大學數學：ch5-5 多元向量值函數的導數與微分

1、2013年4月南京航空航天大學 理學院 數學系1第第5節(jié)多元向量值函數的導數與微分節(jié)多元向量值函數的導數與微分5.1 5.1 一元向量值函數的導數與微分一元向量值函數的導數與微分5.2 5.2 二元向量值函數的導數與微分二元向量值函數的導數與微分5.3 5.3 微分運算法則微分運算法則(Derivatives and Differentialfor Vector-valued Function of Several variables)2n元數量值函數的元數量值函數的導數、全微分及方向導數導數、全微分及方向導數30000()()limiiixiixf xx ef xuxx 010(1)00(1

2、)0010200(,)(,)limiiiiinnxif xxxx xxf xxxx 45n元函數的方向導數和偏導數元函數的方向導數和偏導數0000()()limltxf xtf xult 6n元函數的梯度和方向導數的計算公式元函數的梯度和方向導數的計算公式0grad()f x 0()f x 1201020()()()nxxxnfx efx efx e 12000(),(),()nxxxfxfxfx 0(),)lgradf x 其其中中000()() coslxugradf xgradf xl 12(cos,cos,cos)n 00012()()(),nf xf xf xxxx 7n元向量值函數

3、的元向量值函數的導數、微分導數、微分8:nmfARR 對于一般的對于一般的n元向量值函數：元向量值函數：1112221212( )(,)( )(,)( )( )(,)nnmmnfxfxxxfxfxxxf xfxfxxx 00lim( )lim( ),1,iixxxxf xaf xaim 001020(,)Tnxxxx 12(,)Tnxx xx 12(,)Tnaa aa 其中：其中：12(,)Tnxx xxA See P19.(2.6)95.15.1一元向量值函數的導數與微分一元向量值函數的導數與微分 12( )( )( ), ( )mfxfxf xxRfx :mfARR 0:()Df x 定義

4、定義一元向量值函數一元向量值函數 f 的導數為：的導數為：00000()()()limxx xf xxf xdffxdxx 顯然顯然 f 可導可導當且僅當當且僅當其每個分量可導，并且其每個分量可導，并且： 00100D ()()(),()Tmf xfxfxfx10類似可以定義類似可以定義 f 的二階導數以及的二階導數以及n階導數階導數： 200100D()()(),()Tmf xfxfxfx 010D()D D( )nnxf xf x 3Rcos, sin)r = (at at, t b3:R ,fR (sin,cos)Dr =at at, b22(cos,cos0)2D r =atat, 特

5、別關注：特別關注：m=3m=3See P.83See P.83( )v t( )a tP.84例例5.1110:()mfU xRR 可微可微定理定理5.1：0:()iffU xRR 可微可微 的任意分量的任意分量 100(),()Tmfx dxfx dx m0:()RR (m2),fU x 定義定義5.2: 一元向量值函數一元向量值函數 f 的微分為：的微分為：00()()( )f xxf xa x 能表示x 12(,)maa aa 0()df xa x 00()()df xfx dx 且且:xdx125.2 5.2 二元向量值函數的導數與微分二元向量值函數的導數與微分 2:mfARR 定義定

6、義：112212121212(,)(,)(,), (,) ,mfx xfx xf x xfx xx xR 20:()mfU xRR 12(,)Txx x 00102(,)Txxx 1020010101212202012121210002():()()()()()()()()()mmmdfxdfxdfxfxfxdxdxxxfxfxdxdxxxfxfxdxdf xdxxx 13利用矩陣乘法：利用矩陣乘法：1010101012121210202020122012100001212()()()() ()()()() ()()()()()mmmfxfxfxfxdxdxxxxxdfxfxfxfxdxdxd

7、fxxxxdf xdfxfxfxdxdxxx 201220012() ()() mmfxdxxdxfxfxxx 于是，將矩陣于是，將矩陣10101220201201002()() ()() ()() D ( )mmfxfxxxfxfxxxfxfxxxf x Jacobi矩陣矩陣稱為稱為f在在x0處的處的導數導數14一般地，對于一般地，對于n元向量值函數：元向量值函數：:nmfARR 1010101220202012000012()()()()()()D ()()()()nnmmmnfxfxfxxxxfxfxfxxxxf xfxfxfxxxx 定義：定義：f 在在x0處的處的導數導數(Jacob

8、i矩陣矩陣)為：為：10200 () ()()mfxfxfx 15102000 d () d (d()d)mfxfxfxf x 定義：定義：f 在在x0處的處的微分為：微分為：10101012120202021200012()()() d ()()()dd()()()nnnmmmnfxfxfxxxxxfxfxfxxxxxxfxfxfxxxx 0Dd=()f xx 其中其中12d(d,d,d)Tnxxxx 225.2( , )(1,1),(1,1).2xyf x yDfdfxy 例例已已知知, 求, 求16對于對于n元向量值函數，若元向量值函數，若m=n：:nnfARR 則稱則稱Jacobi矩陣

9、的行列式為矩陣的行列式為Jacobi行列式，記作：行列式，記作： 012012,(),nfnxfffJxxxx 向量值函數的向量值函數的偏導數偏導數：本質上是一元向量值函數的導數！本質上是一元向量值函數的導數！ 010200,Tmiiiifxfxfxfxxxxx 12121212(,),(,),fxxffJxxxx 若若m = n175.3 5.3 微分運算法則微分運算法則 TTD,( )( )D ( )( )D ( )f gxf xg xg xf x D()( )D ( )( )D ( )ufxu f xf xu x （u 為數量值函數）為數量值函數）3,:f g RR D()( )D (

10、)( )( ) D ( )fgxf xg xf xg x D()( )D ( )D ( )fgxf xg x f 和和 g 為向量值函數為向量值函數 1( )( ),( )Tmf xfxfx 1( )( ),( )Tmg xg xgx 12(,)nxx xx 定理定理5.2See P.9018定理定理5.3 向量值復合函數求導的鏈式法則向量值復合函數求導的鏈式法則( )D ( )D ( )D ( )u g xf g xf ug x 例例5.4：試通過如下函數驗證上述公式試通過如下函數驗證上述公式11 22,wuwuwu21 12( ),uwf uu u 21 1( ),sinxxeug xx 1 2xxx See P.93:pmfURR :npg ARR 001020(,)TnxxxxA 0001020:()(,)Tpug xuuuU ( ):nmwf g xw ARR 19001111111111212122222