2022年《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座第14講直線圓的位置關(guān)系

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教版 高三新 數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座14）直線、圓的位置關(guān)系一課標(biāo)要求：1能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；2探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；3能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；4能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題；5在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。二命題走向本講考察重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系（特別是弦長(zhǎng)問題），此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在解析幾何中也會(huì)出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程

2、知識(shí)。預(yù)測(cè) 2007 年對(duì)本講的考察是：（1）一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題，解答題多與其它知識(shí)聯(lián)合考察；（2）熱點(diǎn)問題是直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考察也會(huì)是一個(gè)命題的方向；（3）本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力。三要點(diǎn)精講1直線 l1與直線 l2的的平行與垂直（1）若 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2k1=k2； l1l2k1k2=1。（2）若0:,0:22221111cybxalcybxal若 a1、a2、b1、 b2都不為零。l1/l2212121ccbbaa；l1l2a1a2+b1b2=0；l1與 l2相交2121

3、bbaa；l1與 l2重合212121ccbbaa；注意：若a2或 b2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0 與0 的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)。2 距離（1）兩點(diǎn)間距離：若)y,x(b),y,x(a2211，則212212)()(yyxxab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -特別地

4、：x/ab軸，則ab|21xx、y/ab軸，則ab|21yy。（ 2 ） 平 行 線 間 距 離 ： 若0:, 0:2211cbyaxlcbyaxl，則：2221baccd。注意點(diǎn)： x，y 對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。（3）點(diǎn)到直線的距離：0cbyax:l),y,x(p，則p 到 l 的距離為：22bacbyaxd3直線0cbyax與圓222)()(rbyax的位置關(guān)系有三種（1）若22bacbbaad，0相離rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組0022feydxyxcbyax求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：（1）當(dāng)方程組有2 個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有2 個(gè)交點(diǎn)），

5、直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有1 個(gè)公共解時(shí)（直線與圓只有1 個(gè)交點(diǎn)），直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)（直線與圓沒有交點(diǎn)），直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓心 c 到直線 l 的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切d=r0；相交d0；相離dr0。4兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為r1，r2，doo21。條公切線外離421rrd；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

6、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -條公切線外切321rrd；條公切線相交22121rrdrr；條公切線內(nèi)切121rrd；無(wú)公切線內(nèi)含210rrd；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來解決。四典例解析題型 1：直線間的位置關(guān)系例 1 （1） （2006 北京 11）若三點(diǎn)a（2，2） ，b（a，0） ，c（0，b） (ab0)共線，則, 11ab的值等于。（2）（2006 上海文 11） 已知兩條直線12:330,: 4610.laxylxy若12/ll，則a_

7、_。解析： （1）答案：12； （2）2。點(diǎn)評(píng)： （1）三點(diǎn)共線問題借助斜率來解決，只需保證acabkk； （2）對(duì)直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -例 2 （1） （2006 福建文， 1）已知兩條直線2yax和(2)1yax互相垂直，則a等于（）a2b1c0d1（2） （2006

8、安徽理， 7）若曲線4yx的一條切線l與直線480 xy垂直，則l的方程為（）a430 xyb450 xyc430 xyd430 xy解析： （1）答案為 d； （2）與直線480 xy垂直的直線l為40 xym，即4yx在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為430 xy，故選 a。點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。題型 2：距離問題例 3 （2002 京皖春文， 8）到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（）axy=0 bx+y=0 c|x|y=0 d |x|y|=0 解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的

9、點(diǎn)為（x，y）|x|y| |x|y|0。答案： d 點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識(shí)探索解題途徑例 4 （2002 全國(guó)文， 21）已知點(diǎn)p 到兩個(gè)定點(diǎn)m（ 1，0） 、n（1，0）距離的比為2，點(diǎn) n 到直線 pm 的距離為1求直線pn 的方程。解析：設(shè)點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（ x，y） ，由題設(shè)有2|pnpm，即2222)1(2)1(yxyx。整理得x2+y26x+1=0 因?yàn)辄c(diǎn) n 到 pm 的距離為 1，|m|2，所以 pmn30，直線 pm 的斜率為33，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

10、- - - 第 4 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -直線 pm 的方程為y=33（x1）將式代入式整理得x24x10。解得 x23，x23。代入式得點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（ 23，13）或（ 23， 13） ； （23，13）或（ 23，13） 。直線 pn 的方程為y=x1 或 y=x+1。點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)

11、解決問題的能力 .比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型 3：直線與圓的位置關(guān)系例 5 （1） （2006 安徽文， 7）直線1xy與圓2220(0)xyaya沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（）a(0,21)b( 21,21)c(21,21)d(0,21)（2） （2006 江蘇理， 2）圓1)3()1(22yx的切線方程中有一個(gè)是（）axy0bxy0cx0dy0 解析： （ 1） 解析：由圓2220(0)xyaya的圓心(0, )a到直線1xy大于a，

12、且0a，選 a。點(diǎn)評(píng)：該題考察了直線與圓位置關(guān)系的判定。（2）直線 ax+by=022(1)(3)1xy與相切，則|3 |12ab，由排除法，選 c，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會(huì)選c,用圖象法解最省事。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解。例 6 （ 2006 江西理， 16）已知圓 m： （xcos ）2（ ysin ）21，直線 l：ykx，下面四個(gè)命題：（a）對(duì)任意實(shí)數(shù)k 與 ，直線 l

13、 和圓 m 相切；（b）對(duì)任意實(shí)數(shù)k 與 ，直線 l 和圓 m 有公共點(diǎn)；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -（c）對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l 與和圓 m 相切；（d）對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)，使得直線l 與和圓 m 相切。其中真命題的代號(hào)是_（寫出所有真命題的代號(hào)）解析：圓心坐標(biāo)為（cos ，sin ）d222|k cossi

14、n|1k |sin|1k1k|sin|1（ ）（ ）故選（ b） （d）點(diǎn)評(píng)：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。題型 4：直線與圓綜合問題例 7 （1999 全國(guó)， 9）直線3x+y 23=0 截圓 x2y24 得的劣弧所對(duì)的圓心角為（）a6b4c3d2解析：如圖所示：由4032322yxyx消 y 得： x23x+2=0， x1=2，x2=1。a（2，0） ，b（1，3）|ab|=22)30()12(=2 又|ob|oa|=2， aob 是等邊三角形，aob=3，故選 c。點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相交的基本知識(shí)，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

15、思想的簡(jiǎn)捷性。如果注意到直線ab 的傾斜角為120，則等腰oab 的底角為60.因此 aob=60.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。例 8 （2006 全國(guó) 2， 16）過點(diǎn)（ 1，2）的直線l 將圓 (x2)2y24 分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l 的斜率 k。解析： 過點(diǎn)(1, 2)的直線l將圓22(2)4xy分成兩段弧， 當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6

16、 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -最小時(shí)，直線l的斜率22k解析 (數(shù)形結(jié)合 )由圖形可知點(diǎn)a(1, 2)在圓22(2)4xy的內(nèi)部 , 圓心為o(2,0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線loa，所以11222loakk。點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等。題型 5：對(duì)稱問題例 9 （89 年高考題）一束光線l 自 a（ 3， 3）發(fā)出，射到x 軸上，被x 軸反射到c：x2y24x4y70 上。() 求反射線通過圓心c 時(shí)，光線l 的方程；() 求在 x 軸上，反射點(diǎn)m 的范圍解法一：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2+(y2)2=1，

17、它關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圓的方程是(x2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線 l 所在的直線的方程是y3=k(x+3)（其中斜率k 待定） ，由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心c（ 2，-2）到這條直線的距離等于1，即 d=21|55|kk=1。整理得12k2+25k+12=0 ，解得 k= 43或 k= 34。 故所求直線方程是y 3=34(x+3)， 或 y3= 34(x+3)， 即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x2)2+(y2)2=1，設(shè)交線l 所在的直線的方程是y-3=k( x+3)（其中斜率k 待定） ，由題意知k0，于是 l 的反射點(diǎn)的坐標(biāo)是（kk)1(3，精品

18、學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -0） ，因?yàn)楣饩€的入射角等于反射角，所以反射光線l 所在直線的方程為y= k(x+kk)1 (3)，即 y+kx+3(1+k)=0 。這條直線應(yīng)與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即 d=21|55|kk=1。以下同解法一。點(diǎn)評(píng)：圓復(fù)合直線的對(duì)稱問題，解題思路兼顧到直線對(duì)稱性問題，重點(diǎn)關(guān)注對(duì)稱圓的幾何要素

19、，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。例 10已知函數(shù)f(x)=x21(x1)的圖像為c1，曲線 c2與 c1關(guān)于直線y=x 對(duì)稱。（1）求曲線 c2的方程 y=g(x)；（2）設(shè)函數(shù) y=g(x)的定義域?yàn)閙， x1， x2m，且 x1x2，求證 |g(x1)g(x2)|x1 x2|; （3）設(shè) a、b 為曲線 c2上任意不同兩點(diǎn)，證明直線ab 與直線 y=x 必相交。解析： （1）曲線 c1和 c2關(guān)于直線y=x 對(duì)稱，則g(x)為 f(x)的反函數(shù)。y=x21，x2=y+1，又 x 1， x=1y，則曲線c2的方程為g(x)= 1x(x0)。（2）設(shè) x1，x2m，且 x1x2，則 x1x20。又

20、 x10， x20，|g(x1)g(x2)|=| 11x12x|=112121xxxx221xx|x1x2|。（3）設(shè) a(x1，y1)、b（x2，y2）為曲線 c2上任意不同兩點(diǎn)，x1，x2m，且 x1x2，由（ 2）知， |kab|=|2121xxyy|=|)()(|2121xxxgxg1 直線 ab 的斜率 |kab|1，又直線y=x 的斜率為1，直線ab 與直線 y=x 必相交。點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)稱問題應(yīng)從方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手來處理，最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型 6：軌跡問題例 11（ 2005山東理，22） 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),02p，且與直線2px相切，其中0p。（i ）求動(dòng)圓

21、圓心c的軌跡的方程；（ii ）設(shè) a、b 是軌跡c上異于原點(diǎn)o的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線oa和ob的傾斜角分別為和，當(dāng),變化且為定值(0)時(shí)，證明直線ab恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。yaxob,02pfmn2px精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -解析： （i）如圖，設(shè)m為動(dòng)圓圓心，,02p為記為f，過點(diǎn)m作直線2px的垂線， 垂足為n，由題意

22、知：mfmn即動(dòng)點(diǎn)m到定點(diǎn)f與定直線2px的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)m的軌跡為拋物線，其中,02pf為焦點(diǎn)，2px為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為22(0)ypx p；（ii ） 如圖，設(shè)1122,a x yb xy， 由題意得12xx（否則） 且12,0 x x所以直線ab的斜率存在， 設(shè)其方程為ykxb， 顯然221212,22yyxxpp， 將yk x b與22(0)ypx p聯(lián) 立 消 去x， 得2220k yp yp b由 韋 達(dá) 定 理 知121222,ppbyyyykk（1） 當(dāng)2時(shí)， 即2時(shí)，tantan1所以121212121,0yyx xy yxx，221212204y yy

23、yp所以2124y yp由知：224pbpk所以。因此直線ab的方程可表示為2ykxpk，即(2 )0k xpy，所以直線ab恒過定點(diǎn)2 ,0p。（2）當(dāng)2時(shí)，由，得tantan()=tantan1tantan=122122 ()4p yyy yp，將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：2tan2pbpk，所以22tanpbpk，此時(shí)，直線ab的方程可表示為yk x22ta nppk即精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

24、- - - 第 9 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -2(2 )0tanpk xpy，所以直線ab恒過定點(diǎn)22 ,tanpp。所以由（1） （2）知，當(dāng)2時(shí)，直線ab恒過定點(diǎn)2 ,0p，當(dāng)2時(shí)直線ab恒過定點(diǎn)22 ,tanpp。點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。例 12 （2005 江蘇， 19）如圖，圓1o 與圓2o 的半徑都是1，124o o. 過動(dòng)點(diǎn)p分別作圓2o 、 圓2o的 切 線 p mp n，（ mn，分 別 為 切 點(diǎn) ）， 使 得2pmpn . 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程。解析：以12o o 的中點(diǎn) o

25、為原點(diǎn)，12o o 所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則1( 2 0)o， ，2(2 0)o，。由已知2pmpn ，得222pmpn 。因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以221212(1)popo。設(shè)()p x y，則2222(2)12(2)1xyxy，即22(6)33xy( 或221230 xyx) 。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力。題型 7：課標(biāo)創(chuàng)新題例 13已知實(shí)數(shù)x、y 滿足1) 1()2(22yx，求xyz1的最大值與最小值。解 析 ：xy1表 示 過 點(diǎn)a （ 0 ， 1 ） 和 圓1)1()2(22yx上的動(dòng)點(diǎn) （x，y）的直線的斜率。如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與

26、圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線方程為1kxy，即01ykx，則精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -11|22|2kk，解得374k。因此，374374minmaxzz，點(diǎn)評(píng)：直線知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用直線知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運(yùn)用。例

27、14設(shè)雙曲線xy1的兩支分別為cc12、，正三角形pqr 的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若p11，在c2上， q、r 在c1上，求頂點(diǎn)q、 r 的坐標(biāo)。分析：正三角形pqr 中，有pqprqr， 則以p11，為圓心，pr為半徑的圓與雙曲線交于r、q 兩點(diǎn)。根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)q、r 坐標(biāo)。解析：設(shè)以 p 為圓心，prr r ()0為半徑的圓的方程為：xyr11222，由xyrxy111222得：xrx221110。（ 其 中 ， 可 令txx1進(jìn)行換元解之）設(shè) q、r 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為xyxy1122，則xxrx x12212111。即xxxxx xr12212212224114，同理可得：yy

28、r122221 14，且 因 為 pqr是 正 三 角 形 ， 則，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -即rxxyyr2122122222114，得r224。代入方程xrx221110，即xx2410。由方程組xxxy24101，得：xy112323或xy222323，所以，所求q、r 的坐標(biāo)分別為23232323，點(diǎn)評(píng)：圓是最簡(jiǎn)單的

29、二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。五思維總結(jié)1關(guān)于直線對(duì)稱問題：（1）關(guān)于 l ：ax by c 0 對(duì)稱問題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于l 對(duì)稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l 對(duì)稱問題，因?yàn)閷?duì)稱是由平分與垂直兩部分組成，如求p（ x0，y0）關(guān)于 l ：ax by c 0 對(duì)稱點(diǎn) q（x1，y1） 有1010 xxyyba（ 1）與 a2210 xxb2210yyc 0。（2）解出 x1與 y1；若求 c1：曲線 f（x ，y） 0（包括直線）關(guān)于l ： ax byc10對(duì)稱的曲線c

30、2，由上面的 （1） 、 （ 2）中求出 x0g1（x1，y1）與 y0 g2（ x1，y1） ，然后代入c1：f g1（x1，y1） ，g2（x2，y2）0，就得到關(guān)于l 對(duì)稱的曲線c2方程： f g1（x ，y） ， g2（ x ，y）0。（3）若 l ：ax by c 0 中的 x ，y 項(xiàng)系數(shù) |a|1，|b |1就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線c1：y24 x 2 關(guān)于 l ：x y 40 對(duì)稱的曲線 l2的方程為： (x 4) 24（y 4） 2即 y 用 x 4 代， x 用 y 4 代，這樣就比較簡(jiǎn)單了。（4）解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對(duì)稱問題來解決。點(diǎn)

31、與圓位置關(guān)系：p（x0，y0）和圓 c ：(x a) 2 (y b) 2 r2。點(diǎn) p 在圓 c 外有 (x0a) 2(y0b) 2r2；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -點(diǎn) p 在圓上： (x0a) 2(y0b) 2r2；點(diǎn) p 在圓內(nèi)： (x0a) 2(y0b) 2r2。3直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ，y） 0圓 c ：

32、f2（x ，y） 0 消 y 得 f（x2）0。（1）直線與圓相交：f（x ，y） 0 中0；或圓心到直線距離d r 。直 線 與 圓 相 交 的 相 關(guān) 問 題 ： 弦 長(zhǎng) |ab| 21 k2|x1 x2| 21k2212214)(xxxx， 或|ab|222dr； 弦中點(diǎn)坐標(biāo) （221xx，221yy） ；弦中點(diǎn)軌跡方程。（2）直線與圓相切：f（x）0 中 0，或 d r 其相關(guān)問題是切線方程如p（x0，y0）是圓 x2y2r2上的點(diǎn)，過p 的切線方程為x0 x y0y r2，其二是圓外點(diǎn) p （x0， y0） 向圓到兩條切線的切線長(zhǎng)為22020)()(rbyax或22020ryx；其三

33、是 p（x0，y0）為圓 x2y2r2外一點(diǎn)引兩條切線，有兩個(gè)切點(diǎn)a ，b ，過 a ，b 的直線方程為x0 x y0y r2。（3）直線與圓相離：f（x） 0 中 0；或 d r ；主要是圓上的點(diǎn)到直線距離d的最大值與最小值，設(shè)q 為圓 c ：(x a) 2(y b) 2 r2上任一點(diǎn)， |pq|max|pc|r ；|pq|min|pq|r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值4 圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|o1o2|與兩半徑 r1， r2的和差關(guān)系判定（1）設(shè) o1圓心 o1，半徑 r1， o2圓心 o2，半徑 r2則：當(dāng) r1r2|o1o2|時(shí) o1與 o2外切；

34、當(dāng) |r1r2| |o1o2|時(shí)，兩圓相切；當(dāng)|r1 r2|o1o2|r1r2時(shí)兩圓相交；當(dāng)|r1r2|o1o2|時(shí)兩圓內(nèi)含；當(dāng)r1r2|o1o2|時(shí)兩圓外離。（2）設(shè) o1：x2 y2d1x e1y f10， o2：x2y2d2x e2y f20。兩圓相交a 、b 兩點(diǎn)， 其公共弦所在直線方程為（d1d2）x （e1e2）y f1f20；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 2

35、7 頁(yè) - - - - - - - - -經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2 d1x e1y f1 （x2 y2d2x e2y f2） 0（不包括 o2方程） 。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座13）直線、圓的方程一課標(biāo)要求：1直線與方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；（3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式） ，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；2圓與方程回顧確定圓的幾何要素，在平

36、面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。二命題走向直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，可與三角知識(shí)聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程。預(yù)測(cè) 2007 年對(duì)本講的考察是：（1）2 道選擇或填空，解答題多與其他知識(shí)聯(lián)合考察，本講對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會(huì)是一個(gè)出題方向；（2）熱點(diǎn)問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。三要點(diǎn)精講1傾斜角： 一條直線l 向上的方向與x 軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為,0。2斜率： 當(dāng)直線的傾斜角不是900時(shí)，則稱其正切值為該直線

37、的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時(shí)，直線的斜率不存在。過兩點(diǎn) p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=t an1212xxyy（若 x1x2，則直線 p1p2的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為900） 。4直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率傾斜角為90的直線不精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可

38、選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -b縱截距能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0) (x0，y0)直線上已知點(diǎn)， k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點(diǎn)式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式ax+by=1 a直線的橫截距b直線的縱截距過（ 0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式ax+by+c=0 ba，ac，bc分別為斜率、橫截距和縱截距a、b 不能同時(shí)為零直線的點(diǎn)斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的

39、直線；兩點(diǎn)式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線。5圓的方程圓心為),(bac，半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：)0()()(222rrbyax。特殊地，當(dāng)0ba時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：222ryx。圓 的 一 般 方 程022feydxyx， 圓 心 為 點(diǎn))2,2(ed， 半 徑2422fedr，其中0422fed。二元二次方程022feydxcybxyax，表示圓的方程的充要條件是：、2x項(xiàng)2y項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即0ca；、沒有xy 項(xiàng)，即b=0；、0422afed。四典例解析題型 1：直線的傾斜角例 1 （ 1995 全國(guó)， 5）

40、圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（）ak1k2k3 bk3k1k2ck3k2k1 dk1k3k2 答案： d 圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -解析：直線l1的傾斜角 1是鈍角，故k10，直線l2與 l3的傾斜角 2、3均為銳角，且 23，所以 k2k30，因此 k2k3k1，故應(yīng)選d。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查

41、直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力。例 2過點(diǎn) p（2，1）作直線l分別交 x 軸、 y 軸的正半軸于a、b 兩點(diǎn)，求papb2 |的值最小時(shí)直線l的方程。解析：依題意作圖，設(shè)bao，則papb12sincos，papb222442sincossincossin，當(dāng)sin21，即45時(shí)papb2 |的值最小，此時(shí)直線l的傾斜角為135，斜率kltan1351。故直線l的方程為yx1122，即xy30。點(diǎn)評(píng)：求直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，也是重要的題型。解這類題除用到有關(guān)概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。題型 2：斜率公式及應(yīng)用例 3 （1） （05 年江西高考）設(shè)實(shí)數(shù)x，y

42、 滿足xyxyy20240230，則yx的最大值是_。（2） （1997 全國(guó)文， 24）已知過原點(diǎn)o 的一條直線與函數(shù)y=log8x 的圖象交于a、b兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)a、b 作 y 軸的平行線與函數(shù)ylog2x 的圖象交于c、d 兩點(diǎn)。（1）證明點(diǎn)c、d 和原點(diǎn) o 在同一條直線上。（2）當(dāng) bc 平行于 x 軸時(shí)，求點(diǎn)a 的坐標(biāo)。解析： （1）如圖， 實(shí)數(shù) x，y 滿足的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分（包括邊界），而yxyx00表示點(diǎn)（ x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，則直線ao 的斜率最大，其中a 點(diǎn)坐標(biāo)為132，此時(shí)koa32，所以yx的最大值是32。y b p（2，1）o a x 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

43、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -點(diǎn)評(píng)：本題還可以設(shè)yxk，則ykx，斜率k 的最大值即為yx的最大值，但求解頗費(fèi)周折。（2） 證明：設(shè) a、 b 的橫坐標(biāo)分別為x1， x2， 由題設(shè)知x11，x21， 點(diǎn) a （x1， log8x1） ，b（x2， log8x2）. 因?yàn)?a、b 在過點(diǎn) o 的直線上，所以228118loglogxxxx，又點(diǎn) c、d

44、 的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1） ， （x2，log2x2）由于 log2x12loglog818x3log8x1，log2x22loglog828x3log8x2，所以 oc 的斜率和od 的斜率分別為228222118112log3log,log3logxxxxkxxxxkodoc。由此得 kockod，即 o、c、 d 在同一條直線上。由 bc 平行于 x 軸，有 log2x1log8x2，解得x2x13將其代入228118loglogxxxx，得 x13log8x13x1log8x1. 由于 x1 1， 知 log8x10， 故 x133x1， x13， 于是點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 （3

45、， log83）. 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問題的能力。例 4 （05 年全國(guó)高考）當(dāng)02x時(shí)，函數(shù)的最小值是（）a2 bc4 d4 3解析：原式化簡(jiǎn)為，則 y 看作點(diǎn) a（0， 5）與點(diǎn)bxxsincos232，的連線的斜率。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -

46、因?yàn)辄c(diǎn) b 的軌跡是xxyxxsincos23202即過 a 作直線ykx5，代入上式，由相切（0）可求出k4，由圖象知k 的最小值是4，故選 c。點(diǎn)評(píng)：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。題型 3：直線方程例 5已知直線的點(diǎn)斜式方程為yx1342，求該直線另外三種特殊形式的方程。解 析 ： （ 1） 將yx1342移 項(xiàng) 、 展 開 括 號(hào) 后 合 并 ， 即 得 斜 截 式 方 程。（2）因?yàn)辄c(diǎn)（ 2，1） 、 （0，52）均滿足方程yx1342，故它們?yōu)橹本€上的兩點(diǎn)。由兩點(diǎn)式方程得：yx1521202即yx13

47、222（3）由yx3452知：直線在y 軸上的截距b52又令y0，得x103故直線的截距式方程xy103521點(diǎn)評(píng)：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時(shí)，要根據(jù)問題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問題解得簡(jiǎn)捷、明了。例 6直線l經(jīng)過點(diǎn) p（-5，-4） ，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線l的方程。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

48、 - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -解析：設(shè)所求直線l的方程為，直線l過點(diǎn) p（-5，-4） ，541ab，即45abab。又由已知有125a b，即ab10，解方程組4510ababab，得：ab524或ab52故所求直線l的方程為：xy5241，或xy521。即85200 xy，或25100 xy點(diǎn)評(píng)：要求l的方程，須先求截距a、b 的值，而求截距的方法也有三種：（1）從點(diǎn)的坐標(biāo)a，0或0，b中直接觀察出來；（2）由斜截式或截距式方程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令x0得y軸上的截距b；令y0得出 x 軸上的截距 a。總之，

49、在求直線方程時(shí)，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時(shí)善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。題型 3：直線方程綜合問題例 5 （2003 北京春理， 12）在直角坐標(biāo)系xoy 中，已知 aob 三邊所在直線的方程分別為 x=0，y=0，2x+3y=30，則 aob 內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（）a95 b91 c88 d75 答案： b解析一：由y=1032x（0 x15，xn）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)1032x（0 x15，xn）所有整數(shù) y 的值 .然后再求其總數(shù).令 x=0，y 有 11 個(gè)整數(shù)， x=1，y 有 10 個(gè)，x=2 或 x=3 時(shí)

50、，y 分別有 9 個(gè)，x=4 時(shí)，y 有 8 個(gè)，x=5 或 6 時(shí)，y 分別有 7 個(gè)，類推：x=13時(shí) y 有 2 個(gè)，x=14 或 15 時(shí)， y 分別有 1 個(gè)，共 91 個(gè)整點(diǎn) .故選 b。解析二：將x=0，y=0 和 2x+3y=30 所圍成的三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形 .如圖所示。對(duì)角線上共有6 個(gè)整點(diǎn)，矩形中（包括邊界） 共有 163 11=176.圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

51、第 19 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -因此所求 aob 內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有26176=91（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識(shí)探索解題途徑。例 6 （2003 京春理， 22）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)p（1，0） ，且與定直線l：x=1 相切，點(diǎn) c 在 l 上。（）求動(dòng)圓圓心的軌跡m 的方程；（）設(shè)過點(diǎn)p，且斜率為3的直線與曲線m 相交于 a、b 兩點(diǎn)。（i）問： abc 能否為正三角形？若能，求點(diǎn)c 的坐標(biāo)；若不能，說明理由；（ii）當(dāng) abc 為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)c 的縱坐標(biāo)的取值范圍。（）解法一，依題意

52、，曲線m 是以點(diǎn) p 為焦點(diǎn)，直線l 為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線 m 的方程為y2=4x. 解法二：設(shè)m（x， y） ，依題意有 |mp|=|mn|，所以 |x+1|=22)1(yx?；?jiǎn)得： y2=4x。（） （i）由題意得，直線ab 的方程為y=3（ x1）. 由.4),1(32xyxy消 y 得 3x210 x+3=0，解得 x1=31，x2=3。所以 a 點(diǎn)坐標(biāo)為（332,31） ，b 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 23） ，|ab|=x1+x2+2=316。假設(shè)存在點(diǎn)c（ 1，y） ，使 abc 為正三角形，則|bc|=|ab|且|ac|=|ab|，即.)316()32()131(,)316()3

53、2()13(222222yy圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -由得42+（y+23）2=（34）2+（y332）2，解得 y=9314。但 y=9314不符合，所以由，組成的方程組無(wú)解。因此，直線l 上不存在點(diǎn)c，使得 abc 是正三角形。（ii） 解法一：設(shè) c （ 1， y） 使 abc 成鈍角三角形， 由.1),1(3xxy

54、得 y=23，即當(dāng)點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（ 1，23）時(shí)， a、b、c 三點(diǎn)共線，故y23。又|ac|2=（ 131）2+（ y332）2=334928y+y2，|bc|2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2，|ab|2=（316）2=9256。當(dāng) cab 為鈍角時(shí)， cosa=|2|222acabbcacab|ac|2+|ab|2，即9256334928342822yyyy，即 y392時(shí)， cab 為鈍角。當(dāng)|ac|2|bc|2+|ab|2，即9256342833492822yyyy，即 y|ac|2+|bc|2，即2234283349289256yyyy，即0)32( ,0343

55、3422yyy。該不等式無(wú)解，所以acb 不可能為鈍角。因 此 ， 當(dāng) abc為 鈍 角 三 角 形 時(shí) ， 點(diǎn)c的 縱 坐 標(biāo)y的 取 值 范 圍 是)32(9323310yyy或。解法二：以ab 為直徑的圓的方程為（x35）2+（y+332）2=（38）2。圓心（332,35）到直線l：x= 1的距離為38，所以，以ab 為直徑的圓與直線l 相切于點(diǎn) g（ 1，332） 。當(dāng)直線 l 上的 c 點(diǎn)與 g 重合時(shí)， acb 為直角，當(dāng)c 與 g 點(diǎn)不重合，且a、b、c三點(diǎn)不共線時(shí)，acb 為銳角，即abc 中， acb 不可能是鈍角。因此，要使 abc 為鈍角三角形，只可能是cab 或 cb

56、a 為鈍角。過點(diǎn) a 且與 ab 垂直的直線方程為)31(33332xy。令 x=1 得 y=932。過點(diǎn) b 且與 ab 垂直的直線方程為y+2333（x3） 。令 x=1 得 y=3310。又由.1),1(3xxy解得 y=23，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -所以，當(dāng)點(diǎn)c 的坐標(biāo)為（1，23）時(shí)， a、b、c 三點(diǎn)共線，不構(gòu)

57、成三角形。因此，當(dāng) abc 為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)c 的縱坐標(biāo)y 的取值范圍是y932（y23） 。點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型 4：圓的方程例 7 （ 1）已知 abc 的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是a（4，1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0） ，求 abc 外接圓的方程。分析：如果設(shè)圓的標(biāo)

58、準(zhǔn)方程222()()xaybr，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個(gè)獨(dú)立參數(shù)a，b，r，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到 abc 外接圓的圓心是abc 三邊垂直平分線的交點(diǎn)，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：設(shè)所求圓的方程是222()()xaybr因?yàn)?a（4，1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是222222222(4)(1),(6)( 3),( 3)(0).abrabrabr可解得21,3,25.abr所以 abc 的外接圓的方程是22(1)(3)25xy。解法二： 因?yàn)?abc 外接圓的圓心既在ab 的垂直平分線上，也在 bc

59、 的垂直平分線上，所以先求ab、bc 的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。31264abk，0( 3)1363bck，線段ab 的中點(diǎn)為（ 5， 1） ，線段bc 的中點(diǎn)為33(,)22，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁(yè)，共 27 頁(yè) - - - - - - - - -ab 的垂直平分線方程為11(5)2yx，bc 的垂直平分線方程333()22yx解由聯(lián)立的方程組可得

60、1,3.xy abc 外接圓的圓心為（1， 3） ，半徑22|(41)(13)5rae。故 abc 外接圓的方程是22(1)(3)25xy點(diǎn)評(píng)：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)。（2）求過 a（4，1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1 是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡(jiǎn)捷。解析：設(shè)圓的方程為220 xydxeyf因?yàn)槿c(diǎn)a（4， 1） ，b（6， 3） ，c（ 3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，將它們的坐