用均值不等式求最值的方法和技巧

1、用均值不等式求最值的方法和技巧、幾個(gè)重要的均值不等式a2b2 2ababab2 . ab aba3b3c3 3abc ：成立；abc 3即 abca號(hào)成立.abc2 ,2-一（a、b R），當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“二”號(hào)成立; 2a ba32（a、b R ），當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，“=”號(hào)成立;.33b c ( (a、33abc,(a、3b、c R ）,當(dāng)且僅當(dāng)a =b =c時(shí)“=”號(hào)R ），當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí)，“=”注： 注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：占 .,0b ¥b、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧、二二疋、2 .2a b。2三“等”;

2、1、求幾個(gè)正數(shù)和的最小值。12 （x2（x 1）例1、求函數(shù)y1）的最小值。解析:右（XT1)(X 1) 222(x 1)2號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是3 125。22(1)2 1(X 1)寧2(x 1)25，當(dāng)且僅當(dāng)2 2J 1(x 1)2(x 1)2(x 1)2(X 1)即 X 2 時(shí)，“=”評(píng)析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)和的最小值時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積 為常數(shù)。通常要通過(guò)添加常數(shù)、拆項(xiàng)（常常是拆底次的式子）等方式進(jìn)行構(gòu)造。2、求幾個(gè)正數(shù)積的最大值。例2、求下列函數(shù)的最大值:32x）（0 x ）2x2(3 y sin2 xcosx(0 x )2解析:X x (333,二 3 2x 0，2

3、型31，當(dāng)且僅當(dāng)x2x (32x)(0 x3xx(3 2x)2x 即 x 1 時(shí)，“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是 1。 Q 0 x ,二 sin x20,cos x 0，貝U y0,欲求y的最大值，可先求y2的最大值。.42.2.2212.22 .sin x cos x sin x sin x cosx (sin x sin x 2cosx)22 2 2,sin x sin x 2cos x 3422(),當(dāng)且僅當(dāng) sin x 2cosx (0 x )3272x arctan-.2時(shí)，不等式中的“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最大值是 紅3。9評(píng)析：利用均值不等式求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，

4、使其和為常數(shù)。通常要通過(guò)乘以或除以常數(shù)、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式進(jìn)行構(gòu)造。3、用均值不等式求最值等號(hào)不成立。4 (0 x 1)的最小值。x解法-：(單調(diào)性法)由函數(shù)f(x)axb(a、bX0)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)X(0,1時(shí),函數(shù)f (x)x 是減函數(shù)。x證明:任取:x-i, x2(0,1且 0x-iX21,則f (X1)f(X2)(X1 X2)(蘭纟)X1X2(X1X2)4(x X2)x1x24x-|x2x1x2 0x1X1X2 40,X21，x1 x2 0,x(x2則 f(X1)f (X2) 0f (X1)f (X2),即f (X)X 在(0,1上是減X函數(shù)。故當(dāng):z4X 1

5、時(shí)，f (x) X在(0,1上有最小值5。xx例 3、若 x、y R，求 f (x)解法二：(配方法)因0x1,則有f(x)予Vx 0且單調(diào)遞減，則f(x)f(x) x -在(0,1上是減函數(shù)，當(dāng)x解法三：(導(dǎo)數(shù)法)由f(x) x時(shí),x 1時(shí),4x -x (2xx)2f(x) x4 得 f (x)x(2x)2 4，易知當(dāng) 0 x 1'、x4在(0,1上也是減函數(shù)，即-在(0,1上有最小值x 弓，當(dāng) x x5。u4(0,1時(shí)，f (x) 1 - 0 ,x4則函數(shù)f(x) x 在(0,1上是減函數(shù)。故當(dāng)x1時(shí),f(x)4在(0,1上有最小x值5。2 x 14(0 x 1) (x 丄)-xx

6、 x時(shí)“=”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是 5。評(píng)析：求解此類問(wèn)題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法、 般性，配方法及拆分法也是較為簡(jiǎn)潔實(shí)用得方法。4、條件最值問(wèn)題。解法四：(拆分法)f(x) x5 ,當(dāng)且僅當(dāng)x 1導(dǎo)數(shù)法具有一例4、已知正數(shù)x、y滿足81x1，求x 2y的最小值。y解法一：(利用均值不等式)8 ix 2y ()(x 2y)x y10 - y2 x 16y18,當(dāng)且僅當(dāng)y x8xxy1 1y16yx即x 12, y 3時(shí)“二”號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是 解法二：(消元法)x y2xxx 816x 2y x2(x 8)(x8)1&16x 8108)£x 810 18。

7、當(dāng)且僅當(dāng)x 8即x 12,此時(shí)yx 8(三角換元法)2解法三：8_令x1y8sincosx則有2x2y sin2x cos2x8csc2 x3 時(shí)“=”8 2 sin x12cos x號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是 18o2 2 2 2 22 sec x 8(1 cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x 2tan x1018o2 (8cof x) (2tan2x) 18,易求得x 12,此時(shí)y 3時(shí)“二”號(hào)成立，故最小值是x 2y評(píng)析：此類問(wèn)題是學(xué)生求解易錯(cuò)得一類題目，解法一學(xué)生普遍有這樣一種錯(cuò)誤的求解方法:8。原因就是等號(hào)成立的條件8 1x 2y ()(x 2y)x y不一致。5、利

8、用均值不等式化歸為其它不等式求解的問(wèn)題。例5、已知正數(shù)x、y滿足xy x y 3,試求xy、x y的范圍。解法一 ：_由 x 0, y 0，則 xy x y 3 xy 3 x y 2兩，即 /xy)2 xy 3 0 解得xy1(舍)或二xy 3，當(dāng)且僅當(dāng)x y且xy x y 3即x y 3時(shí)取“=”號(hào)，故xy的取值范圍是9,)。又 x y 3 xy ()2(x y)2 4(x y) 12 0 x y2(舍)或x y 6，當(dāng)且僅當(dāng)x y且xy x y 3即x y 3時(shí)取“二”號(hào)，故x y的取值范圍是6,)解法二：由x0,y0，xyxy3(x1)yx3 知 x 1，則yx3，由 y0x30x 1，

9、則:x1x1xyxc2x 3 x3x(x1)25(x1) 4(x1) 52 (x 1) 5 9x 1x1x 1x 1Vx 1，當(dāng)且僅當(dāng)x 1(x 0)即x 3，并求得y 3時(shí)取“=”號(hào)，故xy的取值范圍是x 19,)。X y X 口 xX 上 1 (x 1)丄 2 2 (x 1) 42 6x 1x 1x1x1 Yx1，當(dāng)且僅當(dāng)x 1 (x 0)即 x 3，并求得y 3時(shí)取“=”號(hào)，故xy的取值范圍是 x 19,)。三、用均值不等式求最值的常見的技巧1、添、減項(xiàng)(配常數(shù)項(xiàng))2 16y 3x 2例1求函數(shù)2 x的最小值.2 16分析：3x k 是二項(xiàng)“和”的形式，但其“積”的形式不為定值1_而 k

10、可與x 163( x22)2 62 x22：3(x2 2) 216x26 8-3 6相約，即其積為定積 1,因此可以先添、減項(xiàng) 6,即y 3x2 6% 62 x，再用均值不等式.解：x2 2 0, y 3x2%當(dāng)且僅當(dāng)3(x22)162 x22時(shí)，等號(hào)成立.所以y的2 x最小值是8'36.評(píng)注 為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項(xiàng)是常用的一種變形技巧 為了保證式子的值不變，添項(xiàng)后一定要再減去同一項(xiàng)2、配系數(shù)(乘、除項(xiàng))例2已知x 0,y 0，且滿足3x 2y 12，求lg x lg y的最大值.分析lgx lgy lg（xy）, xy是二項(xiàng)“積”的形式，但不知其“和”的形式x y是否定值，

11、而已知是3x與2y的和為定值12，故應(yīng)先配系數(shù)，即將xy變形為3x 2y6，再用均值不等式.解:x 0, y 0lg xlg y lg( xy)3x 2y lglg21 3x 2y6 2lglg6當(dāng)且僅當(dāng)3x 2y，即x 2，y 3時(shí)，等號(hào)成立.所以gx gy的最大值是lg6. 評(píng)注 本題是已知和為定值，要求積的最大值，可逆用均值不等式，即利2, a bab用 2 來(lái)解決.3、裂項(xiàng)x 5 x 2y 例3已知x 1，求函數(shù)x 1的最小值.分析 在分子的各因式中分別湊出x 1，借助于裂項(xiàng)解決問(wèn)題.解：x 10,y(x 1)當(dāng)且僅當(dāng)4x 1，即x 1時(shí)，取等號(hào).所以ymin94、取倒數(shù)例4已知0 x

12、 2，求函數(shù)y(x 1)x(1 2x)的最小值.2x分析 分母是x與(1 2x)的積，可通過(guò)配系數(shù)，使它們的和為定值;也可通過(guò)配系數(shù)，使它們的和為(1 X)(這是解本題時(shí)真正需要的)于是通過(guò)取倒數(shù)即可解決問(wèn)題C10 x 得1解由2，x01 2x 0> 1x(12x)1 3x 1 2xy(1x)當(dāng)且僅當(dāng)2x (13 1 x 1 x3x122x1 1 x 1x13212取倒數(shù)，得3x 1 2x1 x 當(dāng)且僅當(dāng)1 x 1 x，即5時(shí)，取等號(hào).故y的最小值是12.5、平方22 x2y8例5已知x 0,y 0且 7 求x；6 2y2的最大值.分析 條件式中的x與y都是平方式，而所求式中的x是一次式

13、，y是 平方式但帶根號(hào)初看似乎無(wú)從下手，但若把所求式 x 6 2平方，則解 題思路豁然開朗，即可利用均值不等式來(lái)解決 .(62X23 2x2(1 T)1X3.422時(shí)，等號(hào)成立.故X、藥的最大值是2“評(píng)注本題也可將X納入根號(hào)內(nèi)，即將所求式化為X-.6 2/，先配系數(shù)，再運(yùn)用均值不等式的變式.6、換元（整體思想）Jx 2y 例6求函數(shù) 2x 5的最大值.分析可先令X2 t，進(jìn)行換元，再使分子常數(shù)化，然后運(yùn)用均值1不等式來(lái)解決.解：令,x 2 t,t y ! (t2t2 1當(dāng)t 0時(shí),y0,x t22,則0)當(dāng)t 0時(shí),y0；12t - ti 2L142. 2t t-時(shí)，取等號(hào)2-忑4 *1 9

14、i(x例7已知x y0，¥,則x y的最小值是（分析直接利用均值不等式,只能求xy的最小值，而無(wú)法求x y的最小值這時(shí)可逆用條件，即由- x y (x y)(-)x y，得x y，然后展開即可解決問(wèn)題.當(dāng)且僅當(dāng)2t=，即tt所以x-時(shí)，取最大值為 .27、逆用條件1解：由 x 0, y 0,-x9yyx1,得9xy1019X y (x y)()x y當(dāng)且僅當(dāng)y 空，即xx y故x y的最小值是 16.4, y 12時(shí)，等號(hào)成立丄 9評(píng)注若已知x °,y 0, x y 1 (或其他定值)，要求x y的最大值,則同樣可運(yùn)用此法& 巧組合例8若a，b,c 0且a(a b

15、c) be 4 2巧,求2a b c的最小值.分析 初看，這是一個(gè)三元式的最值問(wèn)題，無(wú)法利用a b 2一鬲+b來(lái)解決換個(gè)思路，可考慮將 2a b c重新組合，變成(a b) (a c)，而 (a b)(a c)等于定值4 2七，于是就可以利用均值不等式了 解：由 a,b,c 0,知2a b c (a b) (a c)2 . (a b)(ac) 2 . a2 ab acbc2 ； 4 2.32.3 2,當(dāng)且僅當(dāng)bc,即 b c 31a時(shí)，等號(hào)成立.故2a b c的最小值為2 3 2.9、消兀2y_例9、設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù)，x 2y 3z 0，則xz的最小值是.c2x3zyy 分析 本題也是三元式的最值問(wèn)題由題意得2 ，則可對(duì)xz進(jìn)行消元，用x,z表示，即變?yōu)槎?/p>