估計樹葉質(zhì)量

1、一棵樹葉子質(zhì)量的估算摘要古希臘一位哲學家曾經(jīng)說過：“世界上沒有兩片完全相同的樹葉。”不同的樹有不同類型的樹葉，即使同一棵樹上的兩片樹葉，其形狀、顏色、大小也各不相同。本文主要研究了如何估計一棵樹葉子質(zhì)量的問題。首先，從不同角度分別解釋了葉子為什么具有不同的形狀，并建立了相應(yīng)的葉子分類模型；然后，建立了葉鑲嵌模型和分支模型，分別研究了樹的輪廓、樹葉分布及分枝體積結(jié)構(gòu)對葉形的影響；最后，基于葉鑲嵌模型，縱向分層來估算一棵樹葉子的質(zhì)量。本文以高10m，冠幅6m的棗樹為例，估算出其樹葉質(zhì)量為45.4kg。關(guān)鍵詞 葉鑲嵌模型 分枝模型 樹形指數(shù) 葉形指數(shù) 線性擬合 控制變量1、 問題重述“一棵樹上的葉子

2、有多重？”該怎樣估計一棵樹上葉子的重量呢？又怎樣將不同的葉子進行分類呢？通過建立模型來對葉子進行分類和描述。模型需要考慮和回答下面的問題：（1）為什么葉子具有各種不同的形狀呢？（2）是不是不同形狀葉子之間通過盡量減少各自的陽光下投影來獲得最大的照射面積呢？樹葉的分布以及樹干和樹杈的體積影響葉子的形狀嗎？（3）就輪廓來講，葉形（一般特征）是和樹的輪廓以及分枝結(jié)構(gòu)有關(guān)嗎？（4）怎樣估計一棵樹上葉子的質(zhì)量呢？葉子的質(zhì)量和樹的尺寸特征（包括和外形輪廓有關(guān)的高度、體積、質(zhì)量）有聯(lián)系嗎？2、 問題分析2.1為什么樹葉有不同的形狀2.1.1基因差異基因是決定物體性狀的主要和關(guān)鍵因素?；虻牟町愋詫е虏煌臉?/p>

3、種的葉子出現(xiàn)不同形狀。眾所周知，樹分支的形象是一個典型的分形結(jié)構(gòu)。葉脈，樹枝，整個樹的結(jié)構(gòu)是類似的。植物形態(tài)多樣性由先天或遺傳控制決定。因此，葉脈紋理的參數(shù)，如分支的數(shù)目，分支角度，減少的幅度，和迭代次數(shù)的參數(shù)，可以用來確定樹分析剖面的資料。而樹分型的輪廓，主要是由基因決定。2.1.2環(huán)境差異環(huán)境也是導致葉片產(chǎn)生差異的一個重要因素，位于樹冠的樹葉一般都比較小，這樣就能減少吸收光線的表面積。樹冠樹葉一般還有著復雜的邊緣或裂片，這就使得樹能迅速散失掉吸收的熱量。樹冠下面的樹葉被遮蔽較多，它們一般都比較大，因為吸收光線的表面積也較大，而且葉邊緣和裂片的表達也比較簡單。比較一下樹冠較高的橡樹和樹冠較低

4、的山茱萸，或者觀察一下白櫟樹樹冠和下面的葉子，就不難看出這一點。白櫟樹上層樹冠葉子較小，也使得大量陽光能穿透到下面的葉子上，從而讓下面的鴨子 也能進行持續(xù)的光合作用。針形樹葉吸收光線的面積很小，因此每根針葉無法獲得大量陽光來進行光合作用。針葉有很厚的角質(zhì)層，還有特殊的坑狀氣孔，這樣能阻止水分的過量流失。針葉樹尤其適合在干燥土壤和干燥氣候條件下生長，在這樣的環(huán)境中生長特別需要保持水分。針葉和闊葉的另一個主要不同點，就是針葉能夠“活”3至4年，而闊葉只能“活” 一個生長季節(jié)。在演化過程中，葉子針對不同環(huán)境發(fā)展出了多種多樣的策略，這在一定程度上決定了葉子的外形。2.1.3葉脈差異樹葉的形狀和大小各不

5、相同是植物區(qū)別的主要顯著特點。一些幾何術(shù)語，如橢圓形或菱形，已經(jīng)由植物學家介紹，描述各葉的形狀。千姿百態(tài)的樹葉外表特征不同。葉脈可以揭示植物的大量信息。例如，打開植物葉片上的洞（即“葉孔”），以吸收更多的二氧化碳，進行光合作用，樹葉會失去蒸騰水的數(shù)量（這個與天氣和氣候因素密切相關(guān)）。這個過程需要很多導管來運輸水，這意味著需要大量較大的葉脈。另一個例子是，如果一種植物不斷需要大量的水，這將為葉脈的特殊幾何分布奠定了基礎(chǔ)，及整個葉片的形狀。因此，它是樹葉的最主要的部分，確定它們是否是古典楓葉或刀片柳樹葉形狀或其它的葉脈。在一般情況下，葉脈決定一切葉片，包括提供給樹葉的支持，抵抗侵略，運送營養(yǎng)，甚至

6、幫助傳遞化學信號（植物在這方面，像動物的神經(jīng)葉脈）。我們也將從葉子的葉脈入手，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學和生物知識，來分析為什么樹葉有不同的形狀。2.2葉形的不同影響因素2.2.1樹葉分布的影響葉在莖上的排列，不論是哪一種葉序，相鄰兩節(jié)的葉，總是不相重疊而成鑲嵌狀態(tài)。這種同一枝上的葉，以鑲嵌狀態(tài)進行排列而不重疊的現(xiàn)象，稱為葉鑲嵌。葉鑲嵌，可以使得所有的樹葉獲得其最大效率進行光合作用時所需的光照。陽光是最重要的因素，影響葉形。由于光照強度和照明面積的不同，樹葉的形狀也各不相同。針對葉子的水平分布，我們從鑲嵌角入手，通過數(shù)據(jù)分析和一定的生物學基礎(chǔ)，來研究在不同鑲嵌角下葉片的覆蓋面積，看是否葉片的分布位置對葉形

7、有一定的影響。2.2.2樹干和枝杈體積的影響 根據(jù)分形原理，我們知道樹干和樹杈兩者在結(jié)構(gòu)上具有相似性，于是可只研究樹杈體積對葉形的影響，進而我們可轉(zhuǎn)化為研究樹枝枝杈直徑對葉形的影響。2.3葉形與樹的輪廓及分枝結(jié)構(gòu)的關(guān)系2.3.1樹的輪廓的影響我們可以用高度、樹冠南北和東西半徑來體現(xiàn)樹的輪廓，用葉子的長和寬來描述葉子的形狀，因此我們可以定義樹形指數(shù)和葉形指數(shù)來研究葉形和樹的輪廓的關(guān)系。2.3.2 分枝結(jié)構(gòu)的影響我們可以用分枝傾斜角、分枝級數(shù)、分枝數(shù)目和相鄰級別分枝夾角來描述樹枝的分枝結(jié)構(gòu)，然后分別研究它們與葉形的關(guān)系。2.4一棵樹葉子的質(zhì)量我們可以講述的外形視為圓錐形，根據(jù)一棵樹的實際情況，比如

8、高度、冠幅寬度等來估算樹葉的質(zhì)量。根據(jù)樹與樹葉的關(guān)系，可以尋求出樹葉的質(zhì)量與樹的尺寸特征（包括和外形輪廓有關(guān)的高度、體積、質(zhì)量）的關(guān)系。3、 模型假設(shè)1、 測量數(shù)據(jù)準確且符合實際。2、 樹上樹葉是對稱分布的。3、 一棵樹的葉子重量粗略認為僅由最外層枝干的葉子重量決定，內(nèi)層葉子的影響忽略。4、 單葉只包含一個單獨的葉，復葉的葉片可以分割成幾個單獨的小葉片。本文不考慮復葉，認為它們的脈絡(luò)可以在每一個小葉的層次上進行建模。5、 假設(shè)樹都有分形特征且分形和整個樹的形狀滿足自相似的特點。6、 假設(shè)棗樹葉子的平均質(zhì)量m=kg4、 符號說明研究如何估計一棵樹的葉子質(zhì)量，我們需要分別對樹葉、樹形、樹的分支等進

9、行分析。為了研究的方便，我們定義以下符號并對其進行相應(yīng)的說明。符號說明葉子的長度第i段主葉脈的長度第i段主葉脈與中心葉脈的夾角第i段與第i+1段主葉脈的間距主葉脈的數(shù)目第i段主葉脈對應(yīng)的水平寬度葉片面積樹形指數(shù)葉形指數(shù)5、 模型建立與求解5.1模型一：樹葉的分類5.1.1模型準備從生物學角度來說，樹葉進行光合作用是會涉及到三個基本要素：制造葉子所需的碳量、葉子的壽命和葉子加工陽光的快慢（即進行光合作用的速度）。這三個基本要素以不同的方式組合，最終就創(chuàng)造出多的令人難以置信的樹葉形狀和結(jié)構(gòu)。葉脈是樹葉的根基，在葉脈網(wǎng)絡(luò)中可清晰看到三種特性：葉脈密度、葉脈之間的間距和就像人類毛細血管一樣的較小的葉脈

10、區(qū)域的數(shù)量（這些葉脈區(qū)域被稱為“回路”）。所以，通過對葉片葉脈研究，我們可以對樹葉進行分類。5.1.2模型建立圖1為葉片的示意圖，我們可分別定義主葉脈的長度、中心葉脈的夾角、葉脈的間距及小型葉脈分布區(qū)的數(shù)量m，通過研究它們之間的關(guān)系來討論樹葉的形狀。 圖1 葉片示意圖由上圖我們可以得到以下關(guān)系式：葉片長度：葉片寬度：此外，根據(jù)文獻4中單葉葉面積公式，其中a、b分別為葉長和葉寬，我們還可得到葉片面積為：5.1.3模型結(jié)果討論從模型結(jié)果我們可以看出葉形與主葉脈的長度、各段主葉脈間距、主葉脈數(shù)目以及主葉脈與中心葉脈夾角均存在一定關(guān)系。下面我們對模型結(jié)果進行具體分析。1、 不同的主葉脈與中心葉脈夾角對

11、應(yīng)著不同的葉片形狀。通過統(tǒng)計各種葉形，我們可根據(jù)不同對這些葉形進行分類。如表2。表1不同夾角下的葉形分類夾角范圍葉片形狀針形、條形劍形、倒披針形披針形、圓形、矩圓形、橢圓形、卵形、倒卵形、鑰形、倒心形、提琴形心形、菱形、三角形箭頭形、戟形掌狀網(wǎng)脈、盾形2.當夾角相同時，由于主葉脈的長度、間距、數(shù)目的不同，樹葉的形狀也會各不相同。例如：當時，由于葉脈間距不同，會產(chǎn)生圓形和矩圓形的樹形；而由于葉脈長度不同，會產(chǎn)生矩圓形和橢圓形的葉形。3.即使不同樹葉的葉脈夾角和葉脈長度等因素保持一致，葉子的邊緣形狀也會千差萬別，葉脈邊緣鋸齒角度、數(shù)目和長度也都是各不相同的。4.此外，如果葉片的表面形狀近似，但它的

12、厚度d可能還是會有差別的，形狀也就各不相同。綜上，主葉脈的長度、各段主葉脈間距、主葉脈數(shù)目以及主葉脈與中心葉脈夾角的差異，均會使葉形千差萬別。5.2模型二：樹葉分布與分枝體積對葉形的影響5.2.1模型準備1、葉在莖枝上排列的次序稱為葉序。根據(jù)著生在枝節(jié)部位的葉片數(shù)，可分為輪生葉序、對生葉序、互生葉序和簇生葉序，如圖2所示。圖2 葉序圖2、葉鑲嵌指的是同一枝上的葉在莖上排列，無論它們的葉序是互生、對生或輪生，相鄰兩節(jié)的葉由于葉柄長短、扭曲及葉片各種排列角度而形成互不遮蔽、不重疊的鑲嵌狀態(tài)。3、一個圖形某部分以某種方式與整體本身相似的情況稱為分形。而樹木具有分形的特點，于是我們用一個樹枝上樹葉分布

13、情況代替整棵樹上樹葉分布情況來研究葉分布對葉形的影響。鑲嵌角指的是相鄰兩節(jié)葉相同葉位置主軸線之間的角度，如圖3所示。圖3 鑲嵌角5.2.2葉鑲嵌模型下面我們以四葉輪生植物為例來研究相鄰兩層鑲嵌角與覆蓋率之間的關(guān)系。假設(shè)相鄰兩層的葉子形狀完全相同，當兩層葉子鑲嵌角的不同時，我們通過計算機模擬出鑲嵌角分別為時兩層葉子的覆蓋率，即兩層葉子的覆蓋面積占總面積的比例。表2葉子覆蓋率鑲嵌角覆蓋率0.460.520.570.600.620.620.600.570.520.46然后作出鑲嵌角和覆蓋率關(guān)系圖，如圖4所示。圖4 覆蓋率折線圖由上述圖像可知，植物每層葉片暴露在陽光下的總面積在實際鑲嵌角之間時取得最大

14、值。實際上，由于不同葉子吸收的水分和養(yǎng)料的不同，導致葉子的大小、厚度互不相同。相鄰兩節(jié)樹葉為了獲得最大陽光接觸面積，會相應(yīng)的改變樹葉的形狀，包括葉脈之間的角度和葉脈的長度,最終使得上層葉子相對輕扁而細長，下層葉子寬大而厚重。模擬的結(jié)果亦是如此，如圖5所示。 圖5 實際模擬圖對于整棵樹，利用上述方法同樣能得出上述結(jié)論。因此，植物的葉片在其實際鑲嵌角下，其覆蓋面積最大，即葉片之間相互重疊的面積最小化使其最大限度地接觸到陽光。5.2.3分枝體積的影響我們用分枝直徑來描述分枝體積，并以此來研究分枝體積對葉形的影響。假設(shè)樹葉滿足自身需求的最小光照面積為minS，同時我們假定樹枝傾斜角為定值，使用計算機模

15、擬分枝直徑BranchD與樹葉接觸到光照面積S之間的關(guān)系，如圖6所示。圖6 分枝直徑與光照面積關(guān)系圖由上圖可知，當分枝直徑較小時，樹葉接觸到的光照面積較小；而當分枝直徑較大時，樹葉接觸到的光照面積較大。葉片為適應(yīng)周圍環(huán)境變化，滿足自身生長需要（進行光合作用），葉片便會相應(yīng)地改變自身形狀。所以，分枝體積會對葉形產(chǎn)生一定的影響。 5.3模型三：樹的輪廓及分枝結(jié)構(gòu)對葉形的影響5.3.1樹形指數(shù)與葉形指數(shù)首先，我們來定義樹形指數(shù)和葉形指數(shù)。樹形指數(shù)R1=樹高/冠幅，冠幅=（東西冠徑+南北冠徑）/2；葉形指數(shù)R2= 。然后，我們統(tǒng)計了短枝紅星樹和棗樹10個樣本的相應(yīng)數(shù)據(jù)，并進行了相應(yīng)計算，如表3、4所示

16、。表3 短枝紅星樹的樹形指數(shù)和葉形指數(shù)組數(shù)樹形指數(shù)R1葉形指數(shù)R211.231.821.211.7931.051.8241.181.8251.211.7661.061.8271.331.8281.511.6291.081.74101.121.85表4棗樹的樹形指數(shù)和葉形指數(shù)組數(shù)樹形指數(shù)R1葉形指數(shù)R211.251.2221.241.1431.311.0441.311.2251.351.1461.191.4471.181.3581.221.1591.291.02101.261.16對樹形指數(shù)和葉形指數(shù)進行回歸分析，結(jié)果如下。1、 短枝紅星樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)回歸分析結(jié)果，如圖7和表5所示。圖7短

17、枝紅星樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)回歸分析圖表5短枝紅星樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)回歸分析表未標準化系數(shù)標準化系數(shù)tSig.B標準誤Beta樹形指數(shù)-.321.121-.683-2.648.029（常數(shù)）2.169.14614.824.000由以上圖7和表5可知，短枝紅星樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)之間滿足線性關(guān)系，其相應(yīng)關(guān)系式為：y=-0.321x+2.169（4）其中p=0.029<0.05,說明該線性關(guān)系顯著性明顯。2、 棗樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)回歸分析結(jié)果，如圖8和表6所示。圖8 棗樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)回歸分析圖表6棗樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)回歸分析表未標準化系數(shù)標準化系數(shù)tSig.B標準誤Beta樹形指數(shù)

18、-1.591.602-.683-2.644.030（常數(shù)）3.193.7594.207.003由以上圖8和表6可知，棗樹樹形指數(shù)與葉形指數(shù)之間滿足線性關(guān)系，其相應(yīng)關(guān)系式為：y=-1.591x+3.193（5）其中p=0.030<0.05,說明該線性關(guān)系顯著性明顯。綜上，樹形指數(shù)與葉形指數(shù)呈現(xiàn)顯著的負相關(guān)關(guān)系。5.3.2分枝模型我們用分枝傾斜角、分枝級數(shù)、分枝數(shù)目及次級分枝與上級分枝夾角來定義樹枝的分枝結(jié)構(gòu)，運用控制變量法的思想，分別研究它們對葉形的影響。1、 分枝傾斜角首先，我們定義分枝傾斜角，如圖7所示。圖9分枝傾斜角我們假設(shè)樹葉滿足自身需求的光照面積為minS，同時假定分枝直徑Bra

19、nchD為定值,來研究分枝傾斜角與樹葉接觸的光照面積關(guān)系，進而研究分枝傾斜角對葉形的影響，如圖8所示。圖10 分枝傾斜角與光照面積關(guān)系圖由圖可知，在特定的傾斜角范圍內(nèi)，隨著傾斜角的變化，樹葉接觸到的光照面積會發(fā)生相應(yīng)變化。葉片為適應(yīng)周圍環(huán)境變化，滿足自身生長需要（進行光合作用），葉片便會相應(yīng)地改變自身形狀。所以，分枝傾斜角會對葉形產(chǎn)生一定的影響。 2. 分枝級數(shù)樹枝枝杈可相應(yīng)分為1級、2級和3級，我們需要研究不同級數(shù)上的分枝與葉片接觸到的光照面積之間的關(guān)系，進而研究分枝級數(shù)對葉形的影響，如圖9所示。圖11 分枝級數(shù)與光照面積關(guān)系圖由上圖可知，各級分枝隨著分枝數(shù)目的增多，葉片接觸到的光照面積隨之

20、增大。葉片為適應(yīng)周圍環(huán)境變化，滿足自身生長需要（進行光合作用），葉片便會相應(yīng)地改變自身形狀。所以，分枝級數(shù)會對葉形產(chǎn)生一定的影響。 3. 分枝數(shù)目我們假設(shè)分枝的傾斜角及分支的直徑都相同，來研究分枝數(shù)目與葉片接觸到的光照面積之間的關(guān)系，進而研究分枝數(shù)目對葉形的影響，如圖10所示。圖12 分枝數(shù)目與光照面積關(guān)系圖由上圖可知，隨著分枝數(shù)目的增加，葉片接觸到的光照面積減小。因為此時，過多的分枝遮擋部分光照，此時樹葉必須產(chǎn)生盡可能大的形變才能最大限度的接觸到足夠的光照。所以，分枝數(shù)目會對葉形產(chǎn)生一定的影響。4. 相鄰級別分枝夾角首先，我們定義相鄰級別分枝夾角，如圖11所示。圖13 相鄰級別分枝夾角接下來

21、我們同樣研究相鄰級別分枝夾角與葉片接觸到的光照面積之間的關(guān)系，進而研究其對葉形的影響，如圖12所示。圖14 分枝夾角與光照面積關(guān)系圖由上圖可知，隨著夾角的增加，葉片接觸到的光照面積增加，而且當角接近90度時，樹枝分散程度最廣，接觸陽光面積最大。葉片為適應(yīng)周圍環(huán)境變化，滿足自身生長需要（進行光合作用），葉片便會相應(yīng)地改變自身形狀。所以，相鄰級別分枝夾角會對葉形產(chǎn)生一定的影響。5.4模型四：估計樹葉重量5.4.1模型建立我們假設(shè)樹的輪廓近似于圓錐體，高度為h,底面半徑為R,以此向上半徑為，樹冠夾角為，如圖所示為圓錐體的縱切圖圖14 樹的縱切圖根據(jù)葉鑲嵌原理，將樹分為n層。假設(shè)每層樹葉與圓錐表面平行

22、，我們可以得到第n+1層的樹葉的總面積以及角的表達式由（6）（7）兩式可以整理得到最終可以求得一棵樹樹葉的總質(zhì)量為：5.4.2模型求解我們通過搜集數(shù)據(jù)，得到一棵棗樹的相關(guān)數(shù)據(jù)（1）棗樹樹葉形狀：2.54cm長，12cm寬;（2）棗樹樹高：10m，即h=10m;（3）棗樹樹寬：6m,即R=3m;（4）由一級分支的數(shù)目將樹葉分為10層，即n=10;（5）每層樹葉的信息如下：表7 樹葉信息表層數(shù)12345678910第n層（）1.22.23.24.25.26.27.28.29.210平均面積()7.77.47.16.86.56.25.95.65.35.0平均質(zhì)量(g)0.540.530.520.510.500.49