金融時間序列分析 第2部分 時間序列分析基礎4 協(xié)整與誤差修正模型

1、協(xié)整與誤差修正模型1 虛假回歸（偽回歸）一、偽回歸的定義一、偽回歸的定義 經典的線性回歸模型經典的線性回歸模型要求：其殘差序列是一個平穩(wěn)序列。要求：其殘差序列是一個平穩(wěn)序列。 若若殘差序列殘差序列 非平穩(wěn)非平穩(wěn) ：因變量除了能被解釋變量解釋的部分外，因變量除了能被解釋變量解釋的部分外，其余的部分變化仍然不規(guī)則其余的部分變化仍然不規(guī)則; 隨著時間的變化，有越來越大的隨著時間的變化，有越來越大的偏離因變量均值的趨勢偏離因變量均值的趨勢，不，不能用來預測未來信息的。能用來預測未來信息的。 偽回歸特征：偽回歸特征：擬合優(yōu)度、顯著性水平都很好，殘差高度自相擬合優(yōu)度、顯著性水平都很好，殘差高度自相關。關。

2、 不能夠真實反映因變量與解釋變量之間存在的均衡關系，而僅不能夠真實反映因變量與解釋變量之間存在的均衡關系，而僅僅是數(shù)字上的巧合而已。僅是數(shù)字上的巧合而已。 偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設定出現(xiàn)了問題；偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設定出現(xiàn)了問題；解決方案解決方案： 增加或減少解釋變量，或者把原方程進行差分，以使殘差序增加或減少解釋變量，或者把原方程進行差分，以使殘差序列達到平穩(wěn)。列達到平穩(wěn)。 但有一種情況例外，它就是我們下面要介紹的協(xié)整。但有一種情況例外，它就是我們下面要介紹的協(xié)整。2 協(xié)整的概念一、單整（一、單整（Intergration） 若一個時間序列需要若一個時間序列需要 Xt 經過經過 d 階差分

3、才能成為一個平穩(wěn)時間階差分才能成為一個平穩(wěn)時間序列，則稱此時間序列是序列，則稱此時間序列是 d 階單整的，記為階單整的，記為 Xt I (d) 。 單位根過程是一階單整單位根過程是一階單整 I (1) 的；的； 若若 Xt 是平穩(wěn)時間序列，則是平穩(wěn)時間序列，則 Xt I (0) 。二、單整的性質二、單整的性質（1）若）若 ，對任意非零實數(shù)，對任意非零實數(shù) a，b，有，有)0( Ixt)0( Ibxat（2）若）若 ，對任意非零實數(shù)，對任意非零實數(shù) a，b，有，有)(dIxt)(dIbxat（3）若）若 ，對任意非零實數(shù)，對任意非零實數(shù) a，b，有，有)0( Ibyaxzttt (0),txI)

4、0( Iyt （4）若）若 對任意非零實數(shù)對任意非零實數(shù) a，b，有，有 ( ),txI d ( ),tyI c)(kIbyaxztttmax , ,max , ,d cdckd cdc三、協(xié)整（三、協(xié)整（Co-intergration） 多數(shù)經濟或金融時間序列都是非平穩(wěn)的，例如消費多數(shù)經濟或金融時間序列都是非平穩(wěn)的，例如消費C和國民收入和國民收入Y都是單位根過程。都是單位根過程。 方法方法1：差分，得到平穩(wěn)變量，對差分，得到平穩(wěn)變量，對 C 和和Y進行回歸。進行回歸。 缺陷缺陷：只揭示了收入增長和消費增長之間的關系，而不是收入和：只揭示了收入增長和消費增長之間的關系，而不是收入和消費這兩個變

5、量之間的關系。消費這兩個變量之間的關系。 改進改進：20世紀世紀80年代，恩格爾年代，恩格爾-格蘭杰提出了格蘭杰提出了協(xié)整理論協(xié)整理論，為兩個，為兩個或多個非平穩(wěn)過程間尋找均衡關系。或多個非平穩(wěn)過程間尋找均衡關系。定義：定義：自變量序列為自變量序列為 ，響應變量序列為，響應變量序列為 ， 假定回歸殘差序列假定回歸殘差序列 平穩(wěn)，我們稱響應序列平穩(wěn)，我們稱響應序列 與與自變量序列自變量序列 之間具有協(xié)整關系。之間具有協(xié)整關系。 ,1kxxtykitititxy10 tty ,1kxx四、協(xié)整的概念四、協(xié)整的概念協(xié)整有如下的等價定義協(xié)整有如下的等價定義定義：定義：如果時間序列 X1t, X2t,

6、, Xkt 都是 d 階單整，且存在常數(shù)向量 使得12,k 1122 ()ttkkttXXXXI db其中 b0，則認為序列 X1t, X2t, , Xkt 是 (d,b) 階協(xié)整，階協(xié)整，記為12(,)( , )ttkttXXXXCI d b為協(xié)整向量。例：例：消費C 和國民收入Y 都是 1 階單整，如果12(0)ttYCI則( ,)(1,1)tttZY CCI 顯然，對于兩個時間序列，只有它們單整階數(shù)相同時，顯然，對于兩個時間序列，只有它們單整階數(shù)相同時，它們才有可能協(xié)整（這一點對多變量協(xié)整不適用）。它們才有可能協(xié)整（這一點對多變量協(xié)整不適用）。注意幾點注意幾點：（1）協(xié)整向量不是唯一的。

7、如果 是協(xié)整向量，則 也是協(xié)整向量。（2）如果兩個變量不是同階數(shù)的單整，則它們不可能協(xié)整。（3） 最多只有 k-1個線性無關的協(xié)整向量。（4）當變量的單整階數(shù)不同時，可能存在多重協(xié)整關系。例如例如， 和 都是 I (2)，而 是 I (1)，則 （或 ）與 之間不可能有協(xié)整關系， 但是，如果 和 是 CI(2,1) ， 是 I (1)，則這個組合與 可能是協(xié)整的。12(,)ttkttXXXX12,k 12,(0)k 1tX2tX3tX1tX2tX3tX1tX2tX1122ttXX3tX(5) 當兩個變量之間具有協(xié)整關系時，它們一定有共同的趨勢。如：tytyttztztyz其中， 和 是非平穩(wěn)趨

8、勢， 和 是平穩(wěn)過程。 若 ，則對于平穩(wěn)的線性組合 ，一定有 。又ytztytzt(,)(1,1)tty zCI120,012ttyz12121212()()()()ttytytztztytztytztyz 注意到 ，所以有 ，從而有12(0)ttyzI120ytzt 21ytzt 五、協(xié)整理論的意義五、協(xié)整理論的意義（一）避免偽回歸 如果非平穩(wěn)時間序列之間具有協(xié)整關系，那就說明殘差序列平穩(wěn)，就不會產生偽回歸問題。所以，協(xié)整理論是我們處理非平穩(wěn)時間序列的有效工具。（二）估計量的“超一致性” 如果一組非平穩(wěn)時間序列之間存在協(xié)整關系，可以利用協(xié)整理論直接建立回歸模型， 而且，其參數(shù)的最小二乘估計量

9、具有超一致性，即以更快的速度收斂于參數(shù)的真實值，但不一定是漸近無偏或漸近正態(tài)的。（三）能夠區(qū)分變量之間長期均衡關系與短期動態(tài)關系3 協(xié)整檢驗一、恩格爾一、恩格爾-格蘭杰兩步估計法格蘭杰兩步估計法 假設：被檢驗的是單整階數(shù)為假設：被檢驗的是單整階數(shù)為 1 的序列。的序列。 當時間序列的單整階數(shù)不為 1 時，可以通過差分變?yōu)殡A數(shù)相同的I(1) 時間序列。1、協(xié)整回歸、協(xié)整回歸設 建立回歸方程 (1), (1),ttXIYItttYXu得到殘差序列()tttuYX2、檢驗殘差序列的平穩(wěn)性、檢驗殘差序列的平穩(wěn)性 用單位根檢驗-DF檢驗，檢驗殘差序列的平穩(wěn)性； 若殘差序列 是平穩(wěn)的，則認為存在協(xié)整關系。

10、 若殘差序列 是非平穩(wěn)的，則不存在協(xié)整關系。tutu模型也可以是如下形式11221122()tttnnttttttnntYXXXuuYXXX例例 對1978年2002年中國農村居民家庭人均純收入對數(shù)序列 和生活消費支出對數(shù)序列 進行EG檢驗。lntxlnty一、構造回歸模型一、構造回歸模型ln0.96832lntttyx-0.06-0.04-0.020.000.020.040.0680859095000510RESID殘差時序圖殘差時序圖模型殘差的自相關圖、偏自相關圖模型殘差的自相關圖、偏自相關圖二、殘差序列的單位根檢驗（二、殘差序列的單位根檢驗（Z=Resid） t 檢驗統(tǒng)計量的值為-1.9

11、3，小于顯著性水平 0.1下的臨界值-1.6238，所以，在顯著性水平 0.1下可以認為殘差序列是平穩(wěn)的，即認為中國農村居民家庭人均純收入對數(shù)序列 和生活消費支出對數(shù)序列之間存在協(xié)整關系。4 誤差修正模型 誤差修正模型（Error Correction Model）簡稱為ECM， 最初由Hendry和Anderson于1977年提出， 它常常作為協(xié)整回歸模型的補充模型出現(xiàn)。（1）協(xié)整模型度量序列之間的長期均長期均衡衡關系，（2）誤差修正模型解釋序列之間的短期波動短期波動關系 。（一）誤差修正模型（一）誤差修正模型（ECM）的產生背景）的產生背景 誤差修正模型由Sargan 1964年提出，最初

12、用于存儲模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson完善。 1、分布滯后模型、分布滯后模型 如果回歸模型中不僅包括解釋變量的本期值，還包括解釋變量的滯后（過去）值，則這種回歸模型稱為分布滯后模型。例例 yt = 0 + + ut , ut IID (0, 2 ) niitix0 上述模型的一個明顯問題是 xt 與 xt -1 , xt-2, , xt - n 高度相關，從而使 j 的 OLS 估計值很不準確。 對于分布滯后模型，這并不是一個嚴重問題，因為人們的注意力并不在單個回歸系數(shù)上，而是在這些回歸系數(shù)的和式 上。通過這個和式可以了解當 xt 變化時，對 yt 產生的長

13、期影響。 盡管對每個 j 估計得不很準確， 但這些估計值的和卻是相當精確的。看下式 nii010000()Var()2Cov(,)nnniiiikiiikVar 若 xt - i 與 xt - k , (i k) 是正相關的（實際中常常如此），則上式中的協(xié)方差項通常是負的。 當這些項的值很大（絕對值）且為負時， 甚至比每個 還小。 0()niiVarnii0)(VarVar()i 消除分布滯后模型多重共線性的影響，常用阿爾蒙（Almon）提出的利用多項式多項式來逼近滯后參數(shù)的變化結構，從而減少待估參數(shù)的數(shù)目。 2、動態(tài)模型、動態(tài)模型(自回歸模型自回歸模型) 如果在回歸模型的解釋變量中包括被解釋

14、變量的一個或幾個滯后值，則稱這種回歸模型為動態(tài)模型(或自回歸模型)。例 yt = 0 + 1 yt-1 + 1 xt + ut 3、動態(tài)分布滯后模型（自回歸分布滯后模型）、動態(tài)分布滯后模型（自回歸分布滯后模型） 如果在分布滯后模型中包括被解釋變量的若干個滯后值作解釋變量，則稱之為“動態(tài)分布滯后模型或自回歸分布滯后模型”。 例 yt = 0 + + + ut , ut IID (0, 2 ) miitiy10nit iix 用 ADL (m, n) 表示，其中，m 是自回歸階數(shù)，n 是分布滯后階數(shù)。 可采用OLS法估計，參數(shù)估計量是有偏的，但具有一致性。 最常見：ADL (1, 1) 和ADL

15、(2, 2) 模型。 對于對于ADL（1，1）模型）模型（1）當 1 = 1 0 成立，摸型變?yōu)?0tttyxu（2）當 0= 1= 0時，模型變?yōu)?11tttyyuyt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut , ut IID (0, 2 ), （3）當 1 0 = 0 時，則有011tttyxuxt-1 是 yt 的超前指示變量。此模型稱為前導模型。 （4）當約束條件是 1 ，1 - 0 時，模型變?yōu)?yt = 0 + 0 xt + ut 當 xt 與 yt 為對數(shù)形式時，為增長率模型。 （5）若 1 = 0成立，模型變?yōu)橐浑A分布滯后模型。 yt = 0 + 0

16、 xt + 1 xt - 1 + ut （6）取 1 0，則模型變?yōu)?yt = 0 + 1 yt -1 + 0 xt + ut 稱為 局部調整模型（偏調整模型）。 yt = 0 + 1 yt -1 + 1 xt -1 + ut （7）取 0 0，則模型變?yōu)?模型中只有變量的滯后值作解釋變量，yt 的值僅依靠滯后信息。 稱為 “盲始”模型。 （8）取 1 - 1 ，則模型變?yōu)閥t = 0 + 1 ( yt-1 - xt-1 ) + 0 xt + ut 稱為比例響應模型。解釋變量為 xt 與 ( yt-1- xt-1) 。 首先從一個包括了盡可能多解釋變量的“一般”ADL模型開始，通過檢驗回歸系數(shù)

17、的約束條件逐步剔除那些無顯著性變量，壓縮模型規(guī)模，始終保持模型隨機誤差項的非自相關性。 最終得到一個簡化（或“特殊”）的模型。“一般到特殊一般到特殊”建模法建模法 亨德里（亨德里（Hendry）建模法）建模法 模型若丟失重要解釋變量：OLS估計量喪失無偏性和一致性。 “一般到特殊”建模法的主要優(yōu)點主要優(yōu)點：能夠把由于選擇變量所帶來的設定誤差減到最小。 原因原因：在初始模型中包括了許多變量，所以不會使回歸系數(shù)的OLS估計量存在丟失變量誤差。 雖然因為在初始模型中包括了許多非重要解釋變量，從而使回歸參數(shù)估計量缺乏有效性，但隨著檢驗約束條件的繼續(xù)，那些非重要的解釋變量被逐步剔除掉，從而使估計量缺乏有

18、效性的問題得到解決?！耙话愕教厥狻苯７椒ǖ膬?yōu)點：優(yōu)點： 考慮如下的自回歸分布滯后（autoregressive distributed lag, ADL）模型 ADL(1，1)011011tttttyyxxu. .2(0,),i i dtu4、 誤差修正模型誤差修正模型 其中 ut 應不存在自相關和異方差。否則，可增加 xt 和 yt 的滯后項或加入新的變量。 1 1 ECM 模型由 ADL (m, n, p) 模型變換而來。 下面通過ADL (1, 1) 模型推導簡單的ECM模型。 從上式兩側同時減 yt-1 ，在右側同時加減 0 xt -1 ，得 yt = 0 + 0 xt + (1 -

19、1) yt-1 + (0 + 1) xt-1 + ut yt = 0 + 0 xt + (1 - 1 ) ( yt-1 - k1 xt-1) + ut 其中，k1 = (0 + 1) / (1 - 1 ) 。 上式稱為上式稱為 ECM模型模型 。 (1 -1) ( yt-1- k1 xt-1) 稱為誤差修正項誤差修正項， ( yt -1- k1 xt -1) 表示前一期的非均衡誤差非均衡誤差。若 yt 平穩(wěn)，必有 1 1，則非均衡誤差項的系數(shù) (1 -1) 必為負。 說明誤差修正項對 yt有一個反向修正作用。 當前一期 yt ，即 yt-1 相對于均衡點取值過高（低）時，通過誤差修正項的反向修

20、正作用，使本期 yt 減?。ㄔ黾樱?，yt 向均衡位置移動。(1 -1) 表示誤差修正項對 yt 的調節(jié)速度。 進一步變換進一步變換 ，可得 yt = 0 xt + (1- 1 ) ( yt-1 - k0 - k1 xt-1) + ut 其中，k0 = 0 / (1 - 1 )。 是 xt 和 yt 的長期關系長期關系， 是 xt 和 yt 的短期關系短期關系。yt = 0 xt + (1- 1 ) () ( yt -1 - k0 - k1 xt 1 ) 5. ECM模型特點：模型特點： （1） ECM模型中的 yt， xt 和非均衡誤差項都是平穩(wěn)的。應用最小二乘法估計模型時，參數(shù)估計量都具有優(yōu)

21、良的漸近特性。即使變量是非平穩(wěn)的，只要存在協(xié)整關系，誤差修正模型也不會存在虛假回歸問題。 （2） 誤差修正模型中既有描述變量長期關系的參數(shù)，又有描述變量短期關系的參數(shù)；既可研究經濟問題的靜態(tài)（長期）特征又可研究其動態(tài)（短期）特征。（3）誤差修正模型中的變量不存在多重共線性問題。（4） ut 是非自相關的。如果 ut 是自相關的，可在模型中加入 yt 和 xt 的足夠多滯后項，從而消除 ut 的自相關，同時，加大誤差修正項的滯后期。 （5） 允許根據(jù) t 檢驗和 F 檢驗剔除ECM模型中的差分變量。 （6）任何協(xié)整序列一定有誤差修正模型表示，這就是著名的Granger表示定理表示定理。（7） ECM模型中的 k0 , k1 未知，ECM模型不能直接被估計不能直接被估計。估計方法估計方法： 若變量為平穩(wěn)變量，或者為非平穩(wěn)變量但存在長期均衡關系，可以把誤差修正項的括號打開，對模型直接用OLS法估計。 先估計長期均衡關系，然后把估計的非均衡誤差作為誤差修正項代入ECM模型，并估計該模型。 （二）誤差修正模型（二）誤差修正模型（ECM）的建立）的建立1、利用最小二乘法建立如下回歸模型（協(xié)整回歸）tttyx假定 的最小二乘估計為 ，殘差序列為2、記 ，利用最小二乘法建立如下回歸模型（誤差修正模型）或tt