X-X P(An).亠初試身手丨1 .壇中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用Ai表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則 Ai與A2是()A .相互獨(dú)立事件B.不相互獨(dú)立事件C.互斥事件D .對立事件A 由概率的相關(guān)概念得 Ai與A2是互不影響的兩個事件，故是相互獨(dú)立的事件.12. 一個學(xué)生通過一種英語能力測試的概率是 2,他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是()1 r 1J3A.4b3c2d4一1(門 f 1、 11C 由

4、題意知，恰有一次通過的概率為X 1-2 + 1-2 X2 =3. 在某道路A, B, C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車 的概率為.琵由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為 令，召，羅在這條道57335路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為 p=12X12X 4= 192-H EZUOT A NJ I UTISUY AN G相互獨(dú)立事件的判斷【例1】判斷下列各對事件是否是相互獨(dú)立事件.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中 各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從

5、乙組中選出1名女生”；(2) 容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個, 取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3) 擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”.思路點(diǎn)撥利用獨(dú)立性概念的直觀解釋進(jìn)行判斷.(2)計(jì)算“從8個球中 任取一球是白球”發(fā)生與否，事件“從剩下的7個球中任意取出一球還是白球” 的概率是否相同進(jìn)行判斷. 利用事件的獨(dú)立性定義判斷.解 (1) “從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件.5(2) “從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率

6、為8,若這一事件發(fā)一4生了，貝U “從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為7；若5前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為 7,可見，前一事件是否發(fā)生，對 后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件.(3) 記A:出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B:出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，貝U A= 2,4,6，B = 3,6，AB 二6，比小31211所以 P(A)= 6 2， P(B)= 6 3， P(AB) 6"所以 P(AB)= P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立.觀掙方鍛判斷事件是否相互獨(dú)立的方法1 定義法：事件A，B相互獨(dú)立？ P(AB)= P(A)P(B).2 直接法：由事件本身的性

7、質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.3 條件概率法：當(dāng)P(A)>0時，可用P(B|A) = P(B)判斷.働跟蹤訓(xùn)練1. (1)下列事件中，A, B是相互獨(dú)立事件的是()A .一枚硬幣擲兩次，A= “第一次為正面”，B= “第二次為反面”B. 袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B= “第二次摸到白球”C. 擲一枚骰子，A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D. A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”(2) 甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A: “甲擊中目標(biāo)”，事件B:“乙擊中目標(biāo)”，則事件 A與事件B()A .相互獨(dú)立但不互斥B .互斥

8、但不相互獨(dú)立C.相互獨(dú)立且互斥D 既不相互獨(dú)立也不互斥(1) A (2)A (1)把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果 不受先后影響，故A是獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然 A事件與B事件不相互獨(dú)立；對于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事件B受事件A的影響.故選A.(2) 對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標(biāo)，也就是說事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件 A與B不是互斥事件.故選A.|相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率1 1【例2】 甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為 3和4.

9、求：兩人都能破譯的概率；(2) 兩人都不能破譯的概率;(3) 恰有一人能破譯的概率;(4) 至多有一人能夠破譯的概率.解設(shè)“甲能破譯”為事件A, “乙能破譯”為事件B,則A,B相互獨(dú)立, 從而A與B、A與B、A與B均相互獨(dú)立.(1) “兩人都能破譯”為事件AB,則1 1 1P(AB)= P(A)P(B) = 3X 4二乜.“兩人都不能破譯”為事件A B，則P( A B)= P(A)P(B)14(3) “恰有一人能破譯”為事件(AB)L(AB),又AB與AB互斥,所以 P(AB)L( AB) = P(A B ) + P( AB)= P(A)P( B ) + P( A )P(B) =1 X(1 f

10、 j+1 X34_512.(4) “至多有一人能破譯”為事件(AB)L(AB)L( A B)，而AB、AB、AB 互斥，故 P(A B) L( AB) U( A B ) = P(A B) + P( AB) + P( A B ) = P(A)P( B) + P( A)P(B)+ P( A)P( B) = 3x 1 1 + 1 1 x* 1 3 x 1 4 = g觀掙方鍛1. 求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件是相互獨(dú)立的;(2) 再確定各事件會同時發(fā)生;(3) 先求每個事件發(fā)生的概率，再求其積.2. 公式P(AB)= P(A)P(B)可推廣到一般情形，即如果事件Ai, A2,

11、，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 P(Al A2An) = P(Ai)P(A2)P(An).働跟蹤訓(xùn)練2. 某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人1002 31米跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為2，3,，若對這三名短 跑運(yùn)動員的100米跑的成績進(jìn)行一次檢測，求：(1) 三人都合格的概率；(2) 三人都不合格的概率；(3) 出現(xiàn)幾人合格的概率最大.解記甲、乙、丙三人100米跑成績合格分別為事件 A, B, C,顯然事件A, B, C相互獨(dú)立，貝U1 3-3 一4?-B)2 一5?設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k

12、= 0,1,2,3).(1) 三人都合格的概率：2 311P3= P(ABC)二 P(A) (B) (C) = 5X 4X薩而(2) 三人都不合格的概率：3 121Po= P( A B C)= P( A ) P( B ) P( C )二5X4X獷-(3) 恰有兩人合格的概率：P2= P(AB C)+ P(A B C) + P( A BC)2 3 2 2113 3123二2X4X2+5X4X1+3X3XL 五.恰有一人合格的概率:P1= 1-P0-P2- P3= 1-君23125560-10 = 60=12.綜合(1) (2)可知Pi最大.所以出現(xiàn)恰有一人合格的概率最大事件的相互獨(dú)立性與互斥性探

13、究問題1.甲、乙二人各進(jìn)行一次射擊比賽，記 A= “甲擊中目標(biāo)”，B= “乙擊中目標(biāo)”，試問事件A與B是相互獨(dú)立事件，還是互斥事件？事件B與A"B呢？提示事件A與B，A與B，A與B均是相互獨(dú)立事件，而B與AB是 互斥事件.2.在探究1中，若甲、乙二人擊中目標(biāo)的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標(biāo)的概率？提示“甲、乙二人恰有1人擊中目標(biāo)”記為事件C,則C =瓜B+ a"b .所以 P(C)= P(Xb+ a"b ) = P(Nb)+ P(AB )=PCA) P(B) + P(A) P("b )=(1- 0.6) X 0.6+ 0.6 X (1-

14、 0.6) = 0.48.【例3】在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中有1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作.假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)閉合的概率都是 0.7，計(jì)算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率.川I思路點(diǎn)撥該線路是并聯(lián)電路，當(dāng)且僅當(dāng)三個開關(guān)都不閉合時，線路才不 通，故本題可采用對立事件求解.解分別記這段時間內(nèi)開關(guān)JA, Jb, JC能夠閉合為事件A, B, C.由題意知這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響.根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，得這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概 率是pCA B C)=p(N)p(B)p("C)二1 - P(A)1 - P(B)1 P(

15、C)=(1- 0.7)(1 - 0.7)(1 - 0.7)=0.027.所以在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是1-PA "B "C)= 1-0.027= 0.973.纓ft方怯概率問題中的數(shù)學(xué)思想1 正難則反.靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)+ PCA) = 1)簡化問題，是 求解概率問題最常用的方法.2 化繁為簡將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系.“所求事件”分幾類(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件) 還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)3 方程思想利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問

16、題獲解.跟蹤訓(xùn)練3 .設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，兩個事件中只有A發(fā)生的概率和只有B發(fā)生的1概率都是4,求事件A和事件B同時發(fā)生的概率.解在相互獨(dú)立事件A和B中，只有A發(fā)生即事件A B發(fā)生，只有B發(fā) 生即事件AB發(fā)生.A和B相互獨(dú)立，：A與B , A和B也相互獨(dú)立.1P(AB) = P(A) P( B)= P(A) 1 P(B) = 4,1P(AB)= P(A)P(B) = 1 P(A) P(B) = 4.一得 P(A)= P(B).聯(lián)立可解得P(A) = P(B) = 2.P(AB)二P(A) P(B) = 2X舟二1匚課堂小結(jié):與相互獨(dú)立事件A, B有關(guān)的概率計(jì)算公式當(dāng)堂達(dá)標(biāo)®SB事件

17、A，B的各種情形概率計(jì)算公式A，B同時發(fā)生P(AB)= P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P(N"B)= PCA)P("B ) = 1 P(A)1 P(B)=1 P(A) P(B) + P(A)P(B)A，B至少有一個不發(fā)生P= 1 P(AB)= 1 P(A)P(B)A，B至少有一個發(fā)生P= 1 P( A B ) = 1 P( A)P( B ) = P(A) +P(B) P(A)P(B)A，B恰好有一個發(fā)生P= P(A B + A B)= P(A)P( B )+ P( A )P(B)=P(A) + P(B) 2P(A)P(B)DAN Cil A NGl JAH I ACK 5

18、U©1.判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 對事件A和B,若P(B|A) = P(B)，則事件A與B相互獨(dú)立.()(2) 若事件A, B相互獨(dú)立，則P(A B)= P( A)P(B).()(3) 如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(B|A)= P(B).(4) 若事件A與B相互獨(dú)立，則B與尼相互獨(dú)立.()答案“V V X2袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用 A表示“第一次摸 得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則 A與B是()A 互斥事件B 相互獨(dú)立事件C 對立事件D 不相互獨(dú)立事件3 1D P(A) = 5, P(B)= 2,事件A的結(jié)果對事件B有影響根據(jù)互斥事件、對 立事件和相互獨(dú)立事件的定義可知， A與B不是相互獨(dú)立事件.1 一3國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為 3乙、丙去北京旅游的概率分別為1 14, 5假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為.31113 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為3, 4, g.因此，他們不去北京旅2 3 423 4游的概率分別為3, 4, g，所以，至少有1人去北京旅游的概率為p= 1 3X4X5二 |.44.某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為 g,乙當(dāng)選的概率為3 73，丙當(dāng)選的概率為.510(1