大學(xué)數(shù)學(xué)：ch5-5 多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

1、2013年4月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第第5節(jié)多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分節(jié)多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分5.1 5.1 一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分5.2 5.2 二元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分5.3 5.3 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則(Derivatives and Differentialfor Vector-valued Function of Several variables)2n元數(shù)量值函數(shù)的元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、全微分及方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)、全微分及方向?qū)?shù)30000()()limiiixiixf xx ef xuxx 010(1)00(1

2、)0010200(,)(,)limiiiiinnxif xxxx xxf xxxx 45n元函數(shù)的方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)元函數(shù)的方向?qū)?shù)和偏導(dǎo)數(shù)0000()()limltxf xtf xult 6n元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)的計(jì)算公式元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)的計(jì)算公式0grad()f x 0()f x 1201020()()()nxxxnfx efx efx e 12000(),(),()nxxxfxfxfx 0(),)lgradf x 其其中中000()() coslxugradf xgradf xl 12(cos,cos,cos)n 00012()()(),nf xf xf xxxx 7n元向量值函數(shù)

3、的元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分導(dǎo)數(shù)、微分8:nmfARR 對(duì)于一般的對(duì)于一般的n元向量值函數(shù)：元向量值函數(shù)：1112221212( )(,)( )(,)( )( )(,)nnmmnfxfxxxfxfxxxf xfxfxxx 00lim( )lim( ),1,iixxxxf xaf xaim 001020(,)Tnxxxx 12(,)Tnxx xx 12(,)Tnaa aa 其中：其中：12(,)Tnxx xxA See P19.(2.6)95.15.1一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 12( )( )( ), ( )mfxfxf xxRfx :mfARR 0:()Df x 定義

4、定義一元向量值函數(shù)一元向量值函數(shù) f 的導(dǎo)數(shù)為：的導(dǎo)數(shù)為：00000()()()limxx xf xxf xdffxdxx 顯然顯然 f 可導(dǎo)可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)其每個(gè)分量可導(dǎo)，并且其每個(gè)分量可導(dǎo)，并且： 00100D ()()(),()Tmf xfxfxfx10類似可以定義類似可以定義 f 的二階導(dǎo)數(shù)以及的二階導(dǎo)數(shù)以及n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)： 200100D()()(),()Tmf xfxfxfx 010D()D D( )nnxf xf x 3Rcos, sin)r = (at at, t b3:R ,fR (sin,cos)Dr =at at, b22(cos,cos0)2D r =atat, 特

5、別關(guān)注：特別關(guān)注：m=3m=3See P.83See P.83( )v t( )a tP.84例例5.1110:()mfU xRR 可微可微定理定理5.1：0:()iffU xRR 可微可微 的任意分量的任意分量 100(),()Tmfx dxfx dx m0:()RR (m2),fU x 定義定義5.2: 一元向量值函數(shù)一元向量值函數(shù) f 的微分為：的微分為：00()()( )f xxf xa x 能表示x 12(,)maa aa 0()df xa x 00()()df xfx dx 且且:xdx125.2 5.2 二元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 2:mfARR 定義定

6、義：112212121212(,)(,)(,), (,) ,mfx xfx xf x xfx xx xR 20:()mfU xRR 12(,)Txx x 00102(,)Txxx 1020010101212202012121210002():()()()()()()()()()mmmdfxdfxdfxfxfxdxdxxxfxfxdxdxxxfxfxdxdf xdxxx 13利用矩陣乘法：利用矩陣乘法：1010101012121210202020122012100001212()()()() ()()()() ()()()()()mmmfxfxfxfxdxdxxxxxdfxfxfxfxdxdxd

7、fxxxxdf xdfxfxfxdxdxxx 201220012() ()() mmfxdxxdxfxfxxx 于是，將矩陣于是，將矩陣10101220201201002()() ()() ()() D ( )mmfxfxxxfxfxxxfxfxxxf x Jacobi矩陣矩陣稱為稱為f在在x0處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)14一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n元向量值函數(shù)：元向量值函數(shù)：:nmfARR 1010101220202012000012()()()()()()D ()()()()nnmmmnfxfxfxxxxfxfxfxxxxf xfxfxfxxxx 定義：定義：f 在在x0處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(Jacob

8、i矩陣矩陣)為：為：10200 () ()()mfxfxfx 15102000 d () d (d()d)mfxfxfxf x 定義：定義：f 在在x0處的處的微分為：微分為：10101012120202021200012()()() d ()()()dd()()()nnnmmmnfxfxfxxxxxfxfxfxxxxxxfxfxfxxxx 0Dd=()f xx 其中其中12d(d,d,d)Tnxxxx 225.2( , )(1,1),(1,1).2xyf x yDfdfxy 例例已已知知, 求, 求16對(duì)于對(duì)于n元向量值函數(shù)，若元向量值函數(shù)，若m=n：:nnfARR 則稱則稱Jacobi矩陣

9、的行列式為矩陣的行列式為Jacobi行列式，記作：行列式，記作： 012012,(),nfnxfffJxxxx 向量值函數(shù)的向量值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：本質(zhì)上是一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)！本質(zhì)上是一元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)！ 010200,Tmiiiifxfxfxfxxxxx 12121212(,),(,),fxxffJxxxx 若若m = n175.3 5.3 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則 TTD,( )( )D ( )( )D ( )f gxf xg xg xf x D()( )D ( )( )D ( )ufxu f xf xu x （u 為數(shù)量值函數(shù)）為數(shù)量值函數(shù)）3,:f g RR D()( )D (

10、)( )( ) D ( )fgxf xg xf xg x D()( )D ( )D ( )fgxf xg x f 和和 g 為向量值函數(shù)為向量值函數(shù) 1( )( ),( )Tmf xfxfx 1( )( ),( )Tmg xg xgx 12(,)nxx xx 定理定理5.2See P.9018定理定理5.3 向量值復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t向量值復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t( )D ( )D ( )D ( )u g xf g xf ug x 例例5.4：試通過如下函數(shù)驗(yàn)證上述公式試通過如下函數(shù)驗(yàn)證上述公式11 22,wuwuwu21 12( ),uwf uu u 21 1( ),sinxxeug xx 1 2xxx See P.93:pmfURR :npg ARR 001020(,)TnxxxxA 0001020:()(,)Tpug xuuuU ( ):nmwf g xw ARR 19001111111111212122222