第26講進位制問題08662

1、第26講進位制問題內(nèi)容概述本講不著重討論斤進制中運算問題，我們是關心料這個數(shù)字，即為幾進制.對丁進位制 我們要注意本質是：進制就是逢進一.但是，作為數(shù)論的一部分，具體到每道題則其方法還是較復雜的.說明：在本講中的數(shù)字，不特加說明，均為十進制.典型問題1. 在幾進制中有4x 13=100.【分析與解】 我們利用尾數(shù)分析來求解這個問題：不管在兒進制均有k)x十().但是，式屮為100,尾數(shù)為0.也就是說已經(jīng)將12全部進到上一位.所以說進位制"為12的約數(shù)，也就是12, 6, 4, 3, 2.但是出現(xiàn)了 4,所以不可能是4, 3, 2進制.我們知道10x(13) ,0 = (52) 0,因

2、52< 100,也就是說不到10就己經(jīng)進位，才能是 100,于是我們知道n <10.所以，只能是6.2. 在三進制中的數(shù)12120120110110121121,則將其改寫為九進制，其從左向右數(shù)第1位數(shù) 字是兒？【分析與解】我們?nèi)绻ㄟ^十進制來將三進制轉化為九進制，那運算量很大.注意到，三進制跡動兩位則我們注意到進動了 3個3,于是為9.所以變?yōu)橛?進1也 就是九進制.于是，兩個數(shù)一組，兩個數(shù)一組，每兩個數(shù)改寫為九進制，如下表：12 12012011 0110 1211213進制55164135479進制所以，首位為5.評注：若原為斤進制的數(shù)，轉化為nki&制，則從右往左數(shù)

3、每k個數(shù)一紐化為斤"進制.如：2進制轉化為8進制，2*8,則從右往左數(shù)每3個數(shù)一組化為8進制.101000011012 進制24158進制(10100001101) 2 = (2415) 8.3. 在6進制中有三位數(shù)abc ,化為9進制為cba ,求這個三位數(shù)在十進制中為多少? 【分析與解】(abc) &二 a x6+b x6+c=36a+6b+c ；(cba) 9 = c x92+b x9+a=81c+9b + a .所以 36d +6方 + c=81 c+9b + d ；于毘 35 a 二3b+80c ； 因為35。是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù).所以3b也必須是5的倍數(shù)

4、，乂(3, 5)=1. 所以，b二0或5. 當 b=0,則 35d 二 80c；貝 ij 7 a=lqc : (7, 16)=1,并且 d、cho,所以。=16, c=7： 但是在6, 9進制，不可以有一個數(shù)字為16. 當 b=5,則 35。二 3x5+80c；貝 l7d=3+16c； mod 7 后，3+2c 三 0所以c二2或者2+7r(r為整數(shù)).因為有6進制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于 是 c=2.于是，35d=15+80x2； a =5.于是(abc) 6 =(552) §二5x605x6+2二212.所以.這個三位數(shù)在十進制中為212.4. 設1987可以在/?進制

5、中寫成三位數(shù)x)z ,且x + y + z=l+9+8+7,試確定出所有可能的x、 八z及b .命與解】我們注意m霍-得：(z?2-l) x + (b-l) y =1987-25.則(b t) (b +1) x + (b t) y =1962,即(b-l)(b+l)兀+ y二 1962.所以，1962是(b-1)的倍數(shù).1962=2x9x109：當bl=9時,b =10,顯然不滿足;當/?-1=18 時，&=19,則(b-1) (b+1) x + y =18x (20兀+y )=1962；則 20x + y=109,y 4所以,不滿足),y = 29z = ll顯然,當b =109不滿

6、足,b=2x 109不滿足,當/? =9x 109也不滿足.于是為(5913)廿(1987)心b代表11.5. 下面加法算式中不同字母代表不同的數(shù)字，試判定下面算式是什么進制，a、b、c、d的 和為多少？【分析與解】于是，我們知道"4,所以為4進制，abc十b d ca + bb1)c c+a11dcc/b dcd1d_cdatca12+ 10c+1021 0>c0102010 2 0所以” _a+b+c+d=3+l +2+0 二 6 零自然數(shù)，如果它的二進制表示中數(shù)碼1的個數(shù)是偶數(shù)，則稱111.10000.05個1個哋i上0丿2kiz rj%可以含2個1,4個1,10個位置貝

7、ij于是0=2. 進位制為 2x2=4 6. 一個非z為“壞數(shù)” 例如：18二（10010） 2是“壞數(shù)”.試求小于1024的所有壞數(shù)的個數(shù).【分析與解】我們現(xiàn)把1024轉化為二進制：(1024)0二22二(10000000000)2于是，在二進制中為11位數(shù)，但是我們只用看10位數(shù)中情況.并h , 我們把不足 10 位數(shù)的在前而補上 0 ,如6 個 1, 8 個 1, 10 個 1.于是為u）+&）+昭糾+ 智8x72 ix2x3x41 09x8x7x6x5ix2x3x4x5x61 09x8x7x6x5x4x3lx2x3x4x5x6x7x8二45+210+210+45+1=511于是

8、，小于1024的“壞數(shù)”有511個./ 7.計算：3x3x3.x3-l 26 的余數(shù).j_v_丿2003個3丿【分析與解】/、1000.x0-1x./ 、26二(222) 3所以,( 3x3x3x3-l-4-26=/ 、222. 24- (222) 3i2003個3)i 200濟 2 )33x3x3.x3-lj丿<2003個32003個3)222.2s匸' 2003 個 2 丿 3(222) 3 整除(222) 3,20034-3：6672,所以余(22) 3=8.所以余數(shù)為8.8. 一個10進制的三位數(shù)，把它分別化為9進制和8進制數(shù)后，就又得到了 2個三位數(shù).老 師發(fā)現(xiàn)這3個三

9、位數(shù)的最高位數(shù)字恰好是3、4、5,那這樣的三位數(shù)一共有多少個？我們知道（4cd） 9在（400） 9（488） 9之間，也就是4x92-5x9-1,也就是324406；還知道陽兒 在（5°°）8（577兒之間，也就是5x82-6x8-1,也就是320383；又知道(3 ab) 10 在(300) 10 (399) i。之間.所以，這樣的三位數(shù)應該在324383之間，于是有383-324+1=60個三位數(shù)滿足條件.9. 一袋花生共有2004顆，一只猴子第一天拿走一顆花生，從第二天起，每天拿走的都是以 前各天的總和. 如果直到最后剩下的不足以一次京走時卻一次拿走，共需多少天？ 如果到某犬袋里的花生少于己拿走的總數(shù)時，這一天它乂重新拿走一顆開始，按原規(guī) 律進行新的-輪.如此繼續(xù)，那么這袋花生被猴子拿光的時候是第兒天？【分析與解】我們注意到每天12348163264詢?nèi)舾商斓暮?lo<2004<2n前1天為1,前2天為2打前3天是氏 所以前11天為2匕 前12天是2",也就是說不夠第11天拿的，但是根據(jù)題中條件知.所以共需12天.每天11248163264jij右|