北京市西城區(qū)2016年中考復(fù)習(xí)《相似》《解直角三角形》建議講義及練習(xí)

1、.北京市西城區(qū)重點(diǎn)示范中學(xué)2016年3月九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)相似、解直角三角形復(fù)習(xí)建議及練習(xí)一、2016年北京考試說明（一）圖形的性質(zhì) 1. 相似三角形：A. 了解相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理；B. 能利用相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題。2. 銳角三角函數(shù)及解直角三角形A. 理解銳角三角函數(shù) (sinA，cosAtanA)的概念；知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，理解（2015年是“了解”）解直角三角形的概念；B. 能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解直角三角形，能利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些（2015年是“某些”）簡(jiǎn)單的實(shí)際問題； C運(yùn)用

2、直角三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題。（二）圖形的變化 3. 圖形的相似：A. 了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；了解黃金分割；認(rèn)識(shí)圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮??；B. 掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（2015年新增）；會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。（三）圖形與坐標(biāo) 4. 坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng)：A. 在平面直角坐標(biāo)系中，知道已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形經(jīng)過位似（位似中心為原點(diǎn)）后的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系；了解將多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)（有一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，有一條邊在橫坐標(biāo)軸上）分別擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的圖形與

3、原圖形位似；B. 在平面直角坐標(biāo)系中，能寫出已知頂點(diǎn)的多邊形經(jīng)過位似（位似中心為原點(diǎn)）后的圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)；C. 運(yùn)用坐標(biāo)與圖形運(yùn)動(dòng)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題。 二、復(fù)習(xí)建議1按照考試說明的要求進(jìn)行全面復(fù)習(xí)，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)復(fù)習(xí)、知識(shí)系統(tǒng)復(fù)習(xí)全面、非重點(diǎn)的A級(jí)知識(shí)點(diǎn)適當(dāng)安排、不漏過、不隨意拔高難度；2B級(jí)的知識(shí)要落實(shí)到位；C級(jí)知識(shí)要達(dá)到靈活運(yùn)用；3注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；4教會(huì)學(xué)生觀察復(fù)雜的幾何圖形，善于分解出基本圖形，熟練的應(yīng)用幾何中定義、定理、公式來解題； 5. 逆向思維是尋求幾何證明思路的有效途徑之一；6. 去模式化，重知識(shí)，重思想；7. 重視學(xué)生思路的收集，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，

4、給予有效的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。8. 課時(shí)安排：相似 約2課時(shí)解直角三角形 約2課時(shí)三、具體內(nèi)容相似三角形的性質(zhì)與判定落實(shí)一： 能利用相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理解決有關(guān)簡(jiǎn)單問題落實(shí)二： 掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例落實(shí)三： 會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題落實(shí)四： 能利用位似變換將一個(gè)圖形放大或縮小，并能寫出以位似中心為原點(diǎn)的位似變化前后點(diǎn)的坐標(biāo)變化例1. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則的值是_.CABDEF例2. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)（DE>CE），連接AE，并過點(diǎn)E作AE的垂線交BC于點(diǎn)F,若A

5、B=9,BF=7,求DE長(zhǎng).例3. 如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，則旗桿的高度為 米例4. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）作如下操作：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將ABO順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到AB1O1；以點(diǎn)O為位似中心，將ABO放大，得到A2B2O，使相似比為12，且點(diǎn)A2在第三象限（1）在圖中畫出AB1O1和A2B2O；（2）請(qǐng)直

6、接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)：_ 例5. （ZFX / P70例4）已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12,點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C、D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD、AE、BC于點(diǎn)F、H、G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.（1）設(shè)DE=m(0m12)，試用含m的代數(shù)式表示的值；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng). 例6. 含30°角的直角三角板ABC中，A=30°.將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0o90o），得到Rt，邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE交邊于點(diǎn)E，連接BE. 求證：CBE=30°.練習(xí)：1. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD

7、上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，SDEF：SABF=4：25，則DE：EC= 2. 如圖，點(diǎn)A，B，C，D為O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長(zhǎng)為 3. 某校要舉辦國(guó)慶聯(lián)歡會(huì)，主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體如圖，若舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為20m，C為AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)（AC<BC），則AC的長(zhǎng)為_.（結(jié)果精確到0.1m）4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 5. （ZFX / P69例2）已

8、知：如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD與點(diǎn)P，Q. （1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值. 6.（ZFX / P69例3）已知：如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3cm,BC=7cm,B=60°,P為下底BC上一點(diǎn)（不與B、C重合）. 連接AP，過P點(diǎn)作PE交DC于E，使得APE=B (1) 你認(rèn)為圖中哪兩個(gè)三角形相似，為什么？(2) 當(dāng)點(diǎn)P在底邊BC上自點(diǎn)B向C移動(dòng)過程中，是否存在一點(diǎn)P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 7. 在矩形AB

9、CD中，DC=2，CFBD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF（1）求證：DECFDC；（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sinFBD的值及BC的長(zhǎng)度 8. 如圖，在RtABC中，C=90°，翻折C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）（1）若CEF與ABC相似當(dāng)AC=BC=2時(shí)，AD的長(zhǎng)為 ；當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為 ；（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，CEF與ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）請(qǐng)畫出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的A1B1C1（2）將A1B1C

10、1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2，B2，C2，請(qǐng)畫出A2B2C2（3）求A1B1C1與A2B2C2的面積比，即：= （不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）相似的綜合應(yīng)用1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖像過點(diǎn)（1） 求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）co過點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)2. 在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處（如圖1）圖1 圖2（1）如圖2，設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接,OP、OA已知OCP與PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（不與點(diǎn)P、A重合），動(dòng)

11、點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連接MN、 PB，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MEBP于點(diǎn)E在圖1中畫出圖形；在OCP與PDA的面積比為1：4不變的情況下，試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)你說明理由3. 如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)t=秒時(shí)，則OP=      ，SABP=       

12、0;    ；（2）當(dāng)ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過點(diǎn)A作AQBP，并使得QOP=B，求證：AQ·BP=3.為了證明AQ·BP=3，小華同學(xué)嘗試過O點(diǎn)作OEAP交BP于點(diǎn)E。試?yán)眯∪A同學(xué)給我們的啟發(fā)補(bǔ)全圖形并證明AQ·BP=3備用圖圖2圖14. 已知：如圖，為O的直徑，為AB上一點(diǎn)，過作弦，在CB上取一點(diǎn)，分別作直線，交直線于點(diǎn)，分別連結(jié)OE，CO，CM.(1)若G為OA的中點(diǎn).COA= ° ，F(xiàn)DM= °；.(2)如圖，若為半徑上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)O、B重合)，過作弦，

13、點(diǎn)在EB上，仍作直線，分別交直線于點(diǎn)，分別連結(jié)OE，CO，CM.依題意補(bǔ)全圖形； 此時(shí)仍有FD·OM=DM·CO成立.請(qǐng)寫出證明FD·OM=DM·CO的思路.（不寫出證明過程）5已知：ABC，DEF都是等邊三角形，M是BC與EF的中點(diǎn)，連接AD，BE.（1）如圖1，當(dāng)EF與BC在同一條直線上時(shí)，直接寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）ABC固定不動(dòng)，將圖1中的DEF繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）角，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由； 圖2備用圖圖1 解直角三角形落實(shí)一：銳角三角函數(shù)的定義例1：（1）. 在Rt

14、ABC中，那么的值為_.（2）在Rt中，C=90°，BC=1，那么AB的長(zhǎng)為_.（3）在ABC中，C=90°，cosA=，求sinA 、tanA的值.（4）如圖，AB是O的直徑，C、D是圓上的兩點(diǎn).若BC=8， 則AB的長(zhǎng)為( ). A B C D12（5）已知：如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形的頂點(diǎn)上，求tanADC的值.（6）（ZFX P74例(5)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)是（3，m），且OP與x軸正半軸的夾角的正切值是，則sin的值為_.落實(shí)二：特殊角的三角函數(shù)值例2：（1）. 如果是銳角，且sinA=

15、，那么_（2） 計(jì)算：1. 2. 2sin260°·tan45°+cos30°·tan30°3. 4. 5. 落實(shí)三：解直角三角形，能根據(jù)問題的需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形例3：如圖，在ABC中，A=30°，B=45°，AC=，求AB的長(zhǎng). 例4：如圖，在四邊形ABCD中，C=120º，B=75º，CD=4，BC=，cosA=. 求AD的長(zhǎng). 例5：如圖，在四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)， 求的長(zhǎng)和四邊形的面積例6：（ZFX / P75例5）在ABC中，A=30°，BC=3，AB=，求BCA的

16、度數(shù)和AC的長(zhǎng)。練習(xí)：1. 如圖，已知O的半徑為1，銳角ABC內(nèi)接于O，BDAC于點(diǎn)D， OMAB于點(diǎn)M，則sinCBD的值等于（）AOM的長(zhǎng) B2OM的長(zhǎng) CCD的長(zhǎng)D2CD的長(zhǎng)2. 如圖，已知l1l2l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等， 若等腰直角ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sin的值是（）ABCDACBDE3. 把兩塊含有300的相同的直角尺按如圖所示擺放，使點(diǎn)C、B、E在同一條直線上，連結(jié)CD，若AC=6cm，則BCD的面積是 _ 。 4如圖，在菱形ABCD中，DEAB于點(diǎn)E，cosA=，BE=4，則tanDBE的值是 5如圖，矩形ABCD的邊AB上有一點(diǎn)P，且AD=，B

17、P=，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形兩條直角邊分別交線段DC，線段BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則tanPEF= 6.如圖，在RtABC中，C=90°，點(diǎn)D在AC邊上若DB=6，AD=CD， sinCBD=，求AD的長(zhǎng)和tanA的值7.（ZFX / P75例3）如圖，在ABC中，C=90º，A=30º，E為AB上一點(diǎn)，且AE：EB=4:1，EFAC于點(diǎn)F，連接FB.求tanCFB的值. 8.（ZFX / P75例4）（1）如圖，在ABC中， ACB=105°，A=30°，AC=8，求AB和BC的長(zhǎng)？（2）在ABC中， ABC=135°，A=

18、30°，AC=8，求AB和BC的長(zhǎng)？（3）在ABC中，AC=17，AB=26，銳角A滿足sinA=，求BC的長(zhǎng)及ABC的面積？若AC=3，其他條件不變呢？解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用落實(shí)一：能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題落實(shí)二：會(huì)解由兩個(gè)特殊直角三角形構(gòu)成的組合圖形的問題落實(shí)三：能綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)的問題例1：如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量山坡上的電線桿PQ的高度他們采取的方法是：先在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，再向前走到B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°，這時(shí)只需要測(cè)出AB的長(zhǎng)度就能通過

19、計(jì)算求出電線桿PQ的高度.你同意他們的測(cè)量方案嗎？若同意，畫出計(jì)算時(shí)的圖形，簡(jiǎn)要寫出計(jì)算的思路，不用求出具體值；若不同意，提出你的測(cè)量方案，并簡(jiǎn)要寫出計(jì)算思路. 例2：如圖，某小區(qū)在規(guī)劃改造期間，欲拆除小區(qū)廣場(chǎng)邊的一根電線桿AB，已知距電線桿AB水平距離14米處是觀景臺(tái)，即BD14米，該觀景臺(tái)的坡面CD的坡角CDF的正切值為2，觀景臺(tái)的高CF為2米，在坡頂C處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30°，D、E之間是寬2米的人行道，如果以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)域請(qǐng)你通過計(jì)算說明在拆除電線桿AB時(shí)，人行道是否在危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)？()例3：在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南

20、北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)，測(cè)得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行米到達(dá)處，測(cè)得在北偏西的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度（參考數(shù)值：）例4：如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測(cè)角儀，在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為30°，已知測(cè)角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）練習(xí)：1、兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在FME的內(nèi)部（1）那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）（2）設(shè)AB的垂直平分線交ME于點(diǎn)N，且MN=2（+1）km，在M處測(cè)得點(diǎn)C位于點(diǎn)M的北偏東60