小結(jié)無窮級數(shù)35080

1、1. 部分和部分和:nnkknuuuus 2112. 部分和數(shù)列部分和數(shù)列: ,21nsss3. 收斂收斂:ssnnlim稱級數(shù)收斂稱級數(shù)收斂sunn1nnssr稱為級數(shù)余項(xiàng)稱為級數(shù)余項(xiàng)極限不存在極限不存在,稱級數(shù)發(fā)散稱級數(shù)發(fā)散例例1. 判斷下列級數(shù)的部分和判斷下列級數(shù)的部分和,并判斷其斂散性并判斷其斂散性:(1). )!1(1)!(1)!1(11)!1( nnnnnnun解：解： 1)!1(nnn級數(shù)收斂其和是級數(shù)收斂其和是1(2).)( 1)!1(11)!1(1!1()! 31! 21()! 211( nnnnsn 1212nnn)2(212232232121)1(212252321132

2、32 nnnnnnnsns解解：級數(shù)收斂其和是3(3). nnslim故故級數(shù)發(fā)散111132232232122112121221212122121)2()1( nnnnnnnnns得得3lim2321lim nnnnss即即故有故有)1(1nnn 11)1()23()12( nnnsn 1212nnn級數(shù)收斂其和是級數(shù)收斂其和是3二二. 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1若級數(shù)若級數(shù) 收斂于和收斂于和 s, k 為常數(shù)為常數(shù),則則1nnuksukkunnnn 11推論推論: 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后,斂散性不變斂散性不變性質(zhì)性質(zhì)2. 兩個(gè)收斂級

3、數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減兩個(gè)收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減 111)(nnnnnnnsvuvu 性質(zhì)性質(zhì)3. 改變有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性改變有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂散性例例2:)3121(1nnn因?yàn)橐驗(yàn)?和和 都收斂都收斂131nn121nn級數(shù)收斂級數(shù)收斂性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級數(shù)仍收斂且和不變收斂級數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級數(shù)仍收斂且和不變注意注意: (1). 加括號(hào)后所得新級數(shù)發(fā)散加括號(hào)后所得新級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)發(fā)散則原級數(shù)發(fā)散.(2). 加括號(hào)后所得新級數(shù)收斂加括號(hào)后所得新級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定收斂原級數(shù)不一定收斂.例如例如: (11)+ (11)+ (11)+.收斂收斂

4、而而11+11+11+.發(fā)散發(fā)散.性質(zhì)性質(zhì)5.(級數(shù)收斂必要條件級數(shù)收斂必要條件)若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂,則則1nnu0limnnu注意注意:(1). 若若 ,則級數(shù)則級數(shù) 發(fā)散發(fā)散1nnu0limnnu(2). 時(shí)時(shí),級數(shù)級數(shù) 不一定收斂不一定收斂0limnnu1nnu判斷級數(shù)發(fā)散判斷級數(shù)發(fā)散的第一步驟的第一步驟01limlimnunnn例如例如:調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) n131211但級數(shù)發(fā)散但級數(shù)發(fā)散(2)11)1(nnnn1) 1(limlimnnunnnn不存在不存在級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散例例3. 判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性:(1)11100nnn010011100limlimnnunnn級數(shù)

5、發(fā)散級數(shù)發(fā)散(3) 12)1cos1(nnn021)2(121sin21lim21sin2lim)1cos1 (limlim22222nnnnnnunnnnn發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散.lim) 1()()()(3)(2)(.)(,111112101231201111收斂存在則項(xiàng)和為的前記項(xiàng)和為的前記nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnasansnasnaaaaaaanaaaaaanaansna收收斂斂證證明明收收斂斂收收斂斂已已知知數(shù)數(shù)列列例例 111,)(,. 4nnnnnnnaaannax 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一一.正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法每一項(xiàng)都非負(fù)每一項(xiàng)都非負(fù)其部

6、分和數(shù)列有界其部分和數(shù)列有界定理定理1(基本定理基本定理)正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù) 收斂的充要條件是收斂的充要條件是1nnu定理定理2(比較審斂法比較審斂法)1nnu設(shè)設(shè) 和和 都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù),1nnv且且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv若若 收斂收斂,則則 收斂收斂;1nnu1nnv若若 發(fā)散則發(fā)散則 發(fā)散發(fā)散.注意注意: 定理定理2可以與第一節(jié)的性質(zhì)相結(jié)合可以與第一節(jié)的性質(zhì)相結(jié)合,靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用.定理定理3(比較審斂法極限形式比較審斂法極限形式)設(shè)設(shè) 和和 都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù),1nnu1nnv如果如果)0(limllvunnn則則 和和 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂

7、或同時(shí)發(fā)散.1nnu1nnv定理定理4.(比值審斂法比值審斂法)設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù),1nnu如果如果nnnuu1lim則則:10).1 (1).2(收斂收斂;發(fā)散發(fā)散;1).3(無法確定無法確定.定理定理5.(根值審斂法根值審斂法)設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù),1nnu如果如果nnnulim則則:10).1 (1).2(收斂收斂;發(fā)散發(fā)散;1).3(無法確定無法確定.(證明略證明略)例例 證明證明 nn13121132收斂收斂并估計(jì)以并估計(jì)以 近似代替和近似代替和 s 所產(chǎn)生的誤差所產(chǎn)生的誤差ns01limlimnunnnn解解則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂 321)3(1)2(1)1(1|nnn

8、nnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 pppn131211例例: p-級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性解解0p時(shí)時(shí),級數(shù)顯然發(fā)散級數(shù)顯然發(fā)散.因?yàn)橐驗(yàn)?, 而而 發(fā)散發(fā)散,則則 p-級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散nnp1111nn1p時(shí)時(shí),)+=()()()(spppppppppn 它的各項(xiàng)不大于下面的等比級數(shù)各項(xiàng)它的各項(xiàng)不大于下面的等比級數(shù)各項(xiàng)+=+mppppppppppppp)()()()()()( 收斂收斂收斂收斂因此因此 p-級數(shù)的部分和有界級數(shù)的部分和有界,故收斂故收斂. 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂1p1p10 p時(shí)時(shí),例例5. 判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性:1)2)(1(1).1

9、(nnn21)2)(1(1nnn而而 收斂收斂121nn收斂收斂1) 1(14).2(nnnnnnnnnnn24) 1(1422而而 發(fā)散發(fā)散1)211 (22nn發(fā)散發(fā)散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而而 收斂收斂1231nn收斂收斂dxxxnn 1102)1().4(2310102)1(3210ndxxdxxxunnn 由由于于而 收斂231)1(32 nn收斂 1ln)(ln1).5(nnnnnnnnnenulnln)ln(lnlnln11)(ln1 時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)22lnlneenn 收斂例例6. 判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性:!10).1 (1nnn)0

10、( :!).2(1annannnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limeanannnannnnn!) 1()!1(lim11收斂收斂當(dāng)當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)收斂時(shí),.,eaea1!nnnnneea此時(shí)原級數(shù)為時(shí)，比值法失效，當(dāng)enneuunnnn)11 ( , 1)11 (110limnnu故發(fā)散發(fā)散:)(ln).3(1lnnnnnn1)1(2).4(nnnnnnulim1212lim)1(nnnnnennnnnnnnlnlimlnlim2lnln由于0lnlim2nnnnnnulim收斂收斂0 故故二二.任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的

11、級數(shù)1. 交錯(cuò)級數(shù):11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (萊布尼茲定理)若交錯(cuò)級數(shù)11) 1(nnnu滿足:0lim).(,.)2 , 1( ;).(1nnnnuiinuui則級數(shù)收斂,且其和 ,其1us 1|nnur證)()()(21243212nnnuuuuuus 1543212)()(uuuuuusn 單調(diào)有界12limussnnsussnnnnn)(limlim122121limussnn則同理.|121 nnnnuuur交錯(cuò)級數(shù)例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nu

12、iinnn收斂且s 1p 1比較法比較法比值法比值法根值法根值法積分法積分法交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)), 2 , 1( 1 nuunn.0lim nnu. u1 un+1._ _,_ 10_. _ 9._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 711*o*o111o11o且且新新級級數(shù)數(shù)的的和和為為，則則其其乘乘積積是是新新級級數(shù)數(shù)，兩兩個(gè)個(gè)絕絕對對收收斂斂級級數(shù)數(shù)其其和和，且且后后，新新級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂級級數(shù)數(shù)各各項(xiàng)項(xiàng)重重排排則則級級數(shù)數(shù)或或者者，若若有有對對級級數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂，是是指指級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂，是是指指級級數(shù)數(shù) nnnnnnnnnnnnnnnnnnvsuuuuuu

13、uu收斂收斂若若 | 1 nnu, | 1發(fā)散發(fā)散若若 nnu收斂收斂而而 1 nnu必定發(fā)散必定發(fā)散仍然收斂仍然收斂不變不變 )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn s.）（，則此級數(shù)收斂，則此級數(shù)收斂滿足滿足若正項(xiàng)級數(shù)若正項(xiàng)級數(shù)）（收斂收斂絕對絕對則則收斂收斂收斂收斂若若）（且和不變且和不變收斂收斂則則收斂收斂若若）（收斂收斂）（收斂收斂必必則則發(fā)散，發(fā)散，若若）（必發(fā)散必發(fā)散則則收斂收斂若若）（收斂收斂則則收斂收斂若若 .1 14 ., , 13 ., , 12 . )0001. 01( 11 .1 10 .1, 9 ., 811o11212o101o12o11o11

14、o112o nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuubabauunuuuuuu.例：例： 11nn111 nnuunn._ _)(2)_;_ _._ _)1(000收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的方方法法是是求求冪冪級級數(shù)數(shù)是是求求它它的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間的的方方法法收收斂斂半半徑徑的的方方法法是是求求冪冪級級數(shù)數(shù) nnnnnnxxaxa,lim 1 nnnaa求求.先求出先求出r, 令令 y = xx0, , 0 nnnya的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.;1 , 0 r當(dāng)當(dāng)先考慮先考慮再換回再換回 x 的收斂區(qū)間。的收斂區(qū)間。3. 確定冪級數(shù)收斂域確定冪級數(shù)收斂域. 0 , r 當(dāng)當(dāng); ,

15、 0 r 當(dāng)當(dāng):r再推得再推得.再考慮端點(diǎn)再考慮端點(diǎn)x=r處的斂散性處的斂散性.4 判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性1 ).0( 11 1 aann的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù):1 a當(dāng)當(dāng), 111nnaa 收斂，收斂，因級數(shù)因級數(shù) 1 1 nna. 原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂:1 a當(dāng)當(dāng):1 a當(dāng)當(dāng). 021111limlim nnnu. 原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. 0111limlim nnnnau. 原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散.解：解： 2 . 1)sin( 12的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) nnnn , 1)sin( 22nnn 因?yàn)橐驗(yàn)槭諗?，收斂，而級?shù)而級數(shù) 12 1 nn. )sin(12絕

16、絕對對收收斂斂 nnn 發(fā)散，發(fā)散，而而 1 1 nn. 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.解：解：. )!1( 1 nonnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 用用級級數(shù)數(shù)理理論論證證明明：，考慮級數(shù)考慮級數(shù) ! 1 nnnnnnnnu! !)1(! )1(limlim11nnnnuunnnnnn nnnn)1(lim 由比值法：由比值法：. ! 1收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnn由收斂的必要條件：由收斂的必要條件：0lim nnu0!lim nnnn即即：. 1e1 解：解：3. )!1( 1 nonnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) . tan)1( )1( ),2, 0( . ) , 2 , 1( 01211的斂散性的斂散性級數(shù)級數(shù)判斷

17、判斷常數(shù)常數(shù)收斂收斂，且，且設(shè)設(shè) nnnnnnnnnannuana 收斂，收斂，級數(shù)級數(shù) 1 nna. 12收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnannaunnnn tanlimlim 2 因因?yàn)闉?. 121同同收收斂斂與與級級數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù) nnnnau. )1( 1收斂收斂絕對絕對級數(shù)級數(shù) nnnu.解：解：4.) (2的子列的子列項(xiàng)和序列項(xiàng)和序列是前者前是前者前項(xiàng)和序列項(xiàng)和序列后者前后者前nmsnsm.（為什么？）（為什么？）三三. 課堂練習(xí)課堂練習(xí). )11e ()1( . 2111的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) nnnn. )2( )54ln()( . 3其其收收斂斂域域，并并指指出出的的冪冪級級

18、數(shù)數(shù)展展為為將將函函數(shù)數(shù) xxxf. 0)( )( . 11121121的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) aaannn三三 1. 解答解答. 0)( )( 1121121的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) aaannn用級數(shù)收斂的定義用級數(shù)收斂的定義.)()()(121121315131 nnnaaaaaasaan 121 1a )( n所以，原級數(shù)收斂，且其和為所以，原級數(shù)收斂，且其和為 1 a .三三 2. 解答解答. )11e ()1( 111的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù) nnnnxn 1 令令xxfx 1e)(1e)( xxf)0( 0 x )(xf0)11e ( )11e (11 nnnn且且0)11e ( lim1 nnn又：又：由萊布尼茨定理知級數(shù)收斂。由萊布尼茨定理知