第七講 矩形波導(dǎo)

1、 波導(dǎo)的一般解采用縱向分量法，其流圖如下所示，波導(dǎo)的一般解采用縱向分量法，其流圖如下所示，上式也稱上式也稱HelmholtzHelmholtz支配方程222200Ek EHk H縱向分量方程222200Ek EHk Hzzzz其它分量用表示EHEf EHEfEHHfEHHfEHzxzyzxzyz,1234方程無源區(qū)中出發(fā)點Maxwell第七講 矩形波導(dǎo)1. 1. 縱向分量方程縱向分量方程 (12-3) 假定假定E Ez z( (或或H Hz z) )可分離變量，也即可分離變量，也即 (12-4) 且且 一、矩形波導(dǎo)的求解思路(12-5) 222200Ek EHk HzzzzEE x y Z z

2、HH x y W zzz( , ) ( )( , )( ) 2222tZ代入可知代入可知 (12-6) 由于其獨立性，上式各項均為常數(shù)由于其獨立性，上式各項均為常數(shù) (12-7) 2222( , )1( )0( , )( )tE x yZ zkE x yZ zz222221( )( )( , )0( , )tcZ zZ zzE x ykE x y222ckkEE x y eHH x y ezzzz( , )( , )一、矩形波導(dǎo)的求解思路2000010000 xxxyxxcyxExEjEEjyHjHkxHjHy并有并有注意到注意到E Ez z和和H Hz z的橫向函數(shù)要依賴具體的邊界條件。的橫

3、向函數(shù)要依賴具體的邊界條件。一、矩形波導(dǎo)的求解思路二、矩形波導(dǎo)的橫向解 在矩形波導(dǎo)中存在在矩形波導(dǎo)中存在TETE和和TMTM兩類波，請注意矩形波兩類波，請注意矩形波導(dǎo)中不可能存在導(dǎo)中不可能存在TEMTEM波波( (推而廣之，任何空心管中都不推而廣之，任何空心管中都不可能存在可能存在TEMTEM波波) )。 這里以這里以TETE波為例作出討論，即波為例作出討論，即E Ez z=0=0，對于縱向分對于縱向分量只須討論量只須討論H Hz z，計及計及 txy222220),(),(22ctkyxHyxH二、矩形波導(dǎo)的橫向解 則矩形波導(dǎo)的橫向解是則矩形波導(dǎo)的橫向解是 22222H x yxH x yy

4、k H x yc( , )( , )( , ) (12-17)圖圖 12-2 12-2 矩形波導(dǎo)坐標(biāo)系矩形波導(dǎo)坐標(biāo)系 xzya0be m二、矩形波導(dǎo)的橫向解 再令再令H H( (x x，y y) )可分離變量，即可分離變量，即H(xH(x，y)y)= =X(x)Y(y)X(x)Y(y) 1122222XXxYYykc 還令每項都是常數(shù)還令每項都是常數(shù)( (Constant)Constant)，可得可得 11222222222XXxkYYykkkkxyxyc (12-18) 二、矩形波導(dǎo)的橫向解 XAk xxxcos()Yk yyBycos()HHk xk yezxxyyz0cos()cos()

5、一般可寫出：一般可寫出： 總的可寫出總的可寫出 下面的主要任務(wù)是利用邊界條件確定下面的主要任務(wù)是利用邊界條件確定k kx x，k ky y，和和kckc。 請注意：請注意：H H0 0與激勵強度有關(guān)。與激勵強度有關(guān)。 (12-19) 二、矩形波導(dǎo)的橫向解 根據(jù)橫向分量可以用縱向分量表示，有根據(jù)橫向分量可以用縱向分量表示，有EjkHyHjkkk xk yeEjkHxHjkkk xk yexczcyxxyyzyczcxxxyyz 202202cos()sin()sin()cos()二、矩形波導(dǎo)的橫向解 邊界條件邊界條件x=0 x=0， x=a x=a， E Ey y=0=0y=0y=0， y=b

6、y=b， E Ex x=0=0 xExaEk amyxyx0000, 可得可得kmamx, 整數(shù)yEyaEk anxyxy0000, 可得可得knany, 整數(shù)三、矩形波導(dǎo)的解 HHmanbeEjknbHmaxnby eEjkmaHmaxnby eEHkmaHmaxzzxczyczzxc02020200coscoscossinsincossincoscossinnby eHknbHmaxnby ezycz20最后得到最后得到TE波的解波的解(12-20) 通過對偶可得到通過對偶可得到TM波的解：波的解：三、矩形波導(dǎo)的解 kkkmanbcxy22222其中，其中， 上面稱為上面稱為TETEmnm

7、n波波 m m表示表示x x方向變化的半周期數(shù)方向變化的半周期數(shù) ( (即小即小大大小小) ) n n表示表示y y方向變化的半周期數(shù)。方向變化的半周期數(shù)。 (12-21) 三、矩形波導(dǎo)的解 關(guān)于簡正波的討論：關(guān)于簡正波的討論： 以矩形波導(dǎo)為例，盡管在以矩形波導(dǎo)為例，盡管在z z方向它們只可能是入方向它們只可能是入射波加反射波射波加反射波( (即還是廣義傳輸線即還是廣義傳輸線) )，但是由于橫向，但是由于橫向邊界條件它們由邊界條件它們由TETEmnmn和和TMTMmnmn波組成并且它們只能由波組成并且它們只能由TETEmnmn和和TMTMmnmn波組成波組成( (后者，我們稱之為完備性后者，我

8、們稱之為完備性) )，矩形，矩形波導(dǎo)中這些波的完備集合波導(dǎo)中這些波的完備集合即簡正波。即簡正波。 任何情況的可能解，只能在簡正波中去找，具任何情況的可能解，只能在簡正波中去找，具體場合所不同的僅僅是比例和組合系數(shù)，事實上，體場合所不同的僅僅是比例和組合系數(shù)，事實上，這樣就把求復(fù)雜場這樣就把求復(fù)雜場函數(shù)函數(shù)的問題變換成求各個模式的的問題變換成求各個模式的系數(shù)。系數(shù)。三、矩形波導(dǎo)的解 rxiyjzk 這種思想，最早起源于矢量分析，任何空間矢量這種思想，最早起源于矢量分析，任何空間矢量xyz0r(x,y,z)圖圖 12-3 Vector Analysis 方向與大小均方向與大小均不相同，但是不相同，

9、但是建立建立x x，y y，z z坐標(biāo)系之后，坐標(biāo)系之后，任一任一( (三維三維) )矢矢量即歸結(jié)為三量即歸結(jié)為三個系數(shù)個系數(shù)四、TE10波 矩形波導(dǎo)中頻率最低模式，也即我們要工作的傳輸矩形波導(dǎo)中頻率最低模式，也即我們要工作的傳輸主模式即主模式即TETE1010波，波，m m=1=1，n n=0=0，若傳播常數(shù)無耗若傳播常數(shù)無耗=j=j。 HHax eEjkaHax eHjkaHax ezj zycj zxcj z 02020cossinsinHHaxtzEkaHaxtzHkaHaxtzzyxc 02020coscos()sinsin()sinsin() 四、TE10波 場結(jié)構(gòu)的畫法上要注意：

10、場結(jié)構(gòu)的畫法上要注意：場存在方向和大小兩個不同概念，場的大小是以場存在方向和大小兩個不同概念，場的大小是以 力線密度表示的力線密度表示的同一點不能有兩根以上力線同一點不能有兩根以上力線磁力線永遠(yuǎn)閉合，電力線與導(dǎo)體邊界垂直磁力線永遠(yuǎn)閉合，電力線與導(dǎo)體邊界垂直電力線和磁力線相互正交電力線和磁力線相互正交 四、TE10波 xxyzzyzz000000 xaab0 xHzHxEyH圖圖 12-4 TE10波場結(jié)構(gòu)波場結(jié)構(gòu) 五、TE10波的參數(shù) 22ccak(1) TE10波的截止特性波的截止特性 222222cxymnkkkabac1f2222ckccaaa截止波長截止頻率截止波數(shù)五、TE10波的參數(shù)

11、 (2)波導(dǎo)波長波導(dǎo)波長g 22112gca=(12-24) 2g設(shè)傳播常數(shù)設(shè)傳播常數(shù) 222222cg五、TE10波的參數(shù) (3)(3)相速相速p ppCaC122 (12-25)( (4)4)群速群速g ggpcca2212C gpC2五、TE10波 的參數(shù) EHEHattyxg02112 ( (5)5)波型阻抗波型阻抗注記：在注記：在TETE1010波各參數(shù)中唯獨波型阻抗要特別討論。波各參數(shù)中唯獨波型阻抗要特別討論。(12-29)六、矩形波導(dǎo)中的簡正波方程通解Maxwell矩 形 波 導(dǎo)波波T ET Mm nm n傳 輸 波雕 落 波mx方向變化的半周期數(shù)；方向變化的半周期數(shù)； ny方向

12、變化的半周期數(shù)。方向變化的半周期數(shù)。 矩形波導(dǎo)中矩形波導(dǎo)中TE波和波和TM波的全部集體構(gòu)成簡正波波的全部集體構(gòu)成簡正波六、矩形波導(dǎo)中的簡正波簡正模簡正模( (或簡正波或簡正波) )理論包含三個方面：理論包含三個方面： 1. 1. 完備性完備性 矩形波導(dǎo)中不論放置什么障礙物和邊界條件，它矩形波導(dǎo)中不論放置什么障礙物和邊界條件，它們里邊存在的是們里邊存在的是TEmn和和TMmn模式，而且，它們也只模式，而且，它們也只能存在能存在TEmn和和TMmn模式，具體情況所不同的僅僅是模式，具體情況所不同的僅僅是各種模式的比例與組合。各種模式的比例與組合。六、矩形波導(dǎo)中的簡正波 0sincossin 0si

13、ncossin00pmdyybpybnlmdxxalxamba(14-1)(14-1)六、矩形波導(dǎo)中的簡正波2 2222bnamkkkyxc截止波數(shù)222 bnamc截止波長六、矩形波導(dǎo)中的簡正波傳輸模cmn雕落模cmnej zc2120zEezcc212六、矩形波導(dǎo)中的簡正波注意到雕落模注意到雕落模( (也稱截止模也稱截止模) )，它是一種快速衰，它是一種快速衰減的振蕩模式。也就是說，在不同的減的振蕩模式。也就是說，在不同的z處，有同一相處，有同一相位。位。 當(dāng)然，雕落模式?jīng)]有功率和能量傳播。當(dāng)然，雕落模式?jīng)]有功率和能量傳播。 當(dāng)模式不同，但卻有相同的當(dāng)模式不同，但卻有相同的kc，我們稱為簡

14、并模我們稱為簡并模式。最后顯示的是式。最后顯示的是TEmn和和TMmn是簡并是簡并( (Degeneration) )的。的。六、矩形波導(dǎo)中的簡正波七、TE10波單模存在條件 當(dāng)當(dāng)ba時，時，m=1，n=0的的c c最大。最大。( (或者說或者說fc最低最低) ) TE10波波稱為矩形波導(dǎo)的主模稱為矩形波導(dǎo)的主模( (或者優(yōu)勢?；蛘邇?yōu)勢模) )，在絕大多數(shù)傳輸?shù)膽?yīng)用場合我們都希望只傳輸在絕大多數(shù)傳輸?shù)膽?yīng)用場合我們都希望只傳輸TE10波，而其它模式都成雕落模而不傳輸。波，而其它模式都成雕落模而不傳輸。 TE10波單模存在條件是波單模存在條件是 cmnc 10(14-2)(14-2)a b/. 2

15、2cmnamn24 8422.aa 2(14-5)(14-5)(14-4)(14-4)(14-3)(14-3)七、TE10波單模存在條件 此時此時TE10波單模存在條件是：波單模存在條件是：例例1 1BJ-100波導(dǎo)，波導(dǎo)，ab=22.8610.16mm2，求單求單模傳輸?shù)牟ㄩL范圍和頻率范圍。模傳輸?shù)牟ㄩL范圍和頻率范圍。解已經(jīng)知道單模傳輸條件是解已經(jīng)知道單模傳輸條件是cmn2aca1024572.mmca202286.mmcb0122032.mm七、TE10波單模存在條件 cab1 1222111 8m mca3 0231 5 2 5.m mcab212222115 10.m m七、TE10波單模存在條件 十分明顯，第二模式是十分明顯，第二模式是c20=22. 86mm。因此，因此，單模傳輸單模傳輸 228645726551310.mmmm GfGCC102050mm3040H10H20H01E21E11H21H11H30, 截 止 區(qū) 域 單模 工作區(qū)圖圖 14-1 14-1(14-6)(14-6)七、TE10波單模存在