遞推型數(shù)列類型與求通項公式方法(已打)

1、文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .常用遞推數(shù)列類型與求通項公式方法摘要：本文力圖對常見的高考遞推數(shù)列類型的概括及求通項公式方法的研究，揭示這一內(nèi)容的數(shù)學規(guī)律與本質(zhì)，以便幫助讀者更好地輔導學生參加高考遞推公式是指數(shù)列的任意連續(xù)若干項所滿足的一個確定關(guān)系式（比較常見的通常是給出數(shù)列中的相鄰兩項間的關(guān)系），由遞推公式和相應的前若干項可以確定一個數(shù)列；利用遞推公式法給出數(shù)列稱為遞推數(shù)列在遞推背景下，首先是如何突破這個遞推的條件，其中（大多數(shù)）的方法就是求出數(shù)列的通項公式，然后用這個通項公式解決后面的綜合問題；（少數(shù)）另一種重要方法就是不求出、或本身就是很難求出通項公

2、式，借助數(shù)列解題特有的方法來解決問題在2008 年全國19 份理科試卷中，凡是數(shù)列綜合題都含有遞推公式，其中有16 份需要用求出通項公式的工具解題；在2009 年高考19 份理科卷中，有 5 份卷出現(xiàn)遞推型數(shù)列綜合題，在年高考19 份理科卷中，也有份卷出現(xiàn)遞推型數(shù)列綜合題，這些試題都需要求出通項公式來解決后面的問題因此在高考中，遞推數(shù)列題目屢見不鮮，其中，需要求出遞推數(shù)列的通項是近年高考的熱點解決此類問題必須根據(jù)遞推公式的結(jié)構(gòu)特征，運用一些獨特的方法，變換原來的遞推公式，以便得到等差型、等比型、累加型、累乘型等模式比較明確的新遞推公式，然后，利用基本數(shù)列知識去求數(shù)列的通項公式然而，不少讀者對變

3、換數(shù)列的遞推公式的方法知之甚少，從而導致了在處理此類問題時吃“閉門羹”；文對這樣的遞推數(shù)列用例題形式給出了九種模型，值得初學者一讀，但內(nèi)容粗淺，缺少從思想高度上去總結(jié)，從方法分類上去概括，類型也無法覆蓋高考的要求；文只對含有遞推公式相關(guān)的數(shù)列的問題有一點簡單的涉及；為此，本文在上述基礎(chǔ)上，把老師們平時零散在做的，就一些常見的、高考密切相關(guān)的遞推公式變換的常用手段進行整理與研究,系統(tǒng)概括，希望對讀者有所幫助一、求遞推公式形如an 1Aa nBt nCnD 的數(shù)列的通項公式這里結(jié)合具體的例子來說明遞推公式形如an 1Aa nBt nCnD (其中 A 、 B 、 C 、 D ， t 為已知的常數(shù)且

4、A0 、，且 t1 ， nN ) 的數(shù)列 an 的通項公式的求法這些遞推數(shù)列的通項公式的推求在文3 、 里都有一些零散的研究，所提的方法多樣，這里希望通過對上述方法的歸納、集中，形成單一的、便于學生輕松掌握和簡易運用的所謂“主要方法”和“次要方法” ，采用的“主要方法”是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化變形為新的“等比”數(shù)列后求通項的方法，這里的轉(zhuǎn)變側(cè)重在用待定系數(shù)法，對遞推公式進行“改造”；采用的“次要方法”是利用等式“ an(anan 1 )(an 1an 2 )(an 2an 3 )( a2a1 )a1 ”即有些參考書所稱呼的“逐差法” 或“累加法”來求本文不考慮特殊的情形，如 A 1， A t 等情況；

5、請讀者閱讀本文后思考筆者為什么要用“主要方法”和“次要方法”來命名類型 1 遞推關(guān)系形如 an 1AanD （ A0 、1， D0 ）的遞推數(shù)列例 1 已知數(shù)列 an 滿足： a12 ， an 13an2 （ nN ），求數(shù)列 an 的通項公式主要解法：因為a12 ， an 13an2 （ nN ），將遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃螢閍n 113(an1) ，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列 an1 ，其首項為 a11213 ，公比為 q3，所以有 an13 3n 13n ，從而有an3n1這樣的數(shù)列有時無法直接觀察轉(zhuǎn)化出an 113( an1) 的形式，那么通?？梢栽O(shè)變形后的形式為an 1x3(anx)

6、 ，展開得 an 13an2x ，由待定系數(shù)法知2x2 ，所以得 x1一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1Aa nD （ A0 、 1， D0 ）的遞推數(shù)列，兩邊同加上一個x ，得an 1xA(anDx ) ，令 D x x ，得 xD，即遞推關(guān)系變?yōu)閍n 1DA(anD) 這樣的等比數(shù)AAA1A1A1列1文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .次要解法：由 an 13an2，可以得到an1an2，即 an 1an2遞推式子，由此想到等式3n 13n3n 13n 13n3n 1ananan 1)(an 1an 2(an 2an 3a2a1a13n(nn 1n 13n

7、2 )n2n3 )(21)1，那么就有33333333an222)2a1= 113n13n(n) ( n 1 ) (n 2(2 )13n ，即 an33333一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1AanD （A0、 ，D0）的遞推數(shù)列，可以變化為an 1anD，1An 1AnAn1即an1anD型An1AnAn 1另解：由 an13an2 ，得到an3an123(3an22)232 an 22(3 1)33 an32(3231)3n1 a12(3n23n 3311)23n1(3n11) ，即 an3n1 一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1AanD （ A0、1， D0）的遞推數(shù)列，也可以由歸納法歸納而

8、得anAn 1 a1D ( An 2An 3A11) 思考題：（年上海理科卷題）已知數(shù)列 a的前 n 項和為 s，且 snn 5an85 ，（nN）nn（ I ）證明： an1 是等比數(shù)列； （ II ）求數(shù)列 sn 的通項公式，并求出n 為何值時， sn 取得最小值？并說明理由答案：（ I ） an1 是以為首項，5 為公比的等比數(shù)列； （ II） sn n9075 ( 5 )n1 ，當 n15 時 sn 取得66最小值類型 2遞推關(guān)系形如an 1AanCnD（、 ，）的數(shù)列A01C 0例 2已知數(shù)列 an 滿足： a14， an 15an16n （ nN），求數(shù)列 an 的通項公式主要解法

9、：因為a14 ， an15an16n （ nN ），將遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃螢閍n 14(n1)15(an4n1) ，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列 an4n1 ，其首項為 a14 1 1 1、公比為q5，所以有 an4n11 5n1 ，從而有 an5n 14n1這樣的數(shù)列有時無法直接觀察轉(zhuǎn)化出an 14(n1)15(an4n 1) 的形式，那么，通?？梢栽O(shè)變形后的形式為an 1x(n1)y5(anxny) ，展開得 an 15an4xn4yx ，由待定系數(shù)法得4x16， 4 yx0 所以x 4 ， y 1再將 x4 ， y1代入 an 1x(n1)y5( anxny) 就可以得到最終的變式：2

10、文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .an 14(n1)15(an4n1) 一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1 Aa n CnD （ A 0、1，C0 ）的數(shù)列，我們可以變化為an 1x(n1)yA(anxny) ，退回來就是 an 1Aan( A1) xn ( A1) yx ，這樣 xc、A1ycD(A 1)2A1次要解法：由于 an 1a16n ，得到 an 1an16n1)n 1，即 an 1an161n，由此想到等式5 n5n 15n(5n 15nn ()555ananan 1)an 1an 2)a5n(n5n 1(n 15n 2(555n 2an 3)

11、a2a1a1n 25n 3(251 )51，那么就有5an161n 1(n 2) (1n 2(n1)n 311a111n(4n 1) （這里的中刮號內(nèi)求5n5( n 1) ( )3) (1 ()1=()5555555和要用到錯位相減法） ，從而有 an5n 14n1一般地，對于遞推關(guān)系形如 an1AanCnD（A0 1C0）的數(shù)列，我們可以變化為an 1anCn D、 ，An 1AnAn 1這樣的逐差形式思考題：知數(shù)列 an 滿足：a14， a2an2n 27n1（n N），求數(shù)列 an 的通項公式(答案：n 1an2n 12n23n 1)類型 3遞推關(guān)系形如 an1Aa nBt nD （ A

12、0 、， B 0 ）的數(shù)列例 3 已知數(shù)列 an 滿足： a116 ， an14an3 2n1 （ nN），求數(shù)列 an 的通項公式主要解法：因為a116 ， an 14an3 2n1 （ nN），將遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃螢閍n 132n 14( an3 2n ) ，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列 an3 2n ，其首項為 a13 2110 ，公比 q4 ，所以有 an32n104n 1 ，從而有 a5 22 n 132n n這樣的數(shù)列有時無法直接觀察轉(zhuǎn)化出an 1 32n 14(an3 2n ) 的形式，那么通?？梢栽O(shè)變形后的形式為an 1x2n 1y4(an x2ny) ，展開得 an 14

13、anx2n 13y ，由待定系數(shù)法知x 3 ， y 0 ，再將 x 3， y0 代入 an 1x2n 1y 4(anx2ny) 就可以得到最終的變式an 13 2n 14( an3 2n ) 一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1Aa nBt nD （ A0、， B 0 ）的數(shù)列，可以考慮把遞推關(guān)系改造為3文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯 .歡迎下載支持 .an 1xt n 1yA(an xt ny) ，后面就可以用待定系數(shù)法來處理了次要解法：由 an 14an32n 1，可以變?yōu)閍n 1an31n 1，即an 1an31n 1，后面可以利用等4n 14 n( )4n 14 n(

14、)22式“ an(anan1 )( an 1an2 )(an 2an3 )(a2a1 ) a1 ”來求一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1Aa nBt nD （ A0、， B0 ）的數(shù)列，可以考慮把遞推關(guān)系改造為an 1anB ( t )nD這樣的逐差形式了An 1AnA AAn 1思考題：（年全國課標卷理科題）設(shè)數(shù)列 an 滿足 a12 ， an 1an322n1 （ I ）求數(shù)列 an 的通項公式；（ II）令 bnna n ，求數(shù)列 bn 的前 n 項的和 sn 答案：（ I ） an22n 1 ；（ II ） sn1( 3n1)22 n 12 9類型 4遞推關(guān)系形如 an 1Aa n Bt

15、 nCnD （ A0、， B 0，C0 ）的數(shù)列例 4已知數(shù)列 an 滿足： a11 ， an12an75n3n8 求數(shù)列 an 的通項公式主要解法：本題的條件是前面幾個問題的混合，也比較復雜，很難直接觀察變形為新的等比數(shù)列的形式可根據(jù)前面的類型的結(jié)論使用待定系數(shù)法設(shè)變形后的公式為 an 1xy( n1)z5n12(anxynz5n ) ，展開整理得an 12an 3xy3yn7 z 5n ，由待定系數(shù)法知3xy8 ，3 y3 ，7z7，所以有 x3 ， y 1 ，z 1這樣，就可以得到最終的變式an 13(n1)5n 12( an3n5n )，轉(zhuǎn)化為 an 3 n5n 這樣一個新的等比數(shù)列，

16、其首項為a131512 、公比 q2 ，從而有 an3n5n2 (2)n 1 ，即an 3 n5n(2) n 一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1Aa nBt nCnD （ A0、， B0 ， C0 ）的數(shù)列，可以考慮把遞推關(guān)系改造為an 1x y(n1)z tn 1(x yn z tn ) ，后面就可以用待定系數(shù)法來處理了A an次要解法：由an 12an7 5n38 可以得到an1an75)n3n4 (1n ，即n( 2) n 1( 2)n(2 ( 2) n)222an 1an75n3n1n后與前面幾個例題的“次要方法”一樣，可以利用等式( 2) n 1( 2) n()2 ( 2) n4 ()

17、222“ an(anan1 )(an 1an2 )(an 2an3 )( a2a1 )a1 ”來求，但運算量大，還要利用“錯位相減法”來求里面的部分和一般地，對于遞推關(guān)系形如an 1Aa nBt nCnD （ A0、， B0 ， C0 ）的數(shù)列，可以考慮把遞推4文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word版本可編輯 .歡迎下載支持 .關(guān)系改造為 an 1anB ( t ) nCnD這樣的逐差形式An 1AnA AAn 1An 1思考題：（年重慶理科卷題） 在數(shù)列 an中，a11，an1cancn1(2n（nN），其中實數(shù) c01)（ I ）求 an 的通項公式； （ II ）若對于一切kN ，有

18、a2 ka2k1 ，求 c 的取值范圍答案：（ I ） an 的通項公式 an(n21)cnc n1 ；（ II ） c 的取值范圍是 (, 113 )1,)6小結(jié)：上面四種類型（ A1且 At ， nN ）所謂“主要方法”可歸納如下，不要求讀者記住，但要求讀者能理解 an1AanD（A 0， D0 ）可以變形為 an 1D1A(anD1) ；AA an1AanCnD （ A0， C0 ）可以變形為an 1C (n 1)C (A 1)DA anCnC (A 1)D；A 1(A 1)2A 1(A 1)2 an1AanBt nD （ A0 ，B0 ，t1 ）可以變形為 an1Bt n1DA(anB

19、t nD) ；AtA 1AtA1 an1AanBt nCnD（A 0， B0， C0， t1）可以變形為an 1Bt n 1C ( n 1)C (A 1)DA anBt nCnC (A 1)DA tA 1(A 1)2A tA 1(A 1)2二、倒數(shù)變換法例 5已知數(shù)列 an 滿足： a14an（ nN），求數(shù)列 an 的通項公式1 ， an 12an解：由 an 14an（ nN）得：1an2111，把1看成項，anan 14an2 an4an2則數(shù)列 1 就是一類中型1 數(shù)列，所以，有111(11) 的變式，可求得11(1) n ，即anan 12 2 an2a n222 nann1 12評

20、注：對于遞推公式形如an1pan（其中 p ， q ， r 是非零常數(shù)）的數(shù)列通項公式的求法，通?？梢钥紤]將其qa n r兩邊取倒式，得到1r1q ，再將問題轉(zhuǎn)化為一類中型1 數(shù)列的形式，從而求解an 1panp5文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .三、對數(shù)變換法例 6 已知數(shù)列 an 各項都是正數(shù)，且滿足：a12 ， an 12an2 （ n N）求數(shù)列 an 的通項公式 an解：由 an 12an2 ，（ nN）得， lg an 1lg 22 lg an ，把 lg an 看成項，則數(shù)列 lg an 就是一類中型1 數(shù)列，所以有 lg an 1lg 2 2

21、(lg anlg 2) ，因此，有 lg anlg 22n 1 (lg a1lg 2)2n lg 2 ，即 an2(2n1) 評注：對于遞推公式形如an 1panm （其中 p0 且 a10 ）或 an 1anf (n) （其中 f (n)0 且 a10 ）的數(shù)列通項公式的求法，通?？梢钥紤]將其兩邊取對數(shù)式，得到lg an 1lg pm lg an 或 lg an 1lg anlg f (n) ，則數(shù)列l(wèi)g an 符合一類中各型數(shù)列的形式，從而求解四、累加法所謂累加法就是利用重要的數(shù)列恒等式“ an(anan1 )(an 1an 2 )( an 2an 3 )(a2a1 ) a1 ”來求數(shù)列通

22、項公式的方法；也就是：如果已知數(shù)列 an 的遞推公式形如（或可以轉(zhuǎn)化為）： an1anf (n) ，且f (1) f (2) f (3)f (n) 是可求的，此時，將n 1,2,3, n 依次代入關(guān)系式中得到n1 個等式，然后把這n 1個式子相加，整理求得通項公式在一類各型例題中的所謂“次要方法”就是這樣的做法例 7 已知數(shù)列 an 滿足： a1 2 ， (n 1)an 1 ann （ n N），求數(shù)列 an 的通項公式 an 解：由 (n 1) an 1 an n 得， (n 1)!an 1 n!ann n! n! an(n 1)! n!，即 ( n 1)! an 1 n!an(n 1)!

23、n! ，從而，n! an n! an(n1)! an 1 ( n1)! an 1(n2)! an 2 ( 2! a21!a1 )1! a1n! (n1)! ( n 1)!(n2)! (2! 1! )1! 2n!1，即 an11n!五、累積法所謂累加法就是利用重要的數(shù)列恒等式“ ananan 1 an 2a2 a1 ”來求數(shù)列通項公式的方法；也就是：an 1 an 2 an 3a1如果已知數(shù)列 an 的遞推公式形如（或可以轉(zhuǎn)化為）： an1f (n) ，且 f(1)f (2)f (n1)是可求的，此時，將ann 1,2,3, n 依次代入關(guān)系式中得到n1個等式，然后把這n 1個式子相乘，整理求得

24、通項公式例 8 數(shù)列 an 滿足： a12 ， ann 1N），求數(shù)列 an 的通項公式 an 1an （ nn解：由已知得 an 1n1 ，所以， ananan 1an 2a2 a1n n12a1 2n ，即 an 2nannan 1 an 2 an 3a1n 1 n 21就是所求6文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .六、求遞推公式形如an2pan 1qan （其中 p ， q 是不為零的兩個常數(shù)）的數(shù)列的通項公式例 9已知數(shù)列 an 滿足： a1a ，a2b ，且 an 2pan 1qan （ nN），（其中 p ， q 是不為零的兩個常數(shù)） ，求 an

25、 解：一般地，設(shè) an2x1an1x2 ( an 1x1 an ) 即 an2(x1x2 )an 1x1 x2 an ，結(jié)合 an 2pa n 1 qa n ，所以有x1x2p由此可知 x1、 x2 是二次方程 x 2pxq0的兩個非零根，這兩個根有可能是不等實根、重實根、甚至共x1 x2q軛虛根， 如果是共軛虛根下面的運算就按復數(shù)的運算法則進行（我們常把 x2px q 0 叫做特征方程， 其實就是遞推式 an 2pan1qan 中 an2 、 an1 、 an 分別換成 x 2 、 x 、 1而即可）若 x1x2 時，則由 an 2x1 an 1x2 (an1x1an ) 可得數(shù)列 an 1

26、x1 an 是等比數(shù)列， 首項是 a2 x1a1 ，公比是 x2 ，求得 an 1x1anx2n 1 (a2x1a1 ) ；(1)又對稱性得 an2x2 an1x1 (an1x2 an ) ，可得數(shù)列 an 1x2 an 是等比數(shù)列，首項是 a2x2 a1 ，公比是 x1 ，求得 an 1x2 anx1n 1 ( a2 x2a1 ) ；( 2)聯(lián)合（ 1）（ 2）兩個方程，消去an1 就可得 anx2n 1 (bx1 a)x1n 1 (bx2 a) ，x2x1若 x1x2p 時，此時有 p 24q0 ，則只得一式an1x1anx1n 1 (a2x1a1 ) ，此式可化為2an 1an1(ban

27、 是等差數(shù)列，公差為1a，求得n 1n2x1a) （常數(shù)），說明數(shù)列 n2 (bx1a) ，首項為x1x1x1x1x1x1anan1(bx1a) ，化簡得 an(2n1(nn 2nx12n) ax11)bx1x1x1特別地，當 pq1 時，可以得 an 2pa n 1an 1pan ，數(shù)列 an 1pa n 是常數(shù)列，可求得an 1pa na2pa1bpa ，此時求 an 就轉(zhuǎn)化為一類中型1 數(shù)列的形式思考題：（ I ）已知 a11 ， a22 ， an 23an 12an （ nN），求通項 an ；（ II ）已知 a11 ， a22 ， an24an 14an （ nN ），求通項 an

28、 ；（ III ）已知 a11 ， a23， an23an 12an （ nN ），求通項 an 答案：（ I ） an2n 1 ；（ II ） an2 n1 ；（ III） an1 ( n1)2n47文檔來源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理 .word 版本可編輯 .歡迎下載支持 .七、求遞推公式形如an 1a anb （其中 a ，b ， c 是不為零的三個常數(shù)）的數(shù)c and列的通項公式已知數(shù)列 an 滿足： a1 a ， an 1a anb （其中 a ， b ， c 是不為零的三個常數(shù)） ；這樣的數(shù)列常用“平移替換”cand來進行“常數(shù)消去法”和“不動點法”；“不動點法”又稱為“特征根法” ，介

29、紹起來就篇幅長，也是超出大綱的要求，文5 對此有詳細的介紹，本文根據(jù)學生實際只就“常數(shù)消去法”進行介紹設(shè)平移替換 anbnx ，則有 bn 1a(bnx)b(a cx)bnb(ad ) xcx 2 ，令xx)，即 bn 1cbncx dc(bndb (ad ) x cx20 ，這個方程有兩個根，這兩個根有可能是不等實根、重實根、甚至共軛虛根，設(shè)x0 是它的一個根，則就有 bn 1(a cx0 )bn1d cx01c，再令 cn1cbncx0d再對上面的方程兩邊取倒數(shù)，得a cx0bna cx0，bn 1bndcx0， Bc，則有 cn 1Acn B ，就符合一類中型1 數(shù)列的形式，可以求得cn

30、 通項公式，進而可求得Acx0Acx0abn ， an 的通項公式例：（年大綱理科全國卷I 的題）已知數(shù)列 an 中， a11 ， an1c1 （ I ）設(shè) c5 ，an2bn1，求數(shù)列bn 的通項公式；（ II ）求使不等式 anan 13 成立的 c 的取值范圍2an簡解：（ I ）因為 an51an212an42 ，即 bn 1 4bn2 ；再變換122，變換得an 1 2 an 2 an2 an2an2得 bn 124(bn2 ) ，又 a11 ，故 b111 ，數(shù)列 bn2 是首項為1，公比為的等比數(shù)列；這樣可以33a1233求得 bn214n1 ，即 bn 的通項公式為 bn4n 123333（ II ）過程略， c 的取值范圍是 (2,10 3思考題：（年壓軸題）數(shù)列 an 中， a12且 an1an2，求 an