初等數(shù)論單元復(fù)習(xí)

1、單元小結(jié)第一章第一章 整數(shù)的整除性整數(shù)的整除性 定義定義1.11.1 設(shè)設(shè) a，b Z ，b00，如果存在，如果存在 q Z ，使得等式使得等式 abq成立我們就說(shuō)，成立我們就說(shuō)，a能能被被b整除整除或或b整除整除a ，記作，記作b | a 如果整數(shù)如果整數(shù) q 不存在不存在( 即對(duì)任何整數(shù)即對(duì)任何整數(shù) q，恒有，恒有bq a ),那么就說(shuō)那么就說(shuō)a不能被不能被 b 整除整除 (或者說(shuō)或者說(shuō)b不能整除不能整除a)，記作，記作 b a。1.1整除整除1、整除的概念：、整除的概念：如果整數(shù)如果整數(shù) a 能被整數(shù)能被整數(shù)b (b 0) 整除整除(即即b | a)，那么那么 a就叫做就叫做 b 的的倍

2、數(shù)倍數(shù)，b就叫做就叫做a的的約數(shù)約數(shù).l2、當(dāng)然約數(shù)與真約數(shù)、當(dāng)然約數(shù)與真約數(shù):一般地，在整數(shù)一般地，在整數(shù)a的約數(shù)中的約數(shù)中 l與與a叫做整數(shù)叫做整數(shù)a的的當(dāng)然約數(shù)當(dāng)然約數(shù)；除；除1與與a之外，之外，a的其它約數(shù)叫的其它約數(shù)叫做做a的的真約數(shù)真約數(shù)(或非當(dāng)然約數(shù)或非當(dāng)然約數(shù))。 (5) x, y為任意整數(shù)，若為任意整數(shù)，若 a b , a c , 則則a (bx+cy)； (6) 若若 m0, 則則a b 的充分必要條件是的充分必要條件是ma m b (7) 若若a b , b a，則則 a = b (8) 若若 a ，b N+, a b , 則則a b (9) 若若a是是b的真約數(shù)，則的真

3、約數(shù)，則1 a b 4、整除的基本性質(zhì)、整除的基本性質(zhì):4 4、帶余除法、帶余除法 設(shè)設(shè)a, b是兩個(gè)整數(shù)，是兩個(gè)整數(shù)，b 0，則一定，則一定有并且只有并且只有有兩個(gè)整數(shù)兩個(gè)整數(shù) q , r 使得使得 a= bq + r,0rb，如果如果 abq1+r1 (0r1b)， br1q2+r2 (0r2r1)， r1r2q3+r3 (0r3r2)， rn-3rn-2qn-1+rn-1 (0rn-1rn-2)， rn-2rn-1qn+rn (0rnrn-1)， rn-1rnqn+1,那么那么 (a，b)rn輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法 例：試求例：試求377與與319的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)解解 由由377除

4、以除以319，得，得 377319 158，由由319除以除以58，得，得 31958 5 29，由由58除以除以29，得，得 5829 2 由定理由定理19的推論可知，最后一個(gè)不為的推論可知，最后一個(gè)不為零的余數(shù)就是零的余數(shù)就是377與與319的最大公約數(shù)，即的最大公約數(shù)，即(377，319)29 性質(zhì)：性質(zhì)：定理定理1.3.3推論推論1(裴蜀恒等式裴蜀恒等式) 如果兩個(gè)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)a，b的最大公約數(shù)是的最大公約數(shù)是d，那么存在兩，那么存在兩個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù)x與與y，使得等式，使得等式ax+byd成立成立(可以推可以推廣到廣到n個(gè)數(shù)的情況個(gè)數(shù)的情況) 推論推論2：兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)a，b互質(zhì)的必要且充

5、分條件是存互質(zhì)的必要且充分條件是存在整數(shù)在整數(shù)x與與y,使使axby1成立。成立。 推論推論1的推廣的推廣設(shè) a1 ,a2 , , an N+ (n2) ，則一定存在整數(shù) s1, s2, , sn，使 a1s1a2s2 ansn (a1 ,a2 , ,an ) . 2. 最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 意義：意義：n個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)，叫個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這做這n個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)的公倍數(shù)公倍數(shù)，n個(gè)整數(shù)的非零公倍數(shù)中個(gè)整數(shù)的非零公倍數(shù)中最最小小的正數(shù)叫做這的正數(shù)叫做這n個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)自然數(shù)個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)自然數(shù)a1, a2 , ,an (n2，nN)的最小公倍數(shù)，用符號(hào)的最小公倍數(shù)，用符號(hào) a1, a2

6、, ,an 表示表示 性質(zhì)：性質(zhì)：）n 個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)能整除它們的個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)能整除它們的任何一個(gè)公倍數(shù)，就是如果任何一個(gè)公倍數(shù)，就是如果 d=a1,a2 , ,an ，D是是a1, a2 , ,an的任意一個(gè)公倍數(shù)，那么的任意一個(gè)公倍數(shù)，那么 d |D 2)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積等于兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)的積這兩個(gè)數(shù)的積，就是，就是(a，b) a，b =a b 推論推論 若若(a,b)=1，則，則a,b=ab定理定理1. 3. 8定理定理1. 3. 9定理定理1.3.8與定理與定理1.3.9 可類比定理可類比定理1.3.6與定理與定理1.3.7 得到

7、。得到。 定理定理1. 3. 6 (a1，a2，ak) = d的充要條件是的充要條件是12,1kaaaddd多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)定理定理1.3.10定理定理1.3.11 由此表明，多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)、最小公由此表明，多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)可以由求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小倍數(shù)可以由求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)逐步求出公倍數(shù)逐步求出 定理定理1.3.13 若若a | bc, 且且 (a, b) =1, 則則 a | c. 定理定理1.3.14 若若 (a, b)=1, 則則 (a, bc) = (a, c).我喜歡數(shù)學(xué)我喜歡數(shù)學(xué)互質(zhì)的性質(zhì)互質(zhì)的性

8、質(zhì)定理定理1.3.15 若若a | c, b | c, (a, b)=1, 則則 ab | c. 1.3質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù) 算術(shù)基本定理算術(shù)基本定理 1. (1) 質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)素?cái)?shù))：一個(gè)大于一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果只的自然數(shù)，如果只能被能被1和它本身整除和它本身整除(即只有即只有1和它本身兩個(gè)正約和它本身兩個(gè)正約數(shù)數(shù))，這個(gè)自然數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)，這個(gè)自然數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù)或素?cái)?shù))。 (2) 合數(shù)；合數(shù)；一個(gè)大于一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了能被的自然數(shù)，除了能被1和它和它本身整除外，還能被其它的正整數(shù)整除，這個(gè)自本身整除外，還能被其它的正整數(shù)整除，這個(gè)自然數(shù)就叫做合數(shù)然數(shù)就叫做合數(shù) (3) 自然

9、數(shù)自然數(shù)1，即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。，即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 2. 質(zhì)數(shù)的判定：質(zhì)數(shù)的判定：）查表法；）查表法；)試除法試除法試除法依據(jù)試除法依據(jù) 定理123 如果如果a是合數(shù)，是合數(shù)，p是是a的最的最小約數(shù)，那么小約數(shù)，那么 p a 推論推論 如果一個(gè)大于如果一個(gè)大于1的數(shù)的數(shù)a不能被不大于不能被不大于 的任一質(zhì)數(shù)整除，那么的任一質(zhì)數(shù)整除，那么a是質(zhì)數(shù)是質(zhì)數(shù) a 例：判斷667與991是質(zhì)數(shù)還是合數(shù) 解 由于，因此用225之間的質(zhì)數(shù)去試除，試除結(jié)果有23667，所以667是合數(shù) 由于，因此用231之間的質(zhì)數(shù)去試除，由試除結(jié)果可知231之間的質(zhì)數(shù)都不能整除991，所以991是質(zhì)數(shù)； 6672

10、5.82648.31991 3. 相關(guān)定理相關(guān)定理 1）一個(gè)質(zhì)數(shù)如果不能整除一個(gè)自然數(shù)，那么）一個(gè)質(zhì)數(shù)如果不能整除一個(gè)自然數(shù)，那么它就和這個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。它就和這個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。 2）大于）大于1的自然數(shù)，至少有一個(gè)約數(shù)是質(zhì)數(shù)。的自然數(shù)，至少有一個(gè)約數(shù)是質(zhì)數(shù)。 3）質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)無(wú)限。）質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)無(wú)限。 ）算術(shù)基本定理：把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，）算術(shù)基本定理：把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，如果不考慮質(zhì)因數(shù)的次序，分解的結(jié)果是唯一如果不考慮質(zhì)因數(shù)的次序，分解的結(jié)果是唯一的的 ）質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)是兩個(gè)不同的概念）質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)是兩個(gè)不同的概念整數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式 根據(jù)算術(shù)基本定理，如果把一個(gè)整數(shù)根據(jù)算術(shù)基本定理，如果把一個(gè)

11、整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式中的質(zhì)因數(shù)按照分解式中的質(zhì)因數(shù)按照從小到大從小到大的順序排列，并的順序排列，并且且相同的質(zhì)數(shù)連乘都用冪的形式表示相同的質(zhì)數(shù)連乘都用冪的形式表示，那么整數(shù)，那么整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解的結(jié)果可以寫成下面形式的質(zhì)因數(shù)分解的結(jié)果可以寫成下面形式 這里這里p1p2p3pn，且，且p1，p2，p3，pn都都是質(zhì)數(shù)，是質(zhì)數(shù)，1, 2, , n是自然數(shù)，其中是自然數(shù)，其中i表示質(zhì)數(shù)表示質(zhì)數(shù)pi在在N中出現(xiàn)的重?cái)?shù)通常把上面分解式叫做中出現(xiàn)的重?cái)?shù)通常把上面分解式叫做整數(shù)整數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式的標(biāo)準(zhǔn)分解式,2121nnpppN定理定理1.4.3 1.4.3 和和 推論推論我喜歡數(shù)學(xué)我喜歡數(shù)學(xué)定理

12、定理1.4.31.4.3 設(shè) ，則 d 是 a 的正約數(shù)的充要條件是1iniiap我喜歡數(shù)學(xué)我喜歡數(shù)學(xué)定義定義 1.71.7 ( a )表示正整數(shù)表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的個(gè)的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)數(shù) (也稱除數(shù)函數(shù)也稱除數(shù)函數(shù) ) 如如 ( 2 ) = 2 , ( 4 ) = 3 ，等，等等等 ( a )表示正整數(shù)表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的和，如的所有正約數(shù)的和，如 (2) = 3, ( 4 ) = 7，等等。，等等。 1( a)表示正整數(shù)表示正整數(shù) a 的所有正約數(shù)的乘積如的所有正約數(shù)的乘積如1( 4 ) = 8 , 1( 10 ) = 100，等等，等等 定理1. 26 如果自然數(shù)a的

13、標(biāo)準(zhǔn)分解式為那么 (1)(a) (1 +1)(2 +1)(n +1) = (i+1) (2)(a) (1+ p1+ p12+ p1 1 ) (1+ p2+ p22+ + p22) (1+ pn+ pn2+ pn n )1212,nnappp(3)1(a) aa 例1、 已知兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為8，最小公倍數(shù)為128，求這兩個(gè)數(shù) 解 設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a，b,則由定理110的推論2可知存在整數(shù)，使a8t1，b=8t2，且(t1，t2)=1 因?yàn)閍b(a，b)X a，b，所以得 64 t1t2 =8 X128， t1t216 由于(t1,t2)1，所以 t1=1，t216或t1=16，t21 因此所求的

14、兩數(shù)為 a=8，b128(或a128，b=8)例例2、用分解質(zhì)因數(shù)法求數(shù)、用分解質(zhì)因數(shù)法求數(shù)1200與與1134的最大公約的最大公約數(shù)最小公倍數(shù)數(shù)最小公倍數(shù)解解 因?yàn)橐驗(yàn)?200=24352，1134=2347 所以所以 (1200，1134)2 36 1200，1134 24 3452 7226800說(shuō)明說(shuō)明 通過(guò)分解質(zhì)因數(shù)求幾個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公通過(guò)分解質(zhì)因數(shù)求幾個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的方法是這樣的倍數(shù)的方法是這樣的: 先將所給的各個(gè)數(shù)分別進(jìn)行先將所給的各個(gè)數(shù)分別進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解把每個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)，取指數(shù)最小的質(zhì)因數(shù)分解把每個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)，取指數(shù)最小的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，如果把各個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)的最高次冪以及各個(gè)數(shù)獨(dú)如果把各個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)的最高次冪以及各個(gè)數(shù)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個(gè)數(shù)的有的質(zhì)因數(shù)的冪相乘，所得的結(jié)果就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 例3、 設(shè)a1，a2，a11是整