必修5數(shù)列知識點總結(jié)與題型歸納

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念（ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；（ 2）通項公式的定義：如果數(shù)列 an 的第 n 項與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如：1，2，3，4， 5，?1 111： 1， ?2345（ 3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：456789序號： 123456項 ： 456789（ 4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？（ 1） 1， 2， 3，4， 5， 6，?(2)10

2、, 9, 8, 7, 6, 5,?(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,?(4)a, a, a, a, a,?（ 5）數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn 與通項 a n 的關(guān)系：anS1(n 1)SS (n 2)nn 1例：已知數(shù)列 a n 的前 n 項和 sn 2n23，求數(shù)列 a n 的通項公式二、等差數(shù)列題型一 、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d 表示。用遞推公式表示為ana n 1d (n 2) 或 an 1and (n 1) 。例：等差數(shù)列 an2n 1 ，

3、anan 1an1題型二 、等差數(shù)列的通項公式：a (n 1)d；等差數(shù)列（通?？煞Q為A P 數(shù)列）的單調(diào)性：d0 為遞增數(shù)列，d0 為常數(shù)列，d0 為遞減數(shù)列。例： 1. 已知等差數(shù)列an中， a7a916， a41，則 a12 等于（）A15B30C31D 642. a 是首項 a1，公差 d3 的等差數(shù)列，如果 a2005 ，則序號等于n1nn（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 6701/11題型三、等差中項的概念：定義：如果a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項。其中Aaba ba a2a ， A ， b 成等差數(shù)列即： 2a n 1（

4、 2ana）Ann 2a n m n m2a a例： 1設anaa 2a31580a是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若1， 12 3，則111213（）aa aA 120B 105C 90D 752. 設數(shù)列 a 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和為12 ，前三項的積為48 ，則它的首項是（）nA 1B.2C.4 D.8題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（ 1）在等差數(shù)列 an 中，從第 2 項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（ 2）在等差數(shù)列 an 中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；（ 3）在等差數(shù)列an 中，對任意m，n N，anam(n m)d，dnmn)；aa (mnm（ 4）在等差數(shù)列an 中，

5、若m，n，p，q N且 mn pq ，則aanapamq ；題型五 、等差數(shù)列的前n 和的求和公式：Snn(a1 an ) na1n(n 1) d12（ a1dn） n 。(A,B為常2222( Sn An 2Bn數(shù) )an是等差數(shù)列 )遞推公式： Sn (a1 an ) n(a ma) nn ( m 1)22例： 1. 如果等差數(shù)列an中，a34a512，那么a12. a7aa（A）14（B） 21（C）28（ D）352.設 Sn 是等差數(shù)列an的前 n 項和，已知a 23 ， a611，則 S7 等于 ()A 13B35C 49D 63的前n項和為n，若S972,Sa23.設等差數(shù)列an

6、則a4a9 =4.若一個等差數(shù)列前3 項的和為34 ，最后 3 項的和為146 ，且所有項的和為390 ，則這個數(shù)列有（）A.13 項B.12項C.11 項D.10 項5.設等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn ，若 a55a3 則S9S5a6. 已知 an數(shù)列是等差數(shù)列，1010，其前10 項的和 S1070 ，則其公差d 等于 ( )21C.1D.2AB33332/117設 an為等差數(shù)列，Sn 為數(shù)列 a n的前n 項和，已知S77， S15 75 ，Tn 為數(shù)列 Sn的前nn 項和，求Tn。題型六 . 對與一個等差數(shù)列，Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差數(shù)列。例： 1.等差

7、數(shù)列 an 的前 m 項和為30，前 2m 項和為100 ，則它的前3m 項和為（）A.130B.170C.210D.2602.一個等差數(shù)列前n 項的和為48 ，前 2 n 項的和為60 ，則前 3n 項的和為。3.設 Sn 為等差數(shù)列an 的前n項和，S414，S10S7，則 9=30S4（ 06 全國 II ）設n 是等差數(shù)列n的前S31S項和，若 ，則6 SanSS6312A 3B 1D 1C 110389題型七判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：a定義法：n 1an d(常數(shù)）（ nN ）an 是等差數(shù)列a中項法：2an 1ann 2（nN )an 是等差數(shù)列通項公式法：anknb(k

8、,b 為常數(shù) )an 是等差數(shù)列An 2(A,B為常前 n 項和公式法：SnBn數(shù))an 是等差數(shù)列例： 1. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項和 sn2n24，則數(shù)列n 為（） aA. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項和 sn2n2 ，則數(shù)列 a n 為（）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3. 數(shù)列an滿足 a1 =8 ， a42，且 an 22an 1a n0 （ nN ）求數(shù)列an的通項公式；題型八 . 數(shù)列最值（ 1） a0 ， d0 時， S 有最大值；a0 ， d0 時， S

9、 有最小值；1n1n（ 2） Sn 最值的求法：若已知Sn ， Sn 的最值可求二次函數(shù)Snan 2bn 的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（nN ）；或者求出an 中的正、負分界項，即：3/11若已知 a n ，則 Sn 最值時 n 的值（ nan 0an0N ）可如下確定或。0a0n1n 1a例： 1 等差數(shù)列an 中， a10 ，S9S12 ，則前項的和最大。2 設等差數(shù)列an 的前n項和為Sn ，已知a 312，S120S0，13求出公差d 的范圍，指出 S1，S2， ，S12 中哪一個值最大，并說明理由。3. 已知 an 是等差數(shù)列，其中a131 ，公差 d8 。（ 1 ）數(shù)列 an 從

10、哪一項開始小于0？（ 2 ）求數(shù)列 an 前 n 項和的最大值，并求出對應n 的值S1(n1)題型九 . 利用 anSn 1 (n求通項Sn2)1已知數(shù)列2則an 的前 n 項和 Snn4n 1 ，2. 設數(shù)列 a n 的前 n 項和為Sn=2n 2，求數(shù)列 a n 的通項公式；11)3. 已知數(shù)列an 中，a13n和 Sn(n 1)( a n1，前2求證：數(shù)列an是等差數(shù)列求數(shù)列a n的通項公式4. 設數(shù)列 a n 的前 n 項和 Snn2 ，則 a8 的值為（）（A） 15(B) 16(C)49（D ） 64等比數(shù)列等比數(shù)列定義：?一、遞推關(guān)系與通項公式遞推關(guān)系：an1an q通項公式：a

11、na1qn 1推廣： ana mq nm1 在等比數(shù)列an 中 , a14, q2 ，則 an2在等比數(shù)列an 中， a22， a554 ，則 a8 =4/113. 在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，首項a 13，前三項和為21 ，則 a3a4a5（）A33 B72 C84 D189二、等比中項：若三個數(shù)a, b, c 成等比數(shù)列，則稱b 為 a 與 c 的等比中項，且為bac，注： b 2ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.23 和 23 的等比中項為()( A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. （ 1） 若 m npq，則 a mana paq (其中

12、m, n, p,qN)（ 2） qn ma2an m a n m (n N )n ， anam（ 3） an 為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列 .（ 4）an是各項不為零的常數(shù)列.an 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列例： 1 在等比數(shù)列an 中 , a1 和 a10是方程 2x25x 1 0 的兩個根 , 則 a4 a7( )5211( A)( B)(C )( D )22222. 在等比數(shù)列an 中， a1a 633， a3 a432 ， anan 1求 an若 Tn lg a1 lg a2lg an , 求 Tna5a6 a4a718, 則3. 等比數(shù)列 an 的各項為正數(shù)，且log

13、3a1 log 3 a2log 3 a10（）A 12B10C 8D 2+ log3 5na1q n )(q1)四、等比數(shù)列的前n 項和，Sn1 (1a1an q(q 1)a1q1q例： 1. 已知等比數(shù)列 an 的首相 a15 ，公比 q2，則其前n 項和 Sn2. 設等比數(shù)列 an 的前 n 項和為Sna26, 6a1a330anSn，已，求和5/113設 f (n) 2 2 427 21023 n 10 (nN ) ，則 f (n) 等于（）A 2 (8n 1)B 2 (8 n 1 1)C 2 (8 n 3 1)D 27777五 . 等比數(shù)列的前n 項和的性質(zhì)若數(shù)列 a n 是等比數(shù)列，

14、S n 是其前 n 項的和， kN *，那么 Sk ， S 2kSk ， S 3k例： 1. 一個等比數(shù)列前n 項的和為48 ，前 2 n項的和為60 ，則前 3 n 項的和為（A 83B 108C75D 632. 已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且S m10 ，S2m30 ，則 S3m六 . 等比數(shù)列的判定法（ 1anq（常數(shù)）an）定義法：1為等比數(shù)列；an（ 2）中項法： a2a a( a0)n1nn 2nan為等比數(shù)列；（ 3）通項公式法：ank q n (k, q 為常數(shù)）an為等比數(shù)列；（ 4）前 n 項和法：Snk(1q n ) （k ,q 為常數(shù)）an 為等比數(shù)列。Snkkqn（k,

15、q 為常數(shù)）a為等比數(shù)列。n七 . 利用 aS1( n1) 求通項nSSn2)n 1 ( n例： 1. 數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 a1=1，a1(8n 41)S2k 成等比數(shù)列.）234n 13 Sn ， n=1， 2， 3， ?，求a ， a ， a 的值及數(shù)列 an 的通項公式2. 已知數(shù)列an的首項 a15, 前 n 項和為S n ，且 Sn 1 Snn5( nN)* ，證明數(shù)列an1 是等比數(shù)列6/11求數(shù)列通項公式方法（ 1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例： 1 已知等差數(shù)列 a n 滿足： a37, a 5a726， 求 an ；2. 已知數(shù)列

16、an 滿足 a12,anan 11(n1) ，求數(shù)列 a n 的通項公式；3.數(shù)列 an滿足 a1 =8 ， a42，且 an 22an 1an0 （ nN ），求數(shù)列an的通項公式；11an 的通項公式；4. 已知數(shù)列 a n 滿足 a1 2,2 ，求數(shù)列an 1an5. 設數(shù)列 a n 滿足 a1110 且1 ，求 an 的通項公式1 a n 11 a n6. 已知數(shù)列 an 滿足 a12, a n3an 1 ( n 1) ，求數(shù)列 an 的通項公式；7. 已知數(shù)列 a 滿足，且2N ），求數(shù)列 a的通項公式；（ nna1 2 a 24 a n 2 an an 1n8. 已知數(shù)列ann 1

17、2(a nnana 12a n 1 55 ) 滿足，且（ nN ），求數(shù)列9. 已知數(shù)列ana1 2， an 1 5 2n 1n2 3(a n 5 2 2)nN 滿足且（項公式；（ 2）累加法1、累加法適用于：an 1anf (n)a2a1f (1)a3a2f (2)若 an 1a nf (n) (n2) ，則的通項公式；an），求數(shù)列的通an 1an f (n)7/11n兩邊分別相加得 a n 1 a 1f (n)k1例： 1. 已知數(shù)列 an 滿足 a11 , a n 1an1，求數(shù)列 a n 的通項公式。24n 212. 已知數(shù)列 an 滿足 an 1an2n1，a11，求數(shù)列 an 的

18、通項公式。3. 已知數(shù)列 an 滿足an 1 an 2 3n1，a13，求數(shù)列 an 的通項公式。4. 設數(shù)列 an 滿足 a12 ， an 1an3 22n1 ，求數(shù)列 a n 的通項公式（ 3）累乘法適用于：an 1f (n) a nan 1a2a3f (2) ，an1f ( n)若f (n) ，則f (1) ，ana1a2an例： 1. 已知數(shù)列 an 滿足 an 12(n 1)5n an， a13，求數(shù)列n的通項公式。 aan 滿足 a12n2.已知數(shù)列， an 1an ，求 an 。3n 13.已知 a13 ， an 1 3n1a n (n 1) ，求 an 。3n2（ 4）待定系數(shù)

19、法適用于 an 1qa nf ( n)解題基本步驟：1、確定f (n)2、設等比數(shù)列an1 f ( n) ，公比為3、列出關(guān)系式an 11 f (n1)2 an2 f (n)8/114、比較系數(shù)求1 ， 25、解得數(shù)列an1 f (n)的通項公式6、解得數(shù)列an的通項公式 an a1nn 1 1(n2)an例： 1. 已知數(shù)列中，1, a2a，求數(shù)列的通項公式。2在數(shù)列an 中，若 a11, a n 12an3(n1) ，則該數(shù)列的通項a n_3.已知數(shù)列 an 滿足 an 12an3 5n， a16 ，求數(shù)列an的通項公式。解：設 an 1 x 5n12(anx5n )4已知數(shù)列 an 中，

20、 a15, an 11 an( 1) n 1 ，求 an6325 已知數(shù)列 an 滿足 an 12an4 3 n 1，a11，求數(shù)列an的通項公式。（ 5）遞推公式中既有Sn 又有 anS1, n 1轉(zhuǎn)化為數(shù)列an 或 Sn 的遞推關(guān)系，然后采用相應的方法求解。把已知關(guān)系通過 anS S, n2n n 11. 數(shù)列 an 的前 n 項和為 S n，且 a1=1 ， an 11a2 ， a 3， a4 的值及數(shù)列 an Sn ， n=1， 2， 3， ?，求3的通項公式12. 已知數(shù)列an中， a13，前 n 和 Sn( n 1)(a n1) 12求證：數(shù)列an是等差數(shù)列求數(shù)列an的通項公式13

21、已知數(shù)列 an 的各項均為正數(shù)，且前 n 項和 Sn 滿足 Sn(an1)(a n2) ，且 a2 , a 4 , a 9 成等比數(shù)列，6求數(shù)列 a n 的通項公式。（ 6）倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項例： 1. 已知數(shù)列 a n 滿足 an 12an, a11 ，求數(shù)列 an 的通項公式。an29/11數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。n(a1an )n( n1)na1 ( q1)na 1dSnn )( q 1)S n22a1 (1 q公比含字母時一定要討論1 q例： 1。已知等差數(shù)列 a n 滿足 a11, a 23 ，求前 n 項和 Sn2已知等比數(shù)列 a n 滿足 a11, a 23 ，求前 n 項和 Sn3.設22427 21023n 10 ( n N ) ，則 f (n)f (n)2等于（）A. 2(8n1)B.(8n 1 1)C.2 (8n 3 1)D. 2(8 n 41)7777an bn 的2錯位相減法求和：如：an等差 , b n 等比 , 求 a1b1a 2b2和 .例： 1求和 Sn1 2x3x2nxn 1123n2. 求和： S na 2a3a na3. 設 an 是等差數(shù)列，